Vorzeichenverteilung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:51 Mi 30.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Hallo, habe probleme bei folgender Aufgabe die Funktionen darzustellen:
gegeben seien die Funktionen:
[mm] f_{1} [/mm] : [mm] \IR^{2} \to \IR [/mm] :(x,y) [mm] \mapsto x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] -4x +4y
[mm] f_{2} [/mm] : [mm] \IR^{2} \to \IR [/mm] :(x,y) [mm] \mapsto [/mm] (x - [mm] y)^{2} [/mm] -4(x - y)
sowie
f : [mm] \IR^{2} \to \IR [/mm] :(x,y) [mm] \mapsto f_{1}(x,y)f_{2}(x,y)
[/mm]
jetzt heißte es:
Skizzieren Sie die Vorzeichenverteilung der Funktion f. Begründen Sie Ihre Skizze.
Aber die f1 kann ich ja mit quadratischer Erweiterung vereinfachen, aber die Funktion 2, da komm ich nicht weiter!
lg Surfer
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> [mm]f_{2}[/mm] : [mm]\IR^{2} \to \IR[/mm] :(x,y) [mm]\mapsto[/mm] (x - [mm]y)^{2}[/mm] -4(x -
> y)
> aber die Funktion 2, da komm ich nicht
> weiter!
Hallo,
es ist
(x-y)²-4(x-y)=(x-y)(x-y-4).
Dies ist großer 0, wenn entweder beide Klammern gleichzeitig > 0 sind, oder wenn beide gleichzeitig < 0 sind.
In welchen Bereichen das nun der Fall ist, mußt Du herausfinden.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:48 Mi 30.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Hi
> es ist
>
> (x-y)²-4(x-y)=(x-y)(x-y-4).
>
aso das ist praktisch nur (x-y) ausgeklammert! aha cool danke schon mal!
lg Surfer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 Mi 30.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Also gut, dieser Teil der Aufgabe hat nun wunderbar funktioniert und ist mir jetzt auch klar geworden!
In einer weiteren Teilaufgabe heißt es nun, welche Sattelpunkte von f aus der Skizze nun abgelsesen werden können und man soll begründen, warum diese kritische Punkte bzw. Sattelpunkte sind?
Wie sehe ich das nun, was ein Sattelpunkt ist, eigentlich doch ein Richtungswechsel oder?
lg Surfer
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> In einer weiteren Teilaufgabe heißt es nun, welche
> Sattelpunkte von f aus der Skizze nun abgelsesen werden
> können und man soll begründen, warum diese kritische Punkte
> bzw. Sattelpunkte sind?
>
> Wie sehe ich das nun, was ein Sattelpunkt ist, eigentlich
> doch ein Richtungswechsel oder?
Hallo,
allein aus der Vorzeichenverteilung von
(x,y) [mm] \mapsto [/mm] (x-y)²+(x-y)
kann ich das nicht ablesen. Wie sieht denn Deine Skizze aus?
Sattelpunkt: im Sattelpunkt hat man weder Steigung noch Gefälle, und es gibt Richtungen, in die es von diesem Punkt aus aufwärts geht und solche, wo's abwärts geht - mal sehr umgangssprachlich ausgedrückt.
Das hat ja damit, wie die Funktionswerte an solchen Stellen sind, nichts zu tun.
Wenn Du Dir mal eine Funktion von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR [/mm] vorstellst, kann sie ja auch durchaus an Stellen Maxima haben, dwo die Funktionswerte negativ sind.
Allerdings schließt das nicht aus, daß es für stetige Funktionene solche Skizzen gibt, an denen man doch Sattelpunkte erkennen kann:
Wenn diese Skizze der pos. und neg. Bereiche so aussieht, daß man Geraden hat, die sich kreuzen, und die diagonal gegenüberleigenden Bereiche jeweils dasselbe Vorzichen haben, dann muß dort ja ein Sattel sein.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Do 31.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Also die Grafik sieht folgendermaßen aus; [Dateianhang nicht öffentlich]
Gibt es da Kriterien den Sattelpunkt herauszufinden bzw. auf was ist zu schauen?
lg Surfer
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Also die Grafik sieht folgendermaßen aus; [Dateianhang nicht öffentlich]
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> Gibt es da Kriterien den Sattelpunkt herauszufinden bzw.
