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| Aufgabe | Plutonium-239 ist ein langsam zerfallendes Isotop. Nach 1 Jahr haben sich 0,00285 % der Atome in andere Atome umgewandelt.
1.Bestimmen Sie die Zerfallsfunktion
2.Berechnen Sie die Halbwertszeit von Pu-239
3.Berechnen Sie die Tausenstelzeit (Zeit, nach der nur noch 1/1000 vorhanden ist) von Pu-239 |
Dieses war die 2.Aufgabe, die für eine Präsentation vor der Klasse bearbeitet werden sollte.
Bei der ersten Aufgabe hatte ich wenig Probleme. Es ging um die Berechnung der Menge an Po-210 (Polonium 210), die sich 22 Tage nach der Vergiftung des russischen Exspions Alexander Litvinenko noch in dessen Körper befunden hat und zu dessen Tod führte.
Hier die Daten:
Polonium 210 mit der Halbwertszeit T1/2 = 138 Tage, tötliche Dosis = 12*10^-6. Vergiftung am 1.11.2006, Tod am 23.11.2006. Litvinenko erhielt die100-fache tötliche Dosis.
Die Funktion, die den physikalischen Zerfall einer radioaktiven Substanz beschreibt, lautet:
m (t) = m0 * (1/2)^(t/T1/2)
Die physikalische Halbwertszeit 1/T1/2 wurde durch die biologische (bei Polonium etwa 50 Tage) ergänzt, so dass 1/T1/2,phy + 1/T1/2,bio = 1/T1/2,eff entstand.
(ich bekam für 1/T1/2,eff = 47/1725 heraus)
Für die 2.Aufgabe sollten wir eine andere (allgemeinere) Formel benutzen:
m(t) = m0 * e^-k*t
diese Formel wird auch in der Physik benutzt. e = Eulersche Konstante ca. 2.71, k=Wachstums- bzw. Zerfallskonstante
da beide Formeln m (t) beschreiben, setzte ich sie gleich:
m0 * (1/2)^(t/T1/2) = m0 * e^-k*t
jetzt hatte ich ein Problem mit der weiteren Vereinfachung der Gleichung...
ich teilte beide Seiten durch m0 und benutzte den mir noch recht fremden Logarithmus ln :
ich bekam heraus:
t/T1/2 * ln (1/2) = -k * t * ln (e)
Da ln (e) = 1 ist , fällt er als Faktor=1 daher auch raus, auf beiden Seiten noch geteilt durch t, es bleibt also übrig:
k = - ln (0.5)/T1/2 und T1/2 = -ln (0.5)/k, womit der Zusammenhang zwischen der Konstanten k und der Halbwertszeit T1/2bestimmt ist.
Nach diesen hoffentlich nicht allzu langen Erklärungen nun meine Frage:
Habe ich es bis hierhin richtig gerechnet ?
Als Ergebnisse hatte ich dann übrigens raus:
zu 1.) Zerfallsfunktion für Pu-239: m (t) = m0 * e^(-39509*10^-9)*t
zu 2.) Halbwertszeit Pu-239: T1/2 = 50/285*10^-5 ca.17.544 Jahre und k = 39509*10^-9 = 0,000039509
zu 3.) Tausenstelzeit = 174.839,9805 Jahre (ca. 174 Tausend Jahre)
mi der Bitte um Hilfe...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:24 Mo 15.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Mach es dir doch einfacher.
Die allgemeine Funktion ist [mm] m(t)=m_{0}*e^{-k*t}
[/mm]
Jetzt musst du noch das k bestimmen.
Du weisst, dass nach einem Jahr noch [mm] (1-0,00285)=0,99715\hat=99,715\% [/mm] der Anfangsmasse [mm] m_{0} [/mm] vorhanden sind:
Also: [mm] m(\blue{1})=0,99715*m_{0}=m_{0}*e^{-k*1}
[/mm]
[mm] \gdw0,99715=e^{-k}
[/mm]
[mm] \gdw \ln(0,99715)=-k
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] -0,00285=-k
Also k=0,00285
Für die Halbwertzeit T suchst du die Zeit, für die noch [mm] \bruch{1}{2} [/mm] der Masse [mm] m_{0} [/mm] vorhanden ist, also:
[mm] m_{0}*e^{-0,00285*T}=\bruch{1}{2}m_{0}
[/mm]
[mm] \gdw e^{-0,00285*T}=\bruch{1}{\green{2}}
[/mm]
[mm] \gdw \ln(e^{-0,00285*T})=\ln\left(\bruch{1}{2}\right)
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] -0,00285*T=-0,693
[mm] \gdw [/mm] T=243 Jahre
Analog gilt für die "Tausendstelzeit" [mm] \overline{t} [/mm] :
[mm] e^{-0,00285*\overline{t}}=\bruch{1}{\red{1000}}
[/mm]
Marius
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| Aufgabe | Danke für die prompte Hilfe !
Dann habe ich mich ja gründlich verrechnet...
statt 243 hatte ich 17.000 Jahre für die Halbwertszeit raus... |
Das Gleichsetzen der beiden Gleichungen m(t)=m(t) und das Ausrechnen von k und T waren aber doch richtig, oder ?
k= -ln (1/2)/T und T = -ln (0.5)/k
Mit T ist doch die physikalische Halbwertszeit gemeint, oder ?
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| Aufgabe | Danke für die prompte Hilfe !
Dann habe ich mich ja gründlich verrechnet...
statt 243 hatte ich 17.000 Jahre für die Halbwertszeit raus... |
Das Gleichsetzen der beiden Gleichungen m(t)=m(t) und das Ausrechnen von k und T waren aber doch richtig, oder ?
k= -ln (1/2)/T und T = -ln (0.5)/k
Mit T ist doch die physikalische Halbwertszeit gemeint, oder ?
Wie Loddar sagte, sind die Gleichungen k=-ln (1/2) / T und T= -ln (0.5) / k
richtig.
Nur war beim Berechnen von k (in Aufgabe 2) ein dicker Fehler entstanden:
0,00285 % Massenverlust bedeuten für die Masse nach einem Jahr nicht den Wert 0,99715 sondern 0,9999715 .... So kommen natürlich ganz andere Werte für k, T und die Tausendstelzeit heraus...
hier die Zahlen:
[mm] \gdw [/mm] 0,9999715 = e^-k
[mm] \gdw [/mm] ln (0,9999715) = -k
also k = 0,0000285
T = -0,693/-0,0000285 = 24.315 Jahre
t (tausendstel) = ln (0,001) / -0,0000285 = 243.377 Jahre !!!
Der Fehler lag an dem verkehrten Umrechnen der Prozentzahlen...
Schachschorsch
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