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Wahrscheinlichkeit bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:54 Do 04.12.2014
Autor: M.M

Aufgabe
[mm] (X_n) [/mm] seien unabhängig gleichverteilt auf [0,1]. Bestimmen Sie [mm] P(\produkt_{i=1}^{n}X_n>2^{-50}). [/mm]

Kann mir jemand bei dieser Frage helfen?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Wahrscheinlichkeit bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:05 Do 04.12.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

was weißt du denn über gleichverteilte Zufallsvariablen?
Wie sieht deren Dichte aus?
Was weißt du über Dichten von unabhängigen Zufallsvariablen?

Also ein bisschen mehr eigener Ansatz wäre schon wünschenswert....

Ein guter Ansatz wäre es auch, sich erstmal auf zwei zu beschränken, wie ist also [mm] $X_1*X_2$ [/mm] verteilt?

Gruß,
Gono

Bezug
                
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Wahrscheinlichkeit bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:50 Do 04.12.2014
Autor: M.M

Danke für deine schnelle Antwort!

Ich habe mir folgendes überlegt. Ich habe aus dem Produkt eine Summe von Logarithmen gemacht. Diese sieht wie folgt aus.
[mm] P(\summe_{n=1}^{50}log(X_n)<-50*log(2)). [/mm]
Wenn ich das nun umforme, erhalte ich eine Summe von exponentialverteilten Zufallszahlen und da komme ich nun nicht mehr weiter.


Bezug
                        
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Wahrscheinlichkeit bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:44 Do 04.12.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  Wenn ich das nun umforme, erhalte ich eine Summe von exponentialverteilten Zufallszahlen

von unabhängigen exponentialverteilten ZV zum Parameter 1 und die sind Gamma-verteilt.
Was mir aber gerade auffällt: Du hast plötzlich keinen variablen Laufindex mehr über der Summe stehen, sondern 50.
Was stimmt denn nun?

edit: Und sollst du es genau berechnen oder nur näherungsweise?
Deine Umformungen bringen einen doch glatt dazu (sofern das mit der 50 stimmt), die Dinger mit dem zentralen Grenzwertsatz zu approximieren.

Gruß,
Gono

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Wahrscheinlichkeit bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:50 Do 04.12.2014
Autor: M.M

Bei der Frage habe ich vergessen, beim Produkt die obere Grenze auf 50 zu verändern. Sollte immer schon 50 sein. Wie würde man das mit dem zentralen Grenzwertsatz approximieren.

Danke

Bezug
                                        
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Wahrscheinlichkeit bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:08 Fr 05.12.2014
Autor: luis52

Moin, du brauchst keinen ZGS, du kannst die Wahrscheinlichkeit exakt bestimmen. Wie Gono schrieb