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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:46 So 16.05.2010 | | Autor: | bestduo |
Hallo,
ich komme mit dieser Aufgabe nicht zurecht:
[mm] A_{1},....,A_{n} [/mm] sind unabhängige Ereignisse, mit [mm] P(A_{i})=p_{i}
[/mm]
Wahrscheinlichkeit soll bestimmt werden, dass
1. keiner dieser Ereignisse eintritt
2. wenigstens einer dieser Ereignisse eintritt
3. genau eines dieser ereignisse eintritt
also ich denke mal das müsste man mit Laplace rechnen oder?
dann müsste man ja |A| / |omega|
aber wie soll man das machen, ich habe kein Omega. Ich verstehe nicht wie man das lösen kann.
Hoffe mir kann jemand weiter helfen.
bei i muss dann ja [mm] P(A_{i}) [/mm] = 0 sein, weiss aber trotzdem nicht weiter..
Grüße
bestduo
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Hallo!
> Hallo,
> ich komme mit dieser Aufgabe nicht zurecht:
> [mm]A_{1},....,A_{n}[/mm] sind unabhängige Ereignisse, mit
> [mm]P(A_{i})=p_{i}[/mm]
> Wahrscheinlichkeit soll bestimmt werden, dass
> 1. keiner dieser Ereignisse eintritt
> 2. wenigstens einer dieser Ereignisse eintritt
> 3. genau eines dieser ereignisse eintritt
>
> also ich denke mal das müsste man mit Laplace rechnen
> oder?
> dann müsste man ja |A| / |omega|
> aber wie soll man das machen, ich habe kein Omega.
So sollst du es nicht lösen.
Bearbeite die Aufgaben in drei Schritten:
a) Schreibe die in den Aufgaben 1.,2.,3. als Mengen, die nur aus [mm] A_{1},...,A_{n} [/mm] durch Schnitt, Komplement und Vereinigung gebildet werden.
Beispiel zu 1.):
Wenn A oder B eintreten soll, so ist die Menge [mm] A\cup [/mm] B. (Sowohl die Elemente von A als auch die von B).
Wenn A und B eintreten sollen, so ist die Menge A [mm] \cap [/mm] B. (Nur die Elemente, die in A und B drin sind).
"Keines der Ereignisse"
= Komplement von "irgendein Ereignis tritt ein"
= Komplement von "Ereignis [mm] A_{1} [/mm] oder Ereignis [mm] A_{2} [/mm] oder ... oder Ereignis [mm] A_{n} [/mm] tritt ein"
= [mm] $(A_{1}\cup A_{2} \cup [/mm] ... [mm] \cup A_{n})^{c}$.
[/mm]
b) Berechne nun die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, indem du die Mengen zunächst mit den Morgan'schen Regeln etc. so umformst, dass sie NUR noch aus Schnitten und Komplementbildungen bestehen.
Beispiel zu 1.):
Mit Morganschen Regeln:
[mm] $(A_{1}\cup A_{2} \cup [/mm] ... [mm] \cup A_{n})^{c} [/mm] = [mm] A_{1}^{c}\cap A_{2}^{c}\cap [/mm] ... [mm] \cap A_{n}^{c}$.
[/mm]
c) Nun kannst du unter Verwendung der Unabhängigkeit der Ereignisse (Wenn A und B unabhängig, gilt [mm] $P(A\cap [/mm] B) = P(A)*P(B)$, und insbesondere gilt auch, dass die Komplemente unabhängig sind, also gilt auch [mm] P(A\cap B^{c}) [/mm] = [mm] P(A)*P(B^{c}) [/mm] oder [mm] P(A^{c}\cap B^{c}) [/mm] = [mm] P(A^{c})*P(B^{c}) [/mm] ) die Wahrscheinlichkeiten berechnen:
Beispiel zu 1.):
[mm] $P(A_{1}^{c}\cap A_{2}^{c}\cap [/mm] ... [mm] \cap A_{n}^{c}) [/mm] = [mm] P(A_{1}^{c})*P(A_{2}^{c})*...*P(A_{n}^{c}) [/mm] = [mm] (1-P(A_{1}))*...*(1-P(A_{n})) [/mm] = [mm] (1-p_{1})*...*(1-p_{n})$.
[/mm]
Nun bist du dran!
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:16 Mo 17.05.2010 | | Autor: | bestduo |
wäre das dann für 2 beim ersten Schritt [mm] A_{1} \cup [/mm] , ... [mm] \cup A_{n} [/mm] ? entweder tritt das erste ein oder das zweite...
und bei 3 dann [mm] A_{1} [/mm] \ [mm] A_{2} [/mm] \ ... [mm] A_{n} [/mm] ??
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Hallo,
> wäre das dann für 2 beim ersten Schritt [mm]A_{1} \cup[/mm] , ...
> [mm]\cup A_{n}[/mm] ? entweder tritt das erste ein oder das
> zweite...
Genau!
> und bei 3 dann [mm]A_{1}[/mm] \ [mm]A_{2}[/mm] \ ... [mm]A_{n}[/mm] ??
Nein, das stimmt nicht. Damit betrachtest du ja nur, dass NUR [mm] A_{1} [/mm] eintritt.
Man kann dein Ereignis von oben auch so schreiben:
[mm] $A_{1}\cup (A_{2}\cup [/mm] ... [mm] \cup A_{n})^{c} [/mm] = [mm] A_{1}\cap A_{2}^{c}\cap [/mm] ... [mm] \cap A_{n}^{c}$
[/mm]
Um welche Wahrscheinlichkeiten musst du deine Formel ergänzen, damit auch die Fälle behandelt werden, dass NUR [mm] A_{2}, [/mm] NUR [mm] A_{3}, [/mm] etc. eintritt?
Grüße,
Stefan
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