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| Aufgabe | | Hallo ich habe eine kurze Frage, warum geht [mm] \frac{c^p}{(p-1)!} [/mm] mit einer Konstanten c unabhängig von p für p gegen [mm] \infty [/mm] gegen 0 ? |
Das es so ist, ist mir zwar klar, aber ich weis nicht wie ich es beweisen kann!
Vielen Dank schon mal für eure Hilfe.
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi,
> Hallo ich habe eine kurze Frage, warum geht
> [mm]\frac{c^p}{(p-1)!}[/mm] mit einer Konstanten c unabhängig von p
> für p gegen [mm]\infty[/mm] gegen 0 ?
> Das es so ist, ist mir zwar klar, aber ich weis nicht wie
> ich es beweisen kann!
> Vielen Dank schon mal für eure Hilfe.
>
> PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
stelle dir für den beweis erstmal, c sei eine natürliche zahl:
weiter gilt
[mm] $\frac{c^p}{(p-1)!}\le \frac{c^p}{p!}=:a_p$
[/mm]
Mit p! wird das ganze denke ich noch klarer, weil dann im zähler wie im nenner von [mm] $a_p$ [/mm] jeweils p faktoren stehen.
dann ist
[mm] $a_p=\frac{c}{p}\cdot\frac{c}{p-1}\cdot\ldots\cdot\frac{c}{1}$
[/mm]
jetzt kannst du argumentieren: wird p sehr groß, ist es insbesondere auch größer als 2c. dann ist
[mm] $a_p=\frac{c}{p}\cdot\frac{c}{p-1}\cdot\ldots\cdot\frac{c}{2c+1} \cdot\frac{c^{2c}}{(2c)!}$
[/mm]
der letzte faktor ist dann konstant für alle $p$ (egal wie groß es noch wird), alle anderen faktoren sind kleiner als 1/2. und es werden immer mehr, so dass das gesamt produkt gegen null gehen muss, wenn p gegen unendlich geht.
jetzt klarer?
gruss
matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:29 Mi 17.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Matthias!
> [mm]a_p=\frac{c}{p}\cdot\frac{c}{p-1}\cdot\ldots\cdot\frac{c}{1} [/mm]
Schneller geht es, wenn Du hier mittels Grenzwertsätzen argumentierst: alle Brüche sind beschränkt $0 \ < \ [mm] \bruch{c}{...} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ c$ und (mind.) der erste Bruch läuft gegen $0_$ für [mm] $p\rightarrow\infty$ [/mm] . Also muss der Gesamtgrenzwert ebenfalls gegen $0_$ gehen (Prinzip des Nullproduktes).
Gruß
Loddar
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