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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:41 Di 11.01.2005 | | Autor: | SusPie6 |
Ich bin Mal wieder bei meinen Übungsaufgaben und versuche sie durchzurechnen. Mit einer Aufgabe komme ich allerdings nicht klar. Leider haben wir diese auch nicht in der Übung durchgesprochen. Für Hilfe wäre ich sehr dankbar, auch wenn ich keinen eigenen Ansatz gefunden habe. Tut mir wirklich leid...
Für x,y [mm] \in \IR [/mm] sei x [mm] \oplus [/mm] y:= x+y-xy. Zeigen Sie, dass ( [mm] \IR \backslash \{ 1 \} [/mm] , [mm] \oplus [/mm] ) eine kommutative Gruppe ist.
Anleitung: Setze [mm] \overline{x} [/mm] :=1-x (x [mm] \in \IR [/mm] ), dann ist z. B. x=y [mm] \gdw \overline{x} [/mm] = [mm] \overline{y} [/mm] und [mm] \overline{x \oplus y} [/mm] := 1-(x+y-xy) = [mm] \overline{x} [/mm] * [mm] \overline{y} [/mm] .
Danke für eure Hilfe im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:17 Di 11.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi SusPie6,
hier gibt es zwei Ansätze:
1) entweder du rechnest jedes notwendige Kriterium per Hand nach oder
2) du weißt, dass $ [mm] \IR\backslash \{ 0\} [/mm] $ eine kommutitative, (multiplikative) Gruppe ist.
Dann kannst du nämlich den angegebenen Isomorphismus (evtl. nachweisen !) benutzen und damit hast du dann alles auf einmal.
btw: bei der Definition von $ [mm] \overline{x} [/mm] $ muss es so heißen:
$ [mm] \overline{x} [/mm] := [mm] 1-x\quad \forall x\in \IR\backslash \{ 0\} [/mm] $
mit $ f(x)= [mm] \overline{x} [/mm] $ hast du den Isomorphismus...
hoffe, es hilft
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:05 Di 11.01.2005 | | Autor: | SusPie6 |
Es könnte mir sicherlich mehr helfen, wenn ich die Zeichen in deiner Antwort lesen könnte. Was ist denn da schief gelaufen???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:03 Di 11.01.2005 | | Autor: | maria |
Was meinst du? Mit den Zeichen ist doch alles OK, bei mir jedenfalls. Es kann sein, dass die Formalgrafiken kurz nachdem die Antwort fertiggeschrieben wurde von dem Server noch nicht vollständig erstellt wurde.
Ich fänd es aber trotzdem gut, wenn die Aufgabe offen bleiben würde, denn auch ich kann bis heute noch nicht so viel damit anfangen :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:22 Mi 12.01.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Da es noch Unverständnis gibt, hier eine ausführlichere Antwort:
Wir betrachten die Abbildung:
[mm] $\varphi\, [/mm] : [mm] \, \begin{array}{ccc} (\IR \setminus\{1\},\oplus) & \to & (\IR \setminus \{0\},\cdot) \\[5pt] x & \mapsto & 1-x. \end{array}$.
[/mm]
Offenbar ist [mm] $\varphi$ [/mm] bijektiv.
Weiterhin haben wir:
[mm] $\varphi(x \oplus [/mm] y) = [mm] \varphi(x+y-x \cdot [/mm] y)$
$= 1 - (x + y - x [mm] \cdot [/mm] y)$
$= 1 - x - y + x [mm] \cdot [/mm] y$
$=(1-x) [mm] \cdot [/mm] (1-y)$
[mm] $=\varphi(x) \cdot \varphi(y)$.
[/mm]
Vermöge der gerade gezeigten Beziehung
$x [mm] \oplus [/mm] y = [mm] \varphi^{-1}(\varphi(x) \cdot \varphi(y))$
[/mm]
für alle $x,y [mm] \in \IR \setminus\{1\}$ [/mm] weist man nun nach, dass [mm] $(\IR \setminus\{1\},\oplus)$ [/mm] eine abelsche Gruppe ist.
Beispielsweise kann man wie folgt das Assoziativgesetz zeigen:
$(x [mm] \oplus [/mm] y) [mm] \oplus [/mm] z$
$= [mm] \varphi^{-1}( \varphi(x \olpus [/mm] y) [mm] \cdot \varphi(z))$
[/mm]
$= [mm] \varphi^{-1}( (\varphi(x) \cdot \varphi(y)) \cdot \varphi(z))$
[/mm]
$= [mm] \varphi^{-1} [/mm] ( [mm] \varphi(x) \cdot (\varphi(y) \cdot \varphi(z)))$
[/mm]
$= [mm] \varphi^{-1} (\varphi(x) \cdot \varphi(y \oplus [/mm] z))$
$= x [mm] \oplus [/mm] (y [mm] \oplus [/mm] z)$.
Das neutrale Element ist natürlich gleich [mm] $\varphi^{-1}(1)=0$, [/mm] und das zu $x$ inverse Element in [mm] $(\IR \setminus \{1\},\oplus)$ [/mm] ist
[mm] $x^{-1} [/mm] = [mm] \varphi^{-1}(\varphi(x)) [/mm] = [mm] \varphi^{-1}\left( \frac{1}{\varphi(x)} \right) [/mm] = [mm] \varphi^{-1} \left( \frac{1}{1-x} \right) =\varphi^{-1} \left( 1 - \frac{x}{x-1} \right) [/mm] = [mm] \frac{x}{x-1}$.
[/mm]
Probe:
$x [mm] \oplus \frac{x}{x-1} [/mm] = x + [mm] \frac{x}{x-1} [/mm] - x [mm] \cdot \frac{x}{x-1} [/mm] = [mm] \frac{x^2 - x + x - x^2}{x-1} [/mm] = 0$ ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Damit ist alles gezeigt. 
Liebe Grüße
Julius
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