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W'Raum und Maß: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:01 Fr 15.05.2020
Autor: James90

Hallo!

Sei [mm] $(\IR,B,\mu) [/mm] ein Wahrscheinlichkeitsraum. Zeige, für alle [mm] \epsilon>0 [/mm] gibt es ein a mit [mm] \mu([-a,a])>1-\epsilon. [/mm]

Setze [mm] a>(1-\epsilon)/2. [/mm] Dann gilt [mm] \mu([-a,a])=2*a>2*(1-\epsilon)/2=1-\epsilon [/mm]

Passt das oder mache ich hier einen Fehler?

Dankeschön!

Viele Grüße
James

        
Bezug
W'Raum und Maß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:28 Fr 15.05.2020
Autor: fred97


> Hallo!
>  
> Sei [mm]$(\IR,B,\mu)[/mm] ein Wahrscheinlichkeitsraum. Zeige, für
> alle [mm]\epsilon>0[/mm] gibt es ein a mit [mm]\mu([-a,a])>1-\epsilon.[/mm]

Ich nehme an, dass $a >0$ sein soll.

>  
> Setze [mm]a>(1-\epsilon)/2.[/mm] Dann gilt
> [mm]\mu([-a,a])=2*a>2*(1-\epsilon)/2=1-\epsilon[/mm]

[mm] \mu [/mm] ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß, also immer $ [mm] \le [/mm] 1$.

Bei Dir ist [mm] $\mu([-a,a])=2a$. [/mm] Für $a >1/2$ würde das bedeuten: [mm] \mu([-a,a])>1, [/mm] was nicht geht.

Woher hast Du denn [mm] $\mu([-a,a])=2*a$ [/mm] ?

Noch eine Frage: was ist B in [mm] $(\IR,B,\mu) [/mm] $ ? Welche [mm] $\sigma-$ [/mm] Algebra ?

>  
> Passt das oder mache ich hier einen Fehler?


>  
> Dankeschön!
>  
> Viele Grüße
>  James


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Bezug
W'Raum und Maß: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:21 Fr 15.05.2020
Autor: James90

Hallo Fred und vielen Dank auch hier für deine Hilfe!

> > Sei [mm]$(\IR,B,\mu)[/mm] ein Wahrscheinlichkeitsraum. Zeige, für
> > alle [mm]\epsilon>0[/mm] gibt es ein a mit [mm]\mu([-a,a])>1-\epsilon.[/mm]
>  
> Ich nehme an, dass [mm]a >0[/mm] sein soll.

Das steht nicht in der Aufgabe, aber das sollte wohl so sein.

> > Setze [mm]a>(1-\epsilon)/2.[/mm] Dann gilt
> > [mm]\mu([-a,a])=2*a>2*(1-\epsilon)/2=1-\epsilon[/mm]
>  
> [mm]\mu[/mm] ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß, also immer [mm]\le 1[/mm].
>  
> Bei Dir ist [mm]\mu([-a,a])=2a[/mm]. Für [mm]a >1/2[/mm] würde das
> bedeuten: [mm]\mu([-a,a])>1,[/mm] was nicht geht.

Stimmt :(

> Woher hast Du denn [mm]\mu([-a,a])=2*a[/mm] ?

Ich dachte da an das Lebesque-Maß und eine Überdeckung, aber das macht nicht viel Sinn, denn es muss ja für alle Maße gelten.

> Noch eine Frage: was ist B in [mm](\IR,B,\mu)[/mm] ? Welche [mm]\sigma-[/mm]
> Algebra ?

Die denke, dass damit die [mm] Borelsche-\sigma-Algebra [/mm] gemeint ist.

Tut mir leid für die ungenaue Aufgabenstellung, diese steht aber genau so da. Ich hoffe, du kannst mir jetzt einen Tipp geben! :)

Viele Grüße
James

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W'Raum und Maß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:40 Fr 15.05.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

gewöhn dir mal an, dass Borel-B als [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] zu schreiben. So steht es bestimmt auch auf deinem Zettel.

Dann: Betrachte die Mengenfolge [mm] $(A_n)_{n\in\IN}$ [/mm] definiert durch [mm] $A_n [/mm] := [-n,n]$

Was sagt jetzt dir Stetigkeit des Maßes über diese Folge?

Gruß,
Gono


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W'Raum und Maß: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:54 Fr 15.05.2020
Autor: James90

Hallo Gono! :-)

> gewöhn dir mal an, dass Borel-B als [mm]\mathcal{B}[/mm] zu
> schreiben. So steht es bestimmt auch auf deinem Zettel.

Sorry!

> Dann: Betrachte die Mengenfolge [mm](A_n)_{n\in\IN}[/mm] definiert
> durch [mm]A_n := [-n,n][/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


>  
> Was sagt jetzt dir Stetigkeit des Maßes über diese
> Folge?

