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Wachstum und Zerfall: unlösbare Aufgabe ?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:07 Do 26.04.2018
Autor: Mathemurmel

Aufgabe
Aufgabe:    Wachstum/ Zerfall:
Durch Einleitung einer giftigen Chemikalie in einen Badesee ist das Wasser so verunreinigt worden, dass ein Badeverbot erlassen werden musste. Die Verunreinigung nimmt ab und wird durch den nebenstehenden Funktionsgraphen dargestellt. Dabei ist t die Zeit in Wochen und N(t) die Menge an Chemikalien in ppm (parts per million).
a. Bestimmen Sie die Menge an Chemikalien, die zu Beginn im See gemessen wurde und ermitteln Sie die Funktionsgleichung, die den Abnahmeprozess beschreibt.
b. Das Badeverbot kann aufgehoben werden, wenn die Verunreinigung den von den Gesundheitsbehörden festgesetzten Grenzwert von 10ppm unterschritten hat. Die Behörde gibt das Gewässer nach 11 Tagen wieder frei. Überprüfen Sie, ob der Grenzwert eingehalten wurde.
c. Bestimmen Sie die Halbwertszeit th der Chemikalie und ermitteln Sie die Zerfallsgeschwindigkeit an der Stelle t = th (mit Einheit).
Nicht betroffen von der Verunreinigung ist der Fischbestand des Badesees. Ursprünglich wurden 50 Karpfen im See ausgesetzt, nach fünf Jahren wurde die Kapazitätsgrenze von 500 Karpfen erreicht.
d. Erstellen Sie aus den gegebenen Werten eine Funktionsgleichung der Form
N(t) = S – (S – N0) * e hoch – 1,22* t, wobei N(t) die Anzahl der Karpfen und t die Zeit in Jahren angibt und skizzieren Sie den Graphen.

Lösungsversuch:   N0 = 50    t = 5    S = 500                N(t) = Karpfen          t = Jahre
Es handelt sich um beschränktes Wachstum. Ich möchte die Wachstumskonstante a bestimmen:
N(t) = 500 – (500 – 50) * e hoch – a * t
N(5) = 500 – (500 – 50) * e hoch –  a * 5 = 500     / - 500
                   – (500 – 50) * e hoch –  a * 5 = 0
                   – 450 * e hoch –  a * 5 = 0                     / : (- 450)
                   e hoch –  a * 5 = 0                     das ist nicht lösbar, da  
  e hoch –  a * 5 > 0   für alle x.
Ich erhalte also keinen Wert für a.
Rein mathematisch wird die Sättigungsgrenze S zu keiner Zeit erreicht.
Wie kann ich die Funktionsgleichung aufstellen?

        
Bezug
Wachstum und Zerfall: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:50 Do 26.04.2018
Autor: angela.h.b.


> Nicht betroffen von der Verunreinigung ist der
> Fischbestand des Badesees. Ursprünglich wurden 50 Karpfen
> im See ausgesetzt, nach fünf Jahren wurde die
> Kapazitätsgrenze von 500 Karpfen erreicht.
> d. Erstellen Sie aus den gegebenen Werten eine
> Funktionsgleichung der Form
> N(t) = S – (S – [mm] N_0) [/mm] * [mm] e^{a* t}, [/mm] wobei N(t)
> die Anzahl der Karpfen und t die Zeit in Jahren angibt und
> skizzieren Sie den Graphen.
> Lösungsversuch: N0 = 50 t = 5 S = 500
> N(t) = Karpfen t = Jahre
> Es handelt sich um beschränktes Wachstum. Ich möchte die
> Wachstumskonstante a bestimmen:
> N(t) = 500 – (500 – 50) * e hoch – a * t
> N(5) = 500 – (500 – 50) * e hoch – a * 5 = 500
> / - 500
> – (500 – 50) * e hoch – a * 5 =
> 0
> – 450 * e hoch – a * 5 = 0
> / : (- 450)
> e hoch – a * 5 = 0
> das ist nicht lösbar, da
> e hoch – a * 5 > 0 für alle x.
> Ich erhalte also keinen Wert für a.
> Rein mathematisch wird die Sättigungsgrenze S zu keiner
> Zeit erreicht.
> Wie kann ich die Funktionsgleichung aufstellen?

Hallo,

wie Du selbst sagst, ist S eine Grenze, die nicht erreicht wird. Der Graph nähert sich dieser beliebig dicht an.

Du könntest die Aufgabe so lösen:
nach 5 Jahren sind so viele Fische im Teich, daß kein weiterer mehr hineinpaßt. Also sind es 499 Fische.

LG Angela

Bezug
        
Bezug
Wachstum und Zerfall: Aufgabe ist absoluter Unfug
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:30 Do 26.04.2018
Autor: Diophant

Hallo,

da du im Titel gefragt hast, ob die Aufgabe unlösbar ist: mathematisch gesehen ist sie das.

Und damit nicht genug: ganz abgesehen davon ist auch noch das gewählte Wachstumsmodell hochgradiger Unsinn. Wenn eine Population unter Bedingungen wie in der Aufgabe geschildert und ohne weitere Einflüsse wächst, dann ist das einzig sinnvolle Modell das Logistische Wachstum. Das Beschränkte Wachstum modelliert nämlich hier nur den Endzustand, aber nicht den eigentlichen Wachstumsprozess.

In Sachen Kontextorientierung habe ich noch selten einen größeren Humbug erlebt als die vorliegende Aufgabe.


Gruß, Diophant

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