Wachstumsgeschwindigkeit < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Im Modell kann man die Wachstumsgeschwindigkeit einer Fichte in Abhängigkeit von der Zeit t näherungsweise durch die Funktion w beschreiben mit
w(t)= 500/625+(t-38,75)² ; t [mm] \ge [/mm] 0
wobei t in Jahren und w(t) in Metern pro Jahr abgegeben wird.
b) Ermitteln Sie, wann die Wachstumsgeschwindigkeit ebenso groß wie im 30. Wachstumsjahr ist. (Ansatz formulieren!) |
Erst einmal ein Hallo an das Forum,
folgender Sachverhalt: Diese Aufgabe ist die Einleitung für unser neues Thema und ich stehe derzeit wie der Ochs vorm Berg.
Für die Aufgabe habe ich per Annäherungsverfahren t=47,5 ermittelt, welches die gleiche Wachstumsrate besitzt wie das Jahr 30. Die Wachstumsgeschwindigkeit müsste sich in diesen Jahren auf 0.7126 m belaufen.
Meine Frage ist nun, wie sieht der rechnerische Ansatz dafür aus bzw. wie kann ich die Jahre letzten Endes rechnerisch ermitteln?
Mit freundlichem Gruß
Dennis
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo nasenbaer777,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Im Modell kann man die Wachstumsgeschwindigkeit einer
> Fichte in Abhängigkeit von der Zeit t näherungsweise
> durch die Funktion w beschreiben mit
>
> w(t)= 500/625+(t-38,75)² ; t [mm]\ge[/mm] 0
>
> wobei t in Jahren und w(t) in Metern pro Jahr abgegeben
> wird.
>
> b) Ermitteln Sie, wann die Wachstumsgeschwindigkeit ebenso
> groß wie im 30. Wachstumsjahr ist. (Ansatz formulieren!)
> Erst einmal ein Hallo an das Forum,
>
> folgender Sachverhalt: Diese Aufgabe ist die Einleitung
> für unser neues Thema und ich stehe derzeit wie der Ochs
> vorm Berg.
>
> Für die Aufgabe habe ich per Annäherungsverfahren t=47,5
> ermittelt, welches die gleiche Wachstumsrate besitzt wie
> das Jahr 30. Die Wachstumsgeschwindigkeit müsste sich in
> diesen Jahren auf 0.7126 m belaufen.
>
Dann lautet die Funktion so:
[mm]w\left(t\right)=\bruch{500}{625+\left(t-38,75\right)^{2}}[/mm]
> Meine Frage ist nun, wie sieht der rechnerische Ansatz
> dafür aus bzw. wie kann ich die Jahre letzten Endes
> rechnerisch ermitteln?
>
Gesucht ist ein Zeitpunkt [mm]t_{2} \not= 30[/mm] für den gilt:
[mm]w\left(30\right)= w\left(t_{2}\right)[/mm]
> Mit freundlichem Gruß
> Dennis
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo ;)
Haha habe gerade ewig lange überlegen müssen wie du auf 0.71.. gekommen bist.
Dank MathePower kam dann die Lösung
> Dann lautet die Funktion so:
> $ [mm] w\left(t\right)=\bruch{500}{625+\left(t-38,75\right)^{2}} [/mm] $
Naja du suchst ja [mm] w(t_1)=w(t_2)
[/mm]
Also formst du einfach nach "Schema F" deine Gleichung nach t um und setzt für w(t) den errechneten Wert (von den 30 Jahren) ein. Dann kommst du auf deine Lösung.
LG Scherzkrapferl
|
|
|
| |
|
Ich bin mir nicht sicher ob ich die Lösungsansätze wie gedacht verstanden habe..
Jedenfalls scheint mir ein Fehler beim Umstellen nach t zu unterlaufen.
[mm] 30=\bruch{500}{625+(t-38,75)^2} [/mm] jetzt ist die Frage direkt Wurzel ziehen oder erst den Zähler/Nenner rüberbringen?
[mm] \bruch{30}{500}=625+(t-38,75)^2 [/mm] Wurzel ziehen
[mm] \wurzel{\bruch{30}{500}}=25+(t-38,75)
[/mm]
[mm] \wurzel{\bruch{30}{500}}=25-37,75t [/mm] 25 rüber
[mm] \wurzel{\bruch{30}{500}}-25=-37,75t
[/mm]
-24,76=-37,75t durch -37,75 teilen
t=0,6558
habe kein "richtiges" Gefühl bei meinem Lösungsansatz.
