Wahrscheinlichkeit < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:44 Do 17.01.2008 | | Autor: | Sunny22 |
Hey Leutz!
Wir haben in Mathe eine Aufgabe von einer Fabrik.
Dort werden Bauteile von so einem Gerät gestestet. 90% der Bauteile sind in Ordnung. also 10% nicht. Von den 90% werden 2% aber als nicht in ordnung angezeigt. 95% der Teile die nicht in Ordnung sind werden auch als nicht in Ordnung erkannt. Wir sollten dann rausfinden mit Welcher Wahrscheinlichkeit ein als "fehlerhaft" angezeigtes Bauteil auch wirklich nicht zu gebrauchen ist. Und mit welcher Wahrscheinlichkeit ein als "in Ordnung" angezeigtes Bauteil auch wirklich in Ordnung ist.
Bis dahin konnte ich das noch. aber dann geht die Aufgabe weiter:
Um die Fehlerquote zu senken wird die Kontrollmessung von einer anderen Person wiederholt. Mit Welcher Wahrscheinlichkeit ist ein zweifach als "fehlerhaft" angezeigtes Bauteil auch tatsächlich nicht zu gebrauchen bzw. ist ein zweifach als "funktionstüchtig" angezeigtes Bauteil auch wirklich in Ordnung?
Da weiß ich nicht genau wie ich das machen soll.
Kann mir jemand ein Tipp geben?
Ich hab schon ein 2. Baumdiagramm gezeichnet...
MfG
Sunny
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:58 Do 17.01.2008 | | Autor: | Sunny22 |
Also... nochmal zusammenfassend
--> 90% der Bauteile sind in Ordnung. Aber trotzdem zeigt das Gerät irrtümlciher weise bei 2% "nicht in Ordnung" an
--> 10% der Bauteile sind nicht in Ordnung. Davon werden 95% auch als "nicht in Ordnung" angezeigt.
Ich musste dann die Wahrscheinlichkeit ausrechnen, dass wenn man einen "nicht in Ordnung" angezeigten Bauteil hab, das der auch wirklich nicht in Ordnung ist.
Und:
Wenn man einen "in Ordnung" angezeigten Bauteil hatm dass der auch wirklich in Ordnung ist.
Das hab ich dann ausgerechnet.
Doch jetzt war da schon die oben genannte aufgabe.
Ist es jetzt vielleicht verständlicher und kann mir jemand helfen?
Sunny
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:58 Do 17.01.2008 | | Autor: | Blech |
Der Baum sähe so aus:
Teil ist
1. fehlerhaft
1.1 und wird beim ersten Mal als fehlerhaft erkannt
1.1.1 und wird auch beim zweiten Mal als fehlerhaft erkannt
1.1.2 und wird beim zweiten Mal nicht mehr als fehlerhaft erkannt
1.2 und wird beim ersten Mal nicht als fehlerhaft erkannt
1.2.1 und wird beim zweiten mal als fehlerhaft erkannt
1.2.2 und wird beim zweiten mal nicht als fehlerhaft erkannt
2. nicht fehlerhaft
2.1 und wird beim ersten Mal als fehlerhaft erkannt
2.1.1 und wird auch beim zweiten Mal als fehlerhaft erkannt
2.1.2 und wird beim zweiten Mal nicht mehr als fehlerhaft erkannt
2.2 und wird beim ersten Mal nicht als fehlerhaft erkannt
2.2.1 und wird beim zweiten mal als fehlerhaft erkannt
2.2.2 und wird beim zweiten mal nicht als fehlerhaft erkannt
Die Wahrscheinlichkeit, daß ein Teil, das zweimal als fehlerhaft erkannt wurde auch tatsächlich nicht zu gebrauchen ist, ist also die Wkeit, daß ein tatsächlich fehlerhaftes Teil zweimal als fehlerhaft ausgewiesen wurde (1.1.1) geteilt durch die Wkeit, daß ein beliebiges Teil zweimal als fehlerhaft erkannt wurde (1.1.1+2.1.1). Das ist einfach die Wkeit des günstigen Falls (zweimal beanstandetes Teil ist kaputt) geteilt durch die Wkeit aller möglichen Fälle (das Teil wurde zweimal beanstandet, es kann kaputt sein oder auch nicht).
Die tatsächliche Wkeit hängt aber davon ab, ob die beiden Kontrollen unabhängig sind. D.h. ob es reiner Zufall ist, wenn ein fehlerhaftes Teil als nicht fehlerhaft ausgewiesen wurde (und andersrum; in diesem Fall helfen zwei Kontrollen und im Zweifelsfall ist das auch, was Du hier annehmen sollst), oder ob es gewisse Fehlerarten gibt, die die Maschine nicht zuverlässig erkennt (in dem Fall kannst Du testen bis Du schwarz wirst und es hilft nix).
Rechnet ihr mit bedingten Wahrscheinlichkeiten? Dann ginge es kürzer und präziser =)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:04 Do 17.01.2008 | | Autor: | Sunny22 |
Also die Kontrolle ist unabhängig!!!
Bedingte Wahrscheinlichkeit... wie sähe es denn da aus?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:18 Do 17.01.2008 | | Autor: | Blech |
Wenn Wir als Ereignisse haben:
F: Teil ist fehlerhaft
B: Teil wurde zweimal beanstandet
dann wäre
[mm] $P(F|B)=\frac{P(F\cap B)}{P(B)}$
[/mm]
direkt nach Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit.
Also P(Fehlerhaft unter der Bedingung, daß es zweimal als fehlerhaft beanstandet wurde) = P(Teil fehlerhaft und Teil wurde beanstandet)/P(Teil fehlerhaft) wie oben.
Die saubere Langfassung geht so:
N: Teil ist nicht fehlerhaft
[mm] $B_1$: [/mm] Teil wird bei der ersten Kontrolle beanstandet
[mm] $B_2$: [/mm] Teil wird bei der zweiten Kontrolle beanstandet
[mm] $P(F|B)\underset{\text{totale Wkeit}}{=} \frac{P(B|F)*P(F)}{P(B|F)*P(F)+P(B|N)*P(N)}=\frac{P(B_1\cap B_2|F)*P(F)}{P(B_1\cap B_2|F)*P(F)+P(B_1\cap B_2|N)*P(N)}=$
[/mm]
$= [mm] \frac{P(B_1|F)^2*P(F)}{P(B_1|F)^2*P(F)+P(B_1|N)^2*P(N)}$
[/mm]
weil [mm] P(B_1 \cap B_2 |F)\underset{\text{Unabh.}}{=} P(B_1 |F)*P(B_2|F)=P(B_1|F)^2, [/mm] wegen Unabhängigkeit, und weil beide Kontrollen identische Wkeiten haben.
(Sorry, ich denke wir hatten Stochastik damals erst in der Kollegstufe. Ich hab keine Ahnung, was Dein Kenntnisstand ist =)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:21 Do 17.01.2008 | | Autor: | Sunny22 |
Nee sowas hatten wir noch nicht.
Aber du kannst mir trotzdem nochmal helfen :-p
Wie kann ich die gesamte Wahrscheinlichkeit raus kriegen laos wodurch ich 1.1.1 teilen muss. Aber trotzdem danke!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:36 Do 17.01.2008 | | Autor: | Blech |
> Nee sowas hatten wir noch nicht.
> Aber du kannst mir trotzdem nochmal helfen :-p
> Wie kann ich die gesamte Wahrscheinlichkeit raus kriegen
> laos wodurch ich 1.1.1 teilen muss. Aber trotzdem danke!!
Es ist einfach die Summe der Wkeiten von 1.1.1 und 2.1.1.
1.1.1 ist 0.1 (Teil ist fehlerhaft) * 0.95 (Test erkennt Teil als fehlerhaft) * 0.95 (Test erkennt Teil als fehlerhaft)
2.1.1 funktioniert genauso, Du hast halt 0.9*0.02*0.02 (Teil nicht fehlerhaft, Test irrt sich zweimal).
[mm] $\frac{0.95^2*0.1}{0.95^2*0.1+0.02^2*0.9}\approx [/mm] 0.996$
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