Wärmeleitfähigkeit < Materialwissenschaft < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:02 Do 01.10.2015 | | Autor: | Coxy |
| Aufgabe | Der elektronische Anteil der Wärmeleitfähigkeit kann analog zur elektrischen Leitfähigkeit beschrieben
werden. Elektrische Leitfähigkeit σ und Wärmeleitfähigkeit λ hängen über das Wiedemann-
Franzsche Gesetz zusammen: λ / σ = LT (T: Temperatur, L = [mm] \pi^2*k^2 [/mm] / [mm] (3e^2 [/mm] ) = 2.45 [mm] *10^{-8}WΩK^{-2} [/mm] :
Lorentz-Zahl), d.h. ein Material mit guter elektrischer Leitfähigkeit wird auch eine gute thermische
Leitfähigkeit zeigen.
Leiten Sie mit Hilfe des Gaußschen Satzes die folgende Gleichung ab:
1dim.: [mm] \bruch{\partial T}{\partial t}= \bruch{-1*\partial J_{w}}{p*c*\partial x}
[/mm]
3dim.: [mm] \bruch{\partial T}{\partial t}= \bruch{-1*\nabla \vec{J_{w}}}{p*c}
[/mm]
Hinweis: dE(x, y, z,t) = c*p*T(x, y, z,t)dxdydz
Die zeitliche Änderung der im Volumen enthaltenen Energie ist gleich der Energie, die im Zeitintervall dt,
über die Oberfläche abfließt.
Für nahezu beliebige Gebiete, hier der Einfachheit halber ein Würfel W, lautet der Gauß'sche Satz
[mm] \integral_{}^{}{}\integral_{w}^{}{}\integral_{}^{}{ }\nabla \vec{u}*dV= \oint \oint \vec{u}*d\vec{S}
[/mm]
d.h. das Integral eines Vektorfeldes [mm] \vec{u}
[/mm]
über die Oberfläche des Würfels liefert
das gleiche Ergebnis wie die Integration der Divergenz dieses Vektorfeldes über das Volumen des
Würfels.
Der Verlust an Wärmeenergie pro Zeiteinheit dQ/dt aus dem Würfel ist gleich dem Wärmestrom, der
über die Würfeloberfläche abfließt, also
[mm] \bruch{dQ}{dt}=\oint_{\partial w} \oint [/mm] - [mm] \vec{J_{w}}*d\vec{S}
[/mm]
Die Wärmemenge ist gegeben durch das Integral der Energie über den Würfel, also mit dem Hinweis:
[mm] Q=\integral_{}^{}{} \integral_{w}^{}{} \integral_{}^{}{} [/mm] c*p*T*dV
Schließlich erhält man
[mm] \bruch{dQ}{dt}= \integral_{}^{}{} \integral_{w}^{}{} \integral_{}^{}{} c*p*\bruch{dT}{dt}*dV=- \integral_{}^{}{} \integral_{}^{}{} \integral_{}^{}{} \nabla \vec{J_{w}}*dV
[/mm]
Da diese Gleichung für jeden beliebigen Würfel gilt, erhält man durch Vergleich der Termen unter
dem Volumenintegral |
Also ich habe folgende Frage:
Ich verstehe nicht wie man von
[mm] \bruch{dQ}{dt}= \integral_{}^{}{} \integral_{w}^{}{} \integral_{}^{}{} c*p*\bruch{dT}{dt}*dV=- \integral_{}^{}{} \integral_{}^{}{} \integral_{}^{}{} \nabla \vec{J_{w}}*dV
[/mm]
zu
1dim.: [mm] \bruch{\partial T}{\partial t}= \bruch{-1*\partial J_{w}}{p*c*\partial x}
[/mm]
3dim.: [mm] \bruch{\partial T}{\partial t}= \bruch{-1*\nabla \vec{J_{w}}}{p*c}
[/mm]
kommen soll. Bis zu diesem Punkt habe ich nämlich alles verstanden.
Ich hoffe es kann mir jemand weiterhelfen.
Schöne Grüße
Coxy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:14 Do 01.10.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da die 2 Integrale für BELIEBIGE Würfel gelten, muss der Integrand in beiden gleich sein.
(das gilt i.A. nicht, wenn sie nur über einen Würfel gelten)
du kannst auch den Würfel ja beliebig klein machen, dann ist das integral fast Integrand [mm] *\Delta [/mm] V
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Fr 02.10.2015 | | Autor: | Coxy |
So wie ich dich verstanden habe meinst du das ich aus
[mm] \bruch{dQ}{dt}= \integral_{}^{}{} \integral_{w}^{}{} \integral_{}^{}{} c\cdot{}p\cdot{}\bruch{dT}{dt}\cdot{}dV=- \integral_{}^{}{} \integral_{}^{}{} \integral_{}^{}{} \nabla \vec{J_{w}}\cdot{}dV
[/mm]
folgendes machen kann
[mm] c\cdot{}p\cdot{}\bruch{dT}{dt}=- \nabla \vec{J_{w}}
[/mm]
mir erschließt sich aber noch nicht ganz warum die Integrale verschwinden.
Ich vermute ich darf nicht einfach ein Integral auf beiden Seiten entfernen d.h. dadurch teilen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:09 So 04.10.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
ist dir klar, dass wenn [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}=\integral_{a}^{b}{g(x) dx} [/mm] ÜBER BELIEBIGE STRECKEN ab gilt dass dann f(x)=g(x)
überlege warum, es gilt nicht, wenn es nur für einige Strecken ab gilt!
3d ist das nicht sehr anders.
Gruß leduart
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