Vorzeichenwechsel Polstelle < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 Do 11.01.2007 | | Autor: | ONeill |
| Aufgabe | Geben Sie eine gebrochenrationale Funktion an mit
b.) Polstelle 3 mit Vorzeichenwechsel
c.) Polstelle 3 ohne Vorzeichenwechsel |
Hy!
Ich komme da nicht so ganz weiter. Ich bin mir nicht sicher, wie ich zuvor abschätzen soll, ob da ein VZW stattfindet oder nicht. Gibts da nen Trick?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:40 Do 11.01.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin,
bei wikipedia steht zum thema polstellen
Polstelle
Grundsätzlich gehört eine Polstelle zu den sogenannten isolierten Singularitäten, also zu Definitionslücken, zu denen es Umgebungen gibt, die keine weitere Definitionslücken enthalten. Eine Polstelle einer rationalen Funktion in der Mathematik liegt vor, wenn die Beträge der Werte der Funktion in jeder Umgebung dieser Stelle beliebig groß werden (gegen Unendlich streben). Betrachtet man an Stelle von rationalen Funktion beliebige reelle (sogar auch komplexe) Funktionen, muss die Definition einer Polstelle verfeinert werden.
Der Graph der Funktion verschwindet bei Annäherung an die Polstelle im Unendlichen. Die Funktion hat an der Polstelle einen uneigentlichen Grenzwert, also plus oder minus unendlich. Der Graph besitzt an der Polstelle eine vertikale Asymptote.
Beispiel: Die Funktion [mm] f(x)=\bruch{1}{x}
[/mm]
hat eine Polstelle bei x = 0.
Inhaltsverzeichnis
1 Rationale Funktionen
1.1 Die Ordnung von Polstellen rationaler Funktionen
1.2 Verhalten des Graphen
1.3 Beispiele für Polstellen rationaler Funktionen
2 Beispiele für Polstellen nicht-rationaler Funktionen
Verhalten des Graphen
Die Ordnung des Pols beschreibt gleichzeitig das Verhalten des Funktionsgraphen an der Polstelle. Bei einem Pol ungerader Ordnung springt der Graph aus dem positiven in den negativen Wertebereich oder umgekehrt. Bei der beidseitigen Untersuchung des Grenzwertes an der Polstelle macht sich dies in unterschiedlichen Vorzeichen der beiden Ergebnisse deutlich. Man spricht auch von einer Polstelle mit Vorzeichenwechsel.
Ein Pol gerader Ordnung liegt vor, wenn der Graph sowohl links als auch rechts der Polstelle im Wertebereich mit dem gleichen Vorzeichen erscheint. Die beidseitigen Grenzwerte haben dann auch ein identisches Vorzeichen. Man spricht auch von einer Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.
Die Prüfung auf das Vorzeichenwechselverhalten geschieht über eine Grenzwertabschätzung der Folge für x=x0-(1/n) (linksseitig) und x=x0+(1/n) (rechtsseitig). Diese Abschätzung liefert das Verhalten der Funktion linksseitig und rechtsseitig der ermittelten Polstelle in Bezug auf das Wachstum der Funktionswerte.
Beispiele für Polstellen rationaler Funktionen
Die Funktion
f(x)= [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
hat einen Pol 1. Ordnung bei x = 0. MIT VZW
Die Funktion
f(x)= [mm] \bruch{1}{(x-2)^3}
[/mm]
hat einen Pol 3. Ordnung bei x = 2. MIT VZW
Die Funktion
f(x)= [mm] \bruch{x+2}{(x+1)^2*(x-1)}
[/mm]
hat für x= −1 eine Polstelle der Ordnung 2. OHNE VZW
und für x= 1 eine Polstelle 1. Ordnung. MIT VZW
gruß
wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:39 Fr 12.01.2007 | | Autor: | ONeill |
Danke!
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