Wahrscheinlichkeit Urnenmodell < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:30 Mi 30.05.2012 | | Autor: | Haruo |
| Aufgabe | | Für eine Geschäftsidee brauche ich ein Urnenmodell mit der entsprechenden Formel. Ich scheitere aber an der Komplexität... |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Die Frage ist diese:
Angenommen, es gäbe eine Art von Wettbewerb, dessen Gewinn absolut dem Zufall überlassen ist, jeder Teilnehmer hat die gleichen Chancen. Es gibt mit mir insgesamt k Teilnehmer. Dann ist die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen, 1/k.
Wenn ich nun an z.B. vier solcher Wettbewerbe teilnehme, an denen jeweils k,l,m und n Menschen teilnehmen, ist meine jeweilige Gewinnwahrscheinlichkeit immer noch einfach 1/k, 1/l, 1/m und 1/n.
Im Urnenmodell sind das vier Urnen mit je einer roten und unterschiedlich vielen weißen Kugeln, aus denen jeweils nur einmal gezogen wird.
Die Frage ist, wie berechnet man in so einer Konstellation die Wahrscheinlichkeit, in diesen Wettbewerben GENAU x mal zu gewinnen. Oder im Urnenmodell formuliert:
Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit, bei einer Zahl von K Urnen, die jeweils mit einer roten und einer unterschiedlichen (bekannten) Zahl weißer Kugeln gefüllt sind und aus denen jeweils einmal gezogen wird, am Ende GENAU x rote Kugeln in der Hand zu haben ?
Jede Idee hilft !
Haruo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:32 Mi 30.05.2012 | | Autor: | wauwau |
Würde mir das Ziehen mit einem Modell folgenderweise veranschaulichen
Ziehen aus der 1. Urne mit k Kugeln = [mm] $\frac{x+(k-1)}{k}$
[/mm]
Ziehen aus der 2. Urne mit l Kugeln = [mm] $\frac{x+(l-1)}{l}$
[/mm]
Ziehen aus der 3. Urne mit m Kugeln = [mm] $\frac{x+(m-1)}{m}$
[/mm]
Ziehen aus der 4. Urne mit n Kugeln = [mm] $\frac{x+(n-1)}{n}$
[/mm]
das viermalige Ziehen
[mm] $(\frac{x+(k-1)}{k})(\frac{x+(l-1)}{l})(\frac{x+(m-1)}{m})(\frac{x+(n-1)}{n})$
[/mm]
jetzt ist die Wahrscheinlichkeit dass du genau 1x gewinnst, der Koeffizient von [mm] $x^1$ [/mm] im obigen ausgerechneten Produkt
dass du genau 2x gewinnst, der Koeffizient von [mm] $x^2$ [/mm] usw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Mi 30.05.2012 | | Autor: | Haruo |
Erst einmal vielen Dank für die superschnelle Antwort. Ich fürchte, ich stehe nur noch immer auf dem Schlauch - oder die Benennungen in Österreich sind leicht unterschiedlich als in Deutschland - was bei Mathe ja riesige Auswirkungen haben kann:
1. Als erstes einmal steige ich schon nicht hinter die oberen vier Brüche: wenn ich eine Urne mit k Kugeln habe und daraus eine ziehe, wofür steht dann die Variable x in dem Bruch ?
2. Da der Bruch Werte über 1 ergibt, gehe ich davon aus, daß mit dem Bruch an sich die Permutationen dargestellt werden sollen. Wenn ich aber in EINER Urne genau k Kugeln habe und nur einmal ziehe, gibt es doch genau k Möglichkeiten, dies zu tun, oder wo ist mein Denkfehler ?
3. Die zahl der Permutationen bei vier Urnen (wenn ich dann Frage 1 und 2 verstanden habe) ergibt sich dann als Produkt - soweit dann wieder klar, aber...
4. Die Wahrscheinlichkeit ist dann der Koeefizent der günstigen Möglichkeiten durch die Zahl aller Möglichkeiten (=Permutationen von oben). Die Zahl der günstigen Möglichkeiten (ich gewinne/ich ziehe eine rote Kugel) müßte doch sein bei einmal gewinnen: 4 (ich kann eine rote Kugel aus der ersten, aus der zweiten, aus der dritten und aus der vierten Urne ziehen.) Und bei 2 x gewinnen müßte es doch 6 sein (3 + 2 +1). Was bedeuten dann xhoch 1 und x hoch 2 in der Lösung ?
Liebe Grüße und danke für die Hilfe !
Haruo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 Mi 30.05.2012 | | Autor: | wauwau |
OK - hab nicht gesehen, dass du Oberstufe bist und mit erzeugenden Funktionen noch nichts am Hut hast.
Also beim Ziehen aus der Urne ziehst du mit [mm] $\frac{1}{k}$ [/mm] dich selbst und mit der Wahrsch. [mm] $\frac{k-1}{k}$ [/mm] eine weiße Kugel.
Bei Vier ziehungen kannst du dann eine Tabelle bauen:
1.Urne|2.Urne|3.Urne|4.Urne|Wahrscheinl dieser Ziehungsreihenfolge
und in jeder Urnenspalte gibts dann den Ausgang (M für mich bzw W für weiss)
Beispiel: Ziehungsreihenfolge MWMW
Wahrscheinl: = [mm] $\frac{1}{k}\frac{l-1}{l}\frac{1}{m}\frac{n-1}{n}$
[/mm]
Insgesamt also [mm] $2^4$ [/mm] Möglichkeiten (Zeilen in der Tabelle)
Für die Wahrscheinlichkeiten genau einmal dich selbst M zu ziehen, summierst du die Wahrscheinlichkeiten der (vier) Zeilen, in denen M genau einmal vorkommt,
Für die Wahrscheinlichkeiten genau zweimal dich selbst M zu ziehen, summierst du die Wahrscheinlichkeiten der (sechs) Zeilen, in denen M genau zweimal vorkommt usw....
OK?
Wenn k=l=m=n wäre, dann wär das eine normale Binomialverteilung!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:27 Mi 30.05.2012 | | Autor: | Haruo |
Danke, wau wau - jetzt hab ich es ! Das hilft mir sehr...
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