> auf was ist zu schauen?
Hallo,
ich bin jetzt etwas verwirrt. Wir sprachen eigentlich über [mm] f_2, [/mm] oder?
Naja, das hast Du Dir wahrscheinlich ausgedacht, um die Kombinationsgabe älterer Herrschaften zu testen...
Ich hab's aber schon: das soll [mm] f_1*f_2 [/mm] sein, richtig?
Eine garantie dafür, mit dieser Skizze der neg/pos - Funktionswertebereiche sämtliche (!) Sattelpunkte zu finden, hat man nicht.
Wie habt ihr eigentlich "Sattelpunkt" in der Vorlesung definiert?
Ich hatte ja in meinem vorherigen Post Hinweise gegeben, wie man Sattelpunkte finden könnte. Ich hätte bei den sich kreuzenden Geraden besser "zum Beispiel" schreiben sollen, es können auch irgendwelche Linien sein.
Weißt Du, wie ein Reitsattel aussieht? Der tiefste Punkt der Sitzfläche ist der, wo der Reiter zu sitzen kommt. Den legen wir jetzt mal auf die Höhe 0. Solche Punkte, bei denen es nach "rechts und links" abwärts und nach "vorn und hinten" aufwärts geht, müßtest Du suchen.
Gruß v. Angela
P.S.: Vielleicht trägst Du mal in Deinem Profil etwas ein, das würde mitunter das angemessene Antworten etwas erleichtern.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:27 Fr 29.08.2008 | | Autor: | Surfer |
Hallo, ich habe hier folgende Aufgabe mit Lösung, der a) Teil der Aufgabe ist mir klar, auf den komme ich auch, aber beim b) Teil, indem die Sattelpunkte zu bestimmen sind verstehe ich etwas nicht ganz in deren Beschreibung.
Dass die Sattelpunkte, die Punke sind an denen sich die Verzweigung ändert oder z.B. ein Vorzeichenwechsel vorliegt ist klar, aber wie kommen sie hier in der Lösung auf die Begründung mit der Richtungsableitung?
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wäre super wenn mir das jemand näher deuten könnte was damit gemeint ist, die Richtungsableitung ist doch der Gradient oder? aber was hat das hier zu suchen?
lg Surfer
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Wäre super wenn mir das jemand näher deuten könnte was
> damit gemeint ist, die Richtungsableitung ist doch der
> Gradient oder? aber was hat das hier zu suchen?
Hallo,
nein, der Gradient ist nicht die Richtungsableitung, schon deshalb nicht, weil der Gradient ein Vektor ist und die Richtungsableitung eine Zahl.
Der Gradient ist der Vektor, der in Richtung des stärksten Anstiegs weist. Wenn ich mir auf einer Landkarte den Punkt anschaue, an dem ich gerade stehe, wäre der Gradient an dieser Stelle ein Pfeil, der in die Richtung zeigt, in welcher ich am steilsten bergauf gehen muß bei der Fortsetzung meiner Wanderung.
Die Richtungableitung sagt mir, wie groß der Anstieg in eine bestimmte Richtung ist, und man kann die Richtungsableitung bei total diffbaren Funktionen mithilfe des Gradienten ausrechnen (Skalarprodukt.)
Die kritischen Punkte sind die Punkte, in denen die Richtungsableitung in alle Richtungen =0 ist, bzw. der Gradient =0.
In Deiner Lösung werden nun zwei unabhänige Richtungen angegeben, in denen die Richtungsableitung =0 ist, und ich nehme mal an, daß Dir damit mitgeteilt werden soll, daß die Richtungsableitung in alle Richtungen =0 ist.
Gruß v. Angela
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