Dann ist $\IR = \bigcup_{n\in\IN}[-n,n]}=\bigcup_{n\in\IN}A_n$, wobei $(A_n)_n$ eine aufsteigende Folge ist, somit $\lim_{n\to\infty}\mu(A_n)=\mu(\IR)$.
Nun ist aber \mu ein Wahrscheinlichkeitsmaß, also gilt $\mu(\IR)=1$.

Nun ist mir klar, dass $1>1-\epsilon$ für alle \epsilon>0 gilt, aber das heißt, ich müsste ich jetzt a genau wählen?

> Zeige, für alle $ \epsilon>0 $ gibt es ein a mit $ \mu([-a,a])>1-\epsilon. $

Danke Dir!

Bezug
                                        
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W'Raum und Maß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:07 Fr 15.05.2020
Autor: fred97


> Hallo Gono! :-)
>  
> > gewöhn dir mal an, dass Borel-B als [mm]\mathcal{B}[/mm] zu
> > schreiben. So steht es bestimmt auch auf deinem Zettel.
>  
> Sorry!
>  
> > Dann: Betrachte die Mengenfolge [mm](A_n)_{n\in\IN}[/mm] definiert
> > durch [mm]A_n := [-n,n][/mm]
>  >  
> > Was sagt jetzt dir Stetigkeit des Maßes über diese
> > Folge?
>  
> Dann ist [mm]\IR = \bigcup_{n\in\IN}[-n,n]}=\bigcup_{n\in\IN}A_n[/mm],
> wobei [mm](A_n)_n[/mm] eine aufsteigende Folge ist, somit
> [mm]\lim_{n\to\infty}\mu(A_n)=\mu(\IR)[/mm].
>  Nun ist aber [mm]\mu[/mm] ein Wahrscheinlichkeitsmaß, also gilt
> [mm]\mu(\IR)=1[/mm].
>  
> Nun ist mir klar, dass [mm]1>1-\epsilon[/mm] für alle [mm]\epsilon>0[/mm]
> gilt, aber das heißt, ich müsste ich jetzt a genau
> wählen?

Nein, genau wählen verlangt niemand. Zeigen sollst Du, dass es ein a mit den gewünschten Eigenschaften gibt.

Wir haben: $ [mm] \mu(A_n) \to [/mm] 1$.

Ist nun $ [mm] \epsilon> [/mm] 0$, so gibt es ein N [mm] \in \IN [/mm] mit

     $1- [mm] \epsilon [/mm] < [mm] \mu(A_n)< 1+\epsilon$ [/mm]  for alle $n >N.$

Insbesondere: [mm] $\mu(A_n) [/mm] > 1- [mm] \epsilon$ [/mm]  für alle $n > N$.

Nun kannst Du jedes  $a=n$ mit $n>N$ nehmen. Such Dir eines aus. Ich würdr z.B.  N+4711 nehmen. Und Du ?


>  
> > Zeige, für alle [mm]\epsilon>0[/mm] gibt es ein a mit
> [mm]\mu([-a,a])>1-\epsilon.[/mm]
>  
> Danke Dir!


Bezug
                                                
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W'Raum und Maß: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:44 Fr 15.05.2020
Autor: James90

Super, danke euch beiden! Damit ist die Aufgabe gelöst! :-)

In einem anderen Skript habe ich eine ähnliche Aufgabe gefunden, aber leider ohne Lösungsweg.
Gerne würde ich diese als Übung lösen, weil mir das mit den Borel-Mengen noch nicht ganz klar zu sein scheint.

Sei [mm] $(\IR,\mathcal{B},\mu)$ [/mm] ein Maßraum mit [mm] $\mu((0,1))>0. [/mm] Zeige: Es existiert ein [mm] \epsilon>0 [/mm] mit [mm] \mu((\epsilon,1-\epsilon))>0. [/mm]

Meine Idee wäre sowas wie

[mm] (0,1)=\bigcup_{n\in\IN}[\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}] [/mm]

Dann würde der Rest analog folgen.
Oder bin ich komplett auf dem falschen Weg?

Vielen Dank nochmal und noch ein schönes Wochenende!

Bezug
                                                        
Bezug
W'Raum und Maß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:18 Sa 16.05.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Meine Idee wäre sowas wie
>  
> [mm](0,1)=\bigcup_{n\in\IN}[\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}][/mm]

Ja, für den Beweis solltest du lieber
[mm](0,1)=\bigcup_{n\in\IN}\left(\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}\right)[/mm]
nehmen. (warum?)

> Dann würde der Rest analog folgen.

Ja, mit obiger Anmerkung.

Gruß,
Gono

Bezug
                                                                
Bezug
W'Raum und Maß: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:02 Mo 18.05.2020
Autor: James90

Hallo Gono!

> > [mm](0,1)=\bigcup_{n\in\IN}[\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}][/mm]
>  Ja, für den Beweis solltest du lieber
> [mm](0,1)=\bigcup_{n\in\IN}\left(\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}\right)[/mm]
> nehmen. (warum?)

Leider kann ich den Grund nicht erkennen:

Sei [mm] $\mu$ [/mm]  ein Maß auf [mm] $(\IR,\mathcal{B})$ [/mm] und es gelte [mm] $\mu((0,1))>0$. [/mm]
Zu zeigen: Es existiert ein [mm] $\delta>0$ [/mm] mit [mm] $\mu((\delta,1-\delta))>0$. [/mm]
Setze [mm] $D_n:=[1/n,1-1/n]$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$. [/mm] Dann ist [mm] $(D_n)_{n\in\IN}$ [/mm] eine aufsteigende Folge von Mengen aus [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] mit [mm] $(0,1)=\bigcup_{n\in\IN}D_n$. [/mm]
Mit der [mm] $\sigma$-Stetigkeit [/mm] von [mm] $\mu$ [/mm] von unten erhalten wir [mm] \lim_{n\to\infty}\mu(D_n)=\mu((0,1))>0. [/mm]
Sei nun [mm] $\epsilon>0$. [/mm] Dann existiert ein [mm] $N\in\IN$ [/mm] mit [mm] $\mu(D_n)>\epsilon$ [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] N$.

Aufgrund deiner Frage habe ich mir auch folgendes überlegt:

Sei [mm] $\mu$ [/mm]  ein Maß auf [mm] $(\IR,\mathcal{B})$ [/mm] und es gelte [mm] $\mu([0,1])>0$, [/mm]
Dann gibt es kein [mm] $\delta>0$ [/mm] mit [mm] $\mu([\delta,1-\delta])>0$. [/mm]
Kann das sein? :-)

Ich wünsche dir einen guten Start in die Woche!

Viele Grüße
James

Bezug
                                                                        
Bezug
W'Raum und Maß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:37 Mo 18.05.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  Mit der [mm]\sigma[/mm]-Stetigkeit von [mm]\mu[/mm] von unten erhalten wir
> [mm]\lim_{n\to\infty}\mu(D_n)=\mu((0,1))>0.[/mm]
>  Sei nun [mm]\epsilon>0[/mm]. Dann existiert ein [mm]N\in\IN[/mm] mit
> [mm]\mu(D_n)>\epsilon[/mm] für alle [mm]n\ge N[/mm].

Ach wirklich?
Ich wähle jetzt [mm] $\varepsilon [/mm] = 1000$ und [mm] $\mu [/mm] = [mm] \lambda$. [/mm] Dann findest du bestimmt kein solches [mm] $n\in\IN$. [/mm]
Versuch deine Argumentation mal selbst zu beheben.

> Aufgrund deiner Frage habe ich mir auch folgendes überlegt:
>  
> Sei [mm]\mu[/mm]  ein Maß auf [mm](\IR,\mathcal{B})[/mm] und es gelte
> [mm]\mu([0,1])>0[/mm],
>  Dann gibt es kein [mm]\delta>0[/mm] mit [mm]\mu([\delta,1-\delta])>0[/mm].

Na für das Lebesgue-Maß [mm] \lambda [/mm] gilt offensichtlich [mm] $\lambda([0,1]) [/mm] > 0$ und offensichtlich für jedes $0 < [mm] \delta [/mm] < [mm] \frac{1}{2}$ [/mm] auch [mm] $\lambda([\delta,1-\delta])>0$ [/mm]

D.h. deine Aussage ist falsch.

Aber: Es muss so ein [mm] \delta [/mm] nicht notwendigerweise geben, das ist korrekt. Bspw. wenn wir [mm] $\mu [/mm] = [mm] \delta_0$, [/mm] also das Dirac-Maß, wählen.

Gruß,
Gono

Bezug
                                                                                
Bezug
W'Raum und Maß: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:57 Mo 18.05.2020
Autor: James90

Hallo Gono,

vielen Dank auch hier wieder für deine Hilfe! :-)

> >  Mit der [mm]\sigma[/mm]-Stetigkeit von [mm]\mu[/mm] von unten erhalten wir

> > [mm]\lim_{n\to\infty}\mu(D_n)=\mu((0,1))>0.[/mm]
>  >  Sei nun [mm]\epsilon>0[/mm]. Dann existiert ein [mm]N\in\IN[/mm] mit
> > [mm]\mu(D_n)>\epsilon[/mm] für alle [mm]n\ge N[/mm].
>  
> Ach wirklich?
> Ich wähle jetzt [mm]\varepsilon = 1000[/mm] und [mm]\mu = \lambda[/mm]. Dann
> findest du bestimmt kein solches [mm]n\in\IN[/mm].

Du meinst hier [mm] N\in\IN, [/mm] oder?

>  Versuch deine Argumentation mal selbst zu beheben.

Ich sehe jetzt endlich Problem mit dem abgeschlossen Intervall ... :-)

Für alle [mm] \epsilon>0 [/mm] existiert ein [mm] N\in\IN [/mm] mit [mm] |\mu(D_n)-\mu((0,1))|<\epsilon [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] N$.
Also:
Für alle [mm] \epsilon>0 [/mm] existiert ein [mm] N\in\IN [/mm] mit [mm] \mu((0,1))-\epsilon<\mu(D_n)<\mu((0,1))+\epsilon [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] N$.

Nun habe ich lange probiert ein [mm] \delta>0 [/mm] zu finden, aber ich komme nicht auf drauf. Ich habe probiert sowas wie [mm] \delta:=\epsilon+\mu((0,1)) [/mm] oder [mm] \delta=\max\{\epsilon,\mu((0,1))\} [/mm] mit Fallunterscheidung auf beiden Seiten der linken Ungleichung hinzuzufügen, aber das hat leider alles nicht geklappt. Ich bitte um einen weiteren Ruck!

> > Aufgrund deiner Frage habe ich mir auch folgendes
> überlegt:
>  >  
> > Sei [mm]\mu[/mm]  ein Maß auf [mm](\IR,\mathcal{B})[/mm] und es gelte
> > [mm]\mu([0,1])>0[/mm],
>  >  Dann gibt es kein [mm]\delta>0[/mm] mit
> [mm]\mu([\delta,1-\delta])>0[/mm].
>  
> Na für das Lebesgue-Maß [mm]\lambda[/mm] gilt offensichtlich
> [mm]\lambda([0,1]) > 0[/mm] und offensichtlich für jedes [mm]0 < \delta < \frac{1}{2}[/mm]
> auch [mm]\lambda([\delta,1-\delta])>0[/mm]
> D.h. deine Aussage ist falsch.
> Aber: Es muss so ein [mm]\delta[/mm] nicht notwendigerweise geben,
> das ist korrekt. Bspw. wenn wir [mm]\mu = \delta_0[/mm], also das
> Dirac-Maß, wählen.

Coole Argumentation! Danke Dir!

Viele Grüße
James

Bezug
                                                                                        
Bezug
W'Raum und Maß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:06 Mo 18.05.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  Für alle [mm]\epsilon>0[/mm] existiert ein [mm]N\in\IN[/mm] mit
> [mm]\mu((0,1))-\epsilon<\mu(D_n)<\mu((0,1))+\epsilon[/mm] für alle
> [mm]n\ge N[/mm].

Wähle [mm] $\varepsilon [/mm] = [mm] \frac{\mu((0,1))}{2}$, [/mm] dann steht da was?

Gruß,
Gono

Bezug
                                                                                                
Bezug
W'Raum und Maß: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:49 Mo 18.05.2020
Autor: James90

Hallo Gono!

> >  Für alle [mm]\epsilon>0[/mm] existiert ein [mm]N\in\IN[/mm] mit

> > [mm]\mu((0,1))-\epsilon<\mu(D_n)<\mu((0,1))+\epsilon[/mm] für alle
> > [mm]n\ge N[/mm].
>  
> Wähle [mm]\varepsilon = \frac{\mu((0,1))}{2}[/mm], dann steht da was?

Danke Dir! :-)

Setze [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \mu((0,1))/2. [/mm]
Dann ist [mm] \varepsilon>0 [/mm] und [mm] 0<\mu((0,1))<2\mu(D_n) [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] N$.
Ferner [mm] \mu(D_n)>0 [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] N$.
Somit folgt mit [mm] $\delta=1/N>0$ [/mm] die Behauptung.

Passt das?

Vielen Dank nochmal für deine super Hilfe!

Viele Grüße
James

Bezug
                                                                                                        
Bezug
W'Raum und Maß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:36 Mi 20.05.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Setze [mm]\varepsilon[/mm] = [mm]\mu((0,1))/2.[/mm]
>  Dann ist [mm]\varepsilon>0[/mm] und [mm]0<\mu((0,1))<2\mu(D_n)[/mm] für
> alle [mm]n\ge N[/mm].

Wenn N geeignet gewählt ist, ja.

>  Ferner [mm]\mu(D_n)>0[/mm] für alle [mm]n\ge N[/mm].

Ja.

> Somit folgt mit [mm]\delta=1/N>0[/mm] die Behauptung.

Jo.

Gruß,
Gono

Bezug
                                                                                                                
Bezug
W'Raum und Maß: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:21 Mi 20.05.2020
Autor: James90

Danke Dir vielmals!

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