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Forum "Uni-Stochastik" - W. tropische Krankheit
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W. tropische Krankheit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:43 Sa 30.04.2022
Autor: Hannes00

Aufgabe
Die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Expeditionsteilnehmer mit einer tropischen
Krankheit infiziert hat, beträgt 20%.
(a) Um zu überprüfen, ob dieser an der Krankheit leidet, wird ein Test durchgefühhrt, der mit Wahrscheinlichkeit 99% das richtige Ergebnis anzeigt. Der Expeditionsteilnehmer erhält nun das Ergebnis, dass der Test positiv ausgefallen ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit leidet der Teilnehmer an der Krankheit?
(b) Nun nehmen wir an, es werden nicht wie in (a) ein Test, sondern n unabhängige Tests dieser Art durchgeführt. Auch nehmen wir nun an, das Ergebnis aller dieser Tests sei negativ ausgefallen. Wie groß muss n sein, um eine Infektion mit einer Wahrscheinlichkeit
von mindestens 99,999% ausschließen zu können?


Moin, mein Ansatz ist folgender:
Es handelt sich um bedingte Wahrscheinlichkeit. Also [mm] P_A(B) [/mm] = P(B|A) = [mm] \bruch{P(A\cap B)}{P(A)}. [/mm] Soweit sogut.

Es gilt: P(A [mm] \cap [/mm] B) = P(A) * P(B).
k = krank, p =postiv, g = gesund, n = negativ
a) Baumdiagramm gezeichent ##Überlasse ich der Leserin/dem Leser XD
[mm] P_p(k) [/mm] = P(k|p) = [mm] \bruch{P(k\cap p)}{ P(p)} [/mm]

              = [mm] \bruch{P(k) * P(p|k)}{(P(g\cap p)+ P(k\cap p)} [/mm]

              = [mm] \bruch{0,2 * 0,99}{0,2 * 0,99 +0,8 *0,01)} \approx [/mm] 0,9611

b) Baumdiagramm
P(negativ) = 0,794
[mm] P_n [/mm] (g) = P(g|n) = [mm] \bruch{P(g\cap n)}{P(n)} [/mm]
= [mm] \bruch{P(g) * P (n|g)}{P(g)* P(n|g) + P(k) * P(n|k)} [/mm]

= [mm] \bruch{0,8 *0,99}{0,8*0399 +0,2*0,01} [/mm] = 0,9975.
Die Wahrheit für g und k bleibt also gleich, also setzte die Bedindungen in Realation:
P(g|n) [mm] \ge [/mm]  0,99999
[mm] \bruch{{P(g) * P(n|g)}^n}{P(g)* P(n|g)^{n} + P(k) * P(n|k)^{n}} [/mm]

mit n = 1: 0,99748
     n = 2: 0,99997
     n = 3: 0,999999...

-> Also sind 3 negative Tests notwendig, um eine Infektion auszuschließen.

Was sagt ihr dazu? Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


Edit: Lol. Ich habe gerade Feedback zu meiner Aufgabe von den Kontrolleuren bekommen: 2/2 Punkte. Hat sich also erledigt und scheint alles richtig zu sein.

        
Bezug
W. tropische Krankheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:25 So 01.05.2022
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Es gilt: P(A [mm]\cap[/mm] B) = P(A) * P(B).

Nein, das gilt nicht.
Damit ist der Rest entsprechend Schwachsinn…

> Edit: Lol. Ich habe gerade Feedback zu meiner Aufgabe von
> den Kontrolleuren bekommen: 2/2 Punkte. Hat sich also
> erledigt und scheint alles richtig zu sein.

"Scheinbar" trifft es ganz gut… und das spiegelt das Problem unseres Bildungssystems wider… hat wohl niemand Bock deine Aufgaben anständig zu korrigieren.

Gruß,
Gono


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