Mit freundlichem Gruß
Dennis
|
|
|
| |
|
hallo nochmal,
du hast einen Fehler in deiner Umformung. Hier nun Schritt für Schritt:
[mm] w(t)=\frac{500}{625+(t-38,75)^2}
[/mm]
w(t)=0,7..
A=38,75
B=625
C=500
=> [mm] w(t)=\frac{C}{B+(t-A)^2}
[/mm]
[mm] \frac{w(t)}{C}=\frac{1}{B+(t-A)^2}
[/mm]
[mm] \frac{C}{w(t)}={B+(t-A)^2}
[/mm]
[mm] \frac{C}{w(t)}-B=(t-A)^2
[/mm]
[mm] \sqrt{\frac{C}{w(t)}-B}=|t-A|
[/mm]
[mm] \frac{\sqrt{{C*{w(t)}-w(t)^2*B}}}{w(t)}=|t-A|
[/mm]
[mm] \frac{\sqrt{{{w(t)}(C-w(t)*B)}}}{w(t)}=|t-A|
[/mm]
da musst du dann eine Fallunterscheidung machen:
[mm] t=A\pm\frac{\sqrt{{{w(t)}(C-w(t)*B)}}}{w(t)}
[/mm]
LG Scherzkrapferl
|
|
|
| |
|
Hallo scherzkrapferl!
Erstmal vielen Dank für deine Mühe. Ich hab das ganze soweit verarbeitet und auch (so gut wie möglich ^_^) verstanden.
Nun ergibt sich mir noch eine Frage:
[mm] \sqrt{\frac{C}{w(t)}-B}=|t-A|
[/mm]
hätte es ab dieser Stelle nicht gereicht nur noch [mm] \pm [/mm] A rüberzubringen?
Dann ergeben sich für mich die Werte 30 und 47,5 was den Werten des Annäherungsverfahren entspricht. Setze ich die Werte für t jeweils ein, ergibt sich auch erneut die Wachstumsgeschwindigkeit von 0,7.
Mit freundlichem Gruß
Dennis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:11 So 26.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo scherzkrapferl!
>
> Erstmal vielen Dank für deine Mühe. Ich hab das ganze
> soweit verarbeitet und auch (so gut wie möglich ^_^)
> verstanden.
>
> Nun ergibt sich mir noch eine Frage:
>
> [mm]\sqrt{\frac{C}{w(t)}-B}=|t-A|[/mm]
>
> hätte es ab dieser Stelle nicht gereicht nur noch [mm]\pm[/mm] A
> rüberzubringen?
das verstehe ich nicht. Wenn Du eine Gleichung
[mm] $$y=|x-A|\,$$
[/mm]
hast, dann gibt's halt zwei Fälle:
1. Fall: $x-A < 0 [mm] \Rightarrow [/mm] y=|x-A| [mm] \gdw [/mm] y=-(x-A) [mm] \gdw x=A-y\,.$
[/mm]
2. Fall: $x-A [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] y=|x-A| [mm] \gdw [/mm] y=x-A [mm] \gdw x=A+y\,.$
[/mm]
Kurznotation:
$$x=A [mm] \pm y\,.$$
[/mm]
Warum da nun irgendwo [mm] $\pm [/mm] A$ stehen soll, ist mir erstmal vollkommen unklar... Vielleicht schreibst Du mal ausführlicher,was und wie Du das meinst!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Da ich dieser Thematik gegenüber "noch" vollkommen unwissend bin kann ich da schlecht mitreden.
Ich hätte nun mal keine Betragsmenge? (|t-A|) festgelegt, sondern die einfache Klammer stehen lassen und dem entsprechend A [mm] \pm [/mm] verwendet. Scheint aber eher der Holzweg zu sein.
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Da ich dieser Thematik gegenüber "noch" vollkommen
> unwissend bin kann ich da schlecht mitreden.
>
> Ich hätte nun mal keine Betragsmenge? (|t-A|) festgelegt,
> sondern die einfache Klammer stehen lassen und dem
> entsprechend A [mm]\pm[/mm] verwendet. Scheint aber eher der Holzweg
> zu sein.
naja warum habe ich den Betrag genommen?
Ein einfaches Beispiel warum Fallunterscheidungen vorgenommen werden müssen:
[mm] 2^2=4
[/mm]
[mm] (-2)^2=4
[/mm]
Ich komme immer auf die Zahl 4, egal ob -2 oder +2 verwendet wird. Demnach muss ich zwischen 2 fällen unterscheiden.
LG Scherzkrapferl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:33 So 26.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Da ich dieser Thematik gegenüber "noch" vollkommen
> unwissend bin kann ich da schlecht mitreden.
>
> Ich hätte nun mal keine Betragsmenge? (|t-A|) festgelegt,
> sondern die einfache Klammer stehen lassen und dem
> entsprechend A [mm]\pm[/mm] verwendet. Scheint aber eher der Holzweg
> zu sein.
schreib' das mal ausführlicher hin. Wo hättest Du keine "Betragsmenge festgelegt"?
Gruß.
Marcel
|
|
|
| |
|
Hey Marcel,
ich glaube er hätte
$ [mm] \sqrt{\frac{C}{w(t)}-B}=t-A [/mm] $
geschrieben. Sprich: (t-A) ohne Betragszeichen
LG Scherzkrapferl
|
|
|
| |
|
Hallo miteinander,
bei mir hätte es so ausgesehen Marcel:
[mm] \sqrt{\frac{C}{w(t)}-B}=(t-A)
[/mm]
nun hätte ich weiterhin nach t aufgelöst
[mm] A\pm\sqrt{\frac{C}{w(t)}-B}=t
[/mm]
|
|
|
| |
|
> Hallo miteinander,
>
> bei mir hätte es so ausgesehen Marcel:
>
> [mm]\sqrt{\frac{C}{w(t)}-B}=(t-A)[/mm]
wenn du von diesem Ansatz nach t auflöst, müsstest du schreiben:
[mm] \sqrt{\frac{C}{w(t)}-B}+A=t
[/mm]
aber wie schon gesagt. Betragsstriche und Fallunterscheidung sind notwendig -> du suchst ja eigentlich ja auch nach 2 Werten. erstens die bekannten 30 Jahre und 2. die unbekannten 47,.. Jahre. Also muss t 2 Lösungen besitzen und die Fallunterscheidung macht plötzlich mehr Sinn.
Vielleicht ein bisschen schlecht formuliert, aber ich hoffe du verstehst was ich meine.
>
> nun hätte ich weiterhin nach t aufgelöst
>
> [mm]A\pm\sqrt{\frac{C}{w(t)}-B}=t[/mm]
LG Scherzkrapferl
|
|
|
| |
|
Danke scherzkrapferl!
Das war verständlich für mich. Keine weiteren Fragen. 
|
|
|
| |
|
> Danke scherzkrapferl!
Kein Problem ;) Wissen ist für alle da!
Aber nicht vergessen: meine Formulierung solltest du auf keinen Fall bei einer Prüfung verwenden! Hier gings nur ums Verständnis, warum in deinem Bsp eine Fallunterscheidung vorkommen muss (wir gehen ja davon aus dass 2 Lösungen existieren).
Ich bin ja von dem Wissen aus gegangen, dass ich den Betrag brauche (und warum ich ihn brauche) und habe nur "rückblickend" (die 2 Lösungen sind ja im allgemeinen nicht der Grund für den Betrag, sondern das Quadrat) laut überlegt, warum der Betrag, bzw eine Fallunterscheidung in diesem Bsp nötig ist. Normalerweise kannst du ja (ohne gegebener Formel) nicht darauf schließen, dass 2 unterschiedliche Lösungen für t in einer beliebigen Gleichung existieren.
Kurz gesagt: Ich habe bekanntes rückwärts überlegt *gg* - Sorry bin Physik-Student (wir Physik-Studenten aus Österreich denken manchmal bisschen eigenartig)
Einfaches Bsp um nochmal zu resumieren:
x... eine beliebige reelle Zahl -> [mm] x\ge [/mm] 0
t... eine gesuchte reelle Zahl
[mm] t^2=x
[/mm]
[mm] |t|=\sqrt{x}
[/mm]
[mm] t=\pm \sqrt{x}
[/mm]
>
> Das war verständlich für mich. Keine weiteren Fragen.
LG Scherzkrapferl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:31 So 26.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo scherzkrapferl,
> x... eine beliebige reelle Zahl
> t... eine gesuchte reelle Zahl
>
> [mm]t^2=x[/mm]
>
> [mm]|t|=\sqrt{x}[/mm]
>
> [mm]t=\pm \sqrt{x}[/mm]
ich finde diese Überlegungen schön, aber man kann das alles mathematisch untermauern - sogar ohne extra zu erwähnen, dass ein komplexes Polynom vom Grade [mm] $n\,$ [/mm] genau [mm] $n\,$ [/mm] Nullstellen hat ^^
Übrigens sollte oben $x [mm] \ge [/mm] 0$ stehen, sonst steht da "evtl." ein wenig Quatsch:
Also für $t [mm] \in \IR$ [/mm] und $x [mm] \ge [/mm] 0$ gilt
[mm] $$t^2=x \gdw (t+\sqrt{x})*(t-\sqrt{x})=0 \gdw (t=-\sqrt{x} \text{ oder }t=\sqrt{x})\,.$$ [/mm]
Du siehst auch nach dem ersten [mm] $=\,,$ [/mm] warum man (in der Schule jedenfalls) $x [mm] \ge [/mm] 0$ voraussetzen sollte (Wenn man $x [mm] \ge [/mm] 0$ nicht voraussetzt, sollte man besser auch $t [mm] \in \IC$ [/mm] zulassen, oder aber halt beachten, dass [mm] $t^2=x$ [/mm] für $x < 0$ keine Lösung $t [mm] \in \IR$ [/mm] hat.)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Hallo Marcel,
> Hallo scherzkrapferl,
>
> > x... eine beliebige reelle Zahl
> > t... eine gesuchte reelle Zahl
> >
> > [mm]t^2=x[/mm]
> >
> > [mm]|t|=\sqrt{x}[/mm]
> >
> > [mm]t=\pm \sqrt{x}[/mm]
>
> ich finde diese Überlegungen schön, aber man kann das
> alles mathematisch untermauern - sogar ohne extra zu
> erwähnen, dass ein komplexes Polynom vom Grade [mm]n\,[/mm] genau
> [mm]n\,[/mm] Nullstellen hat ^^
Haha, danke :) Freut mich, wenn jemand Gefallen an meiner Denkweise findet.
Das mit dem mathematischen Untermauern ist leider nicht meine Stärke ^^
>
> Übrigens sollte oben [mm]x \ge 0[/mm] stehen, sonst steht da
> "evtl." ein wenig Quatsch:
Ups, du hast Natürlich vollkommen recht. x und t hätte ich genauer bestimmen müssen. Habe leider nicht daran gedacht (mir fehlt leider die Übung im "Aufgaben Erteilen").
Gemeint war wie du wiedereinmal richtig erkannt hast [mm] x\ge0 [/mm] und t [mm] \in\IR
[/mm]
> Also für [mm]t \in \IR[/mm] und [mm]x \ge 0[/mm] gilt
> [mm]t^2=x \gdw (t+\sqrt{x})*(t-\sqrt{x})=0 \gdw (t=-\sqrt{x} \text{ oder }t=\sqrt{x})\,.[/mm]
>
> Du siehst auch nach dem ersten [mm]=\,,[/mm] warum man (in der
> Schule jedenfalls) [mm]x \ge 0[/mm] voraussetzen sollte (Wenn
> man [mm]x \ge 0[/mm] nicht voraussetzt, sollte man besser auch [mm]t \in \IC[/mm]
> zulassen, oder aber halt beachten, dass [mm]t^2=x[/mm] für [mm]x < 0[/mm]
> keine Lösung [mm]t \in \IR[/mm] hat.)
>
Danke für die Berichtigung :)
Freue mich immer, wenn mir jemand zeigt, wo meine Ungenauigkeiten bei Formulierungen/Fehler sind.
> Gruß,
> Marcel
Lieben Gruß,
Scherzkrapferl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:14 So 26.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> > Hallo scherzkrapferl,
> >
> > > x... eine beliebige reelle Zahl
> > > t... eine gesuchte reelle Zahl
> > >
> > > [mm]t^2=x[/mm]
> > >
> > > [mm]|t|=\sqrt{x}[/mm]
> > >
> > > [mm]t=\pm \sqrt{x}[/mm]
> >
> > ich finde diese Überlegungen schön, aber man kann das
> > alles mathematisch untermauern - sogar ohne extra zu
> > erwähnen, dass ein komplexes Polynom vom Grade [mm]n\,[/mm] genau
> > [mm]n\,[/mm] Nullstellen hat ^^
>
> Haha, danke :) Freut mich, wenn jemand Gefallen an meiner
> Denkweise findet.
ich arbeite mit Physikern zusammen (und Maschinenbauern und und und...). Ich finde es oft gar nicht so schlecht, wenn man ein wenig mal "Schnellschüsse" abfeuert, evtl. mit Fehlern - das kann oft zu etwas neuem, interessanten führen!
> Das mit dem mathematischen Untermauern ist leider nicht
> meine Stärke ^^
Ich denke, dass das sich im Laufe der Zeit noch entwickeln wird. Die Physiker/Maschinenbauer/Ingenieure etc. sind manchmal zwar auch nicht ganz präzise, aber man merkt, dass sich auch bei denen im Laufe der Zeit dahingehend immer wieder nach und nach was verbessert. Unsere Physiker mit Dr.-Titel sind jedenfalls meist auch mathematisch ziemlich fit und präzise, und wissen dennoch auch manchmal, einfach mal die Strenge in der Mathematik ein wenig zu vergessen, um etwas neues zu entwickeln oder altes weiterzuentwickeln!
> >
> > Übrigens sollte oben [mm]x \ge 0[/mm] stehen, sonst steht da
> > "evtl." ein wenig Quatsch:
>
> Ups, du hast Natürlich vollkommen recht. x und t hätte
> ich genauer bestimmen müssen. Habe leider nicht daran
> gedacht (mir fehlt leider die Übung im "Aufgaben
> Erteilen").
>
> Gemeint war wie du wiedereinmal richtig erkannt hast [mm]x\ge0[/mm]
> und t [mm]\in\IR[/mm]
>
> > Also für [mm]t \in \IR[/mm] und [mm]x \ge 0[/mm] gilt
> > [mm]t^2=x \gdw (t+\sqrt{x})*(t-\sqrt{x})=0 \gdw (t=-\sqrt{x} \text{ oder }t=\sqrt{x})\,.[/mm]
> >
> > Du siehst auch nach dem ersten [mm]=\,,[/mm] warum man (in der
> > Schule jedenfalls) [mm]x \ge 0[/mm] voraussetzen sollte (Wenn
> > man [mm]x \ge 0[/mm] nicht voraussetzt, sollte man besser auch [mm]t \in \IC[/mm]
> > zulassen, oder aber halt beachten, dass [mm]t^2=x[/mm] für [mm]x < 0[/mm]
> > keine Lösung [mm]t \in \IR[/mm] hat.)
> >
>
> Danke für die Berichtigung :)
> Freue mich immer, wenn mir jemand zeigt, wo meine
> Ungenauigkeiten bei Formulierungen/Fehler sind.
Naja, so lern(t)en wir schließlich alle, und wohl auch am meisten: Die Fehler, die meine Korrekteure/Korrekteurinnen bei mir manchmal gefunden haben, da habe ich mir auch manchmal die Hand gegen meinen Schädel geklatscht
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Ist notiert. Letzten Endes waren alle Informationen sehr hilfreich für mich. Auf dem jetzigen Wissen kann ich sicherlich sehr gut für die nachfolgenden Übungen aufbauen.
Ich danke allen Beteiligten.
Mit freundlichem Gruß
Dennis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:36 So 26.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Dennis,
> Ist notiert. Letzten Endes waren alle Informationen sehr
> hilfreich für mich. Auf dem jetzigen Wissen kann ich
> sicherlich sehr gut für die nachfolgenden Übungen
> aufbauen.
beachte aber, das scherzkrapferl ein wenig was unterschlagen hat (sofern ihr nicht im Komplexen rechnen dürft - aber er hat ja eh $t [mm] \in \IR$ [/mm] geschrieben):
Es gilt nämlich für $x,t [mm] \in \IR$
[/mm]
$$1. Fall: x [mm] \ge [/mm] 0: [mm] \text{ Dann ist }t^2=x \gdw t=\pm\sqrt{x}\,.$$
[/mm]
$$2. Fall: x < 0: [mm] \text{ Dann ist }t^2=x \text{ für kein }t \in \IR \text{ erfüllt, da }t^2 \ge 0\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
