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| Aufgabe | Die Funktion [mm] f(x)=\begin{cases} \wurzel{x}, & \mbox{falls } x\ge0 \\ \wurzel{-x} , & \mbox{falls } x<0 \end{cases} [/mm] hat die Eigenschaft f(-2)=f(2).
Warum gibt es kein [mm] x\* \in(-2,2) [/mm] mit [mm] f'(x\*)=0? [/mm] |
Die beschriebene Funktion ist ja nichts anderes als [mm] f(x)=\wurzel{|x|}.
[/mm]
Dass diese Funktion keine waagrechte Tangente hat ist ja klar, aber wie kann man das begründen?
[mm] f'(x)=\begin{cases} \bruch{1}{2*\wurzel{x}}, & \mbox{falls } x\ge0 \\ \bruch{-1}{2*\wurzel{-x}} , & \mbox{falls } x<0 \end{cases} [/mm] kann ja nie 0 werden... aber ist das eine Antwort?
Vielen Dank!
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Hiho,
> Dass diese Funktion keine waagrechte Tangente hat ist ja
> klar, aber wie kann man das begründen?
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> [mm]f'(x)=\begin{cases} \bruch{1}{2*\wurzel{x}}, & \mbox{falls } x\ge0 \\ \bruch{-1}{2*\wurzel{-x}} , & \mbox{falls } x<0 \end{cases}[/mm]
> kann ja nie 0 werden... aber ist das eine Antwort?
Deine Ableitung hat einen kleinen, aber wichtigen Fehler.
Ihr hattet vermutlich den Mittelwertsatz bzw den Satz von Rolle, der ja unter bestimmten Voraussetzungen sicherstellt, dass es ein x gibt mit $f'(x) =0$. Eine davon ist ja f(a) = f(b), die hier gegeben ist.
Du sollst jetzt (vermutlich!) begründen, warum der Satz hier nicht angewendet werden kann, d.h. welche Voraussetzung nicht erfüllt ist.
Schau dir deine Ableitung noch einmal genau an, dann wirst du auch sehen, was du falsch gemacht hast und warum obige Sätze nicht angewendet werden können.
Gruß,
Gono.
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Hallo,
ich glaube mein Fehler war bei [mm] f'(x)=\bruch{1}{2*\wurzel{x}}, [/mm] falls [mm] x\ge0... [/mm] für x=0 wäre der Nenner ja 0!
War es der Fehler?
Nein, von den Sätzen habe ich noch nichts gehört.
Liebe Grüße!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 Fr 06.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> ich glaube mein Fehler war bei
> [mm]f'(x)=\bruch{1}{2*\wurzel{x}},[/mm] falls [mm]x\ge0...[/mm] für x=0
> wäre der Nenner ja 0!
> War es der Fehler?
Ja, aber nicht nur.
Schreibe
[mm]f'(x)=\bruch{1}{2*\wurzel{x}},[/mm] falls [mm]x > 0...[/mm]
f ist also in jedem Punkt [mm] x_0 \ne [/mm] 0 differenzierbar.
Wahrscheinlich will der Aufgabensteller von Dir hören , dass f in [mm] x_0=0 [/mm] nicht differenzierbar ist.
Untersuche dazu, ob der Quotient
[mm] \bruch{f(x)-f(0)}{x-0}
[/mm]
einen Grenzwert für x [mm] \to [/mm] 0 hat.
FRED
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> Nein, von den Sätzen habe ich noch nichts gehört.
>
> Liebe Grüße!
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Also,
[mm] \limes_{x\rightarrow\00} \bruch{f(x)-f(0)}{x-0} [/mm] ist undefiniert und hat somit keinen Grenzwert für x=0!
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Hallo,
> Also,
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> [mm]\limes_{x\rightarrow\00} \bruch{f(x)-f(0)}{x-0}[/mm] ist
> undefiniert und hat somit keinen Grenzwert für x=0!
>
Ja, aber das könnte man ja dann auch noch durch eine geeignete Rechnung belegen. Der Grenzwert ist in der Tat undefiniert, es würde aber m.A. nach schon eine einseitige Betrachtung reichen, dann musst du aufpassen mit solchen Begriffen wie undefiniert.
Gruß, Diophant
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