Vorzeichenfehler nach exp. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:52 Mo 18.02.2008 | | Autor: | SirTech |
| Aufgabe | Die DGL [mm] 10*\bruch{dv}{dt}+v=40 [/mm] sei gegeben, sowie der Anfangswert v(0)=1
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Ich habe eine ganz allgemeine Frage, die vielleicht auch andere interessieren könnte. Es handelt sich hierbei um ein Vorzeichenproblem.
Mein erster Schritt bei dieser DGL ist: v auf die rechte Seite zu bringen, dann steht dort:
[mm] 10*\bruch{dv}{dt}=40-v
[/mm]
dann teile ich durch dv und erhalte:
[mm] 10*\bruch{1}{dt}=\bruch{40-v}{dv} [/mm]
letztendlich erhalte ich folgendes:
[mm] \bruch{dt}{10}=\bruch{dv}{40-v}
[/mm]
Nach der Integration:
[mm] \bruch{t}{10}=ln(40-v) [/mm] + ln(C) "Ich lasse die Beträge weg"
Am Ende bekomme ich folgendes Ergebnis:
[mm] -e^\bruch{t}{10}+40+C [/mm] = v
In dem Mathebuch geht der Autor jedoch anders vor, er dreht sich die Gleichung so, dass sein v, welches wir ja herausbekommen wollen, noch vor dem integrieren positiv in der DGL erscheint:
[mm] -\bruch{1}{10}*dt [/mm] = [mm] \bruch{dv}{v-40}
[/mm]
Sein Endergebnis lautet dann wie folgt:
[mm] e^{-\bruch{t}{10}}+40+C [/mm] = v
Der kleine feine Unterschied liegt im Vorzeichen beim Endergebnis.
Bei mir steht das Minus vor der Basis, beim Autor vor dem Exponenten.
Jetzt stellt sich mir die Frage, muss ich vor dem Integrieren y bzw. in diesem Fall v positiv bekommen ?
Wenn das eine allgemeine Regel ist, dann brauche ich keine weitere Erklärung, da ich dann immer versuche das zu machen. Aber wenn es keine derartige Regel gibt, würde ich gerne wissen, wieso dieser komische "Fehler" auftritt, ob dieser zu beheben ist oder er überhaupt relevant ist ?
Danke und Gruß -Pat
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Hallo SirTech,
> Die DGL [mm]10*\bruch{dv}{dt}+v=40[/mm] sei gegeben, sowie der
> Anfangswert v(0)=1
>
>
> Ich habe eine ganz allgemeine Frage, die vielleicht auch
> andere interessieren könnte. Es handelt sich hierbei um ein
> Vorzeichenproblem.
>
> Mein erster Schritt bei dieser DGL ist: v auf die rechte
> Seite zu bringen, dann steht dort:
>
> [mm]10*\bruch{dv}{dt}=40-v[/mm]
>
> dann teile ich durch dv und erhalte:
>
> [mm]10*\bruch{1}{dt}=\bruch{40-v}{dv}[/mm]
>
> letztendlich erhalte ich folgendes:
>
> [mm]\bruch{dt}{10}=\bruch{dv}{40-v}[/mm]
>
> Nach der Integration:
>
> [mm]\bruch{t}{10}=ln(40-v)[/mm] + ln(C) "Ich lasse die Beträge
> weg"
Richtig muss es heißen:
[mm]\bruch{t}{10}=-\ln(40-v) + \ln(C)[/mm]
Denn:
[mm]\integral_{}^{}\bruch{1}{40-v} dv} = - \ln\left(40-v\right){[/mm]
>
> Am Ende bekomme ich folgendes Ergebnis:
>
> [mm]-e^\bruch{t}{10}+40+C[/mm] = v
Verstehe ich nicht.
Wende ich auf beide Seiten der Gleichung die e-Funktion an, so steht dann da:
[mm]e^{\bruch{t}{10}}=\bruch{C}{40-v}[/mm]
>
>
>
> In dem Mathebuch geht der Autor jedoch anders vor, er dreht
> sich die Gleichung so, dass sein v, welches wir ja
> herausbekommen wollen, noch vor dem integrieren positiv in
> der DGL erscheint:
>
> [mm]-\bruch{1}{10}*dt[/mm] = [mm]\bruch{dv}{v-40}[/mm]
>
> Sein Endergebnis lautet dann wie folgt:
>
> [mm]e^{-\bruch{t}{10}}+40+C[/mm] = v
>
>
> Der kleine feine Unterschied liegt im Vorzeichen beim
> Endergebnis.
> Bei mir steht das Minus vor der Basis, beim Autor vor dem
> Exponenten.
> Jetzt stellt sich mir die Frage, muss ich vor dem
> Integrieren y bzw. in diesem Fall v positiv bekommen ?
> Wenn das eine allgemeine Regel ist, dann brauche ich keine
> weitere Erklärung, da ich dann immer versuche das zu
> machen. Aber wenn es keine derartige Regel gibt, würde ich
> gerne wissen, wieso dieser komische "Fehler" auftritt, ob
> dieser zu beheben ist oder er überhaupt relevant ist ?
>
>
> Danke und Gruß -Pat
Gruß
MathePower
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