W'keit Geldbetrag bestimmen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:56 So 09.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Es seien a, b zwei nur mir bekannte natürliche Zahlen mit a<b.
Ich stecke a € in einen Umschlag und b € in einen anderen Umschlag. Die beiden Umschläge sind von außen nicht zu unterscheiden.
Sie wählen nun zufällig einen der beiden Umschläge aus, öffnen ihn und sehen dann, dass er [mm] X_1 [/mm] € enthält.
Offensichtlich ist [mm] P[X_1=b]=\bruch{1}{2}. [/mm] Sie dürfen jetzt entweder diesen Umschlag behalten oder sich stattdessen endgültig für den anderen Umschlag entscheiden in der Hoffnung, dass dieser mehr Geld enthält.
Als Entscheidungshilfe werfen Sie unabhängig so oft eine (nicht notwendigerweise faire) Münze, bis diese das erste Mal "Kopf" zeigt. Die Anzahl der dafür benötigten Würfe heiße Y. Falls [mm] Y<{X_1}, [/mm] so behalten Sie den zuerst gewählten Umschlag. Falls [mm] Y\ge{X_1}, [/mm] so geben Sie den zuerst gewählten Umschlag einschließlich des Betrages [mm] X_1 [/mm] zurück und nehmen stattdessen den anderen Umschlag.
In jedem Fall heiße der Betrag, den Sie auf diese Weise schließlich in Händen halten, [mm] X_2.
[/mm]
Zeigen Sie, dass gilt: [mm] P[X_2=b]>\bruch{1}{2} [/mm] |
Hallo Leute,
also ich geh mal stark davon aus, dass man hier den Satz von der totalen W'keit verwenden kann. Zudem setze ich eine faire Münze voraus auch wenn dies nicht notwendigerweise der Fall ist.
Demnach gilt:
[mm] P[X_2=b]=P[X_2=b|Y<{X_1}]\cdot{P[Y<{X_1}]}+P[X_2=b|Y\ge{X_1}]\cdot{P[Y\ge{X_1}]}
[/mm]
[mm] =P[X_2=b|Y<{X_1}]\cdot{P[Y<{X_1}]}+P[X_2=b|Y\ge{X_1}]\cdot{\left(1-P[Y<{X_1}]\right)}
[/mm]
[mm] =P[X_2=b|Y<{X_1}]\cdot{\sum_{k=1}^{X_1-1} \left(\bruch{1}{2}\right)^k}+P[X_2=b|Y\ge{X_1}]\cdot{\left(1-\sum_{k=1}^{X_1-1} \left(\bruch{1}{2}\right)^k\right)}
[/mm]
Ist das bisher richtig so?? Falls ja ist nun die Frage wie es weitergeht.
Dazu hab ich im Moment nicht wirklich eine Idee, weil ich bei der Berechnung bzw. Abschätzung der einzelnen Wahrscheinlichkeiten Schwierigkeiten hab.
Von daher wärs echt klasse, wenn mir da jemand an Tipp geben könnte wie ich hierbei jetzt weitermachen kann, d.h. wie ich das ganze entweder konkret berechne oder wie ich den Ausdruck abschätzen kann.
Jedenfalls vielen Dank schon mal!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:03 So 09.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
Ist es vielleicht denkbar, dass [mm] P[X_2=b|Y
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:36 Mo 10.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
Hat keiner ne Idee zu der Aufgabe? Mir würd auch schon an kleiner Denkanstoß reichen!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Di 11.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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