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Forum "komplexe Zahlen" - Vorzeichen unklar
Vorzeichen unklar < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Vorzeichen unklar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:53 Fr 10.06.2011
Autor: drahmas

Aufgabe
Überprüfe, dass x=3-i eine Lösung von [mm] x^2-6x+10=0 [/mm] ist.

Hallo,

mir sind hier die Vorzeichen irgendwie nicht ganz klar, denn, wenn ich rechne:

[mm] (3-i)^2-6*(3-i)+10\not=0 [/mm] erhalte ich mit der Binomischen Formel

[mm] (9+6i-i^2)-(18+6i)+10\not=0 [/mm]
10+6i-18+6i+10=2+12i

Die Vorzeichen sind also z.T. genau entgegengesetzt, warum?
Das kann doch nicht so schwer sein…

Wer kann mich kurz erleuchten bitte?  [lichtaufgegangen] Danke.

        
Bezug
Vorzeichen unklar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:57 Fr 10.06.2011
Autor: schachuzipus

Hallo drahmas,

> Überprüfe, dass x=3-i eine Lösung von [mm]x^2-6x+10=0[/mm] ist.
> Hallo,
>
> mir sind hier die Vorzeichen irgendwie nicht ganz klar,
> denn, wenn ich rechne:
>
> [mm](3-i)^2-6*(3-i)+10\not=0[/mm] erhalte ich mit der Binomischen
> Formel
>
> [mm](9\red{+}6i\red{-}i^2)-(18+6i)+10\not=0[/mm]

Nana, 2. binomische Formel: [mm](3-i)^2=3^2\red{-}2\cdot{}3\cdot{}i\red{+}i^2}[/mm]

> 10+6i-18+6i+10=2+12i
>
> Die Vorzeichen sind also z.T. genau entgegengesetzt,
> warum?
> Das kann doch nicht so schwer sein…
>
> Wer kann mich kurz erleuchten bitte? [lichtaufgegangen]
> Danke.

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Vorzeichen unklar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:39 Fr 10.06.2011
Autor: drahmas

Ich bin mit der Binomischen Formel offenbar nicht mehr so ganz vertraut, denn meiner Meinung nach ist doch [mm] a^2-2*a*b+b^2 [/mm] in diesem Fall [mm] (3^2((-2)*3*(-i))+(-i^2) [/mm] also: [mm] (9((-6)*(-i))+(-i^2)) [/mm] weiter vereinfacht: [mm] (9+6i-i^2) [/mm] weil (-6)*(-i) muss ja +6i ergeben sowie [mm] +b^2 [/mm] in der Binomischen Formel [mm] (-i^2) [/mm] sein müsste, da ja der Imaginärteil, also [mm] "b^2", [/mm] auf -i lautet und Plus und Minus ergibt Minus…

Besten Dank

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Vorzeichen unklar: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:43 Fr 10.06.2011
Autor: fencheltee


> Ich bin mit der Binomischen Formel offenbar nicht mehr so
> ganz vertraut, denn meiner Meinung nach ist doch
> [mm]a^2-2*a*b+b^2[/mm] in diesem Fall [mm](3^2((-2)*3*(-i))+(-i^2)[/mm] also:
> [mm](9((-6)*(-i))+(-i^2))[/mm] weiter vereinfacht: [mm](9+6i-i^2)[/mm] weil
> (-6)*(-i) muss ja +6i ergeben sowie [mm]+b^2[/mm] in der Binomischen
> Formel [mm](-i^2)[/mm] sein müsste, da ja der Imaginärteil, also
> [mm]"b^2",[/mm] auf -i lautet und Plus und Minus ergibt Minus…
>
> Besten Dank

hallo, lies mal bitte deinen text nochmal und versuche dich in einen helfenden reinzuversetzen.
verstehst du da auch nur bahnhof? ;-)

gruß tee

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Vorzeichen unklar: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 19:58 Fr 10.06.2011
Autor: drahmas

Okay, :) ich muss dazu sagen, dass ich heute etwas übermüdet bin, vielleicht sollte ich es auf morgen verschieben, ggf. erscheint es mir dann logischer. ;)

Ich meinte: wenn ich gemäß der 2. Binomischen Formel von (3-i) "3" quadriere erhalte ich "9". Wenn ich dann in "-2*a*b" einsetze erhalte ich "-2*3*(-i)" und im weiteren Verlauf ergibt das doch "-6*(-i)" und Minus mal Minus ist Plus folglich "+6i".

Auch wird im Teil [mm] "+b^2 [/mm] " der Binomischen Formel "-i" eingesetzt sprich [mm] "+(-i)^2" [/mm] = [mm] "(-i)^2". [/mm]

Oder bleiben die Vorzeichen einfach erhalten bei komplexen Zahlen?

Besten Dank

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Vorzeichen unklar: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:03 Fr 10.06.2011
Autor: rainerS

Hallo, das hat Gono schon beantwortet.

Viele Grüße
  Rainer

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Vorzeichen unklar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:52 Fr 10.06.2011
Autor: Gonozal_IX

Huhu,

du wirfst da mehrere Dinge in einen Topf!

Entweder du nutzt:

[mm] $(a+b)^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + 2ab + [mm] b^2$ [/mm]

Dann ist in deinem Fall natürlich $a=3, b= -i$.

Oder du nutzt:

[mm] $(a-b)^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] - 2ab + [mm] b^2$ [/mm]

Dann ist in deinem Fall $a=3, b=i$.

Du hast aber:

[mm] $(a-b)^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] - 2ab + [mm] b^2$ [/mm]

und $a=3, b=-i$ benutzt, was doppelt gemoppelt (und falsch) ist.

Desweiteren ist [mm] $(-i)^2 \not= -i^2$, [/mm] sondern [mm] $(-i)^2 [/mm] = (-i)*(-i) = i*i = [mm] i^2$ [/mm]

MFG,
Gono.

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Vorzeichen unklar: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:29 Fr 10.06.2011
Autor: drahmas

Aaah! Ich hab gemäß der Vorzeichenregeln immer entsprechend umgewandelt, dachte das gilt auch uneingeschränkt bei den Binomischen Formeln so, egal bei welcher. Dann ists mir jetzt klar, danke! [lichtaufgegangen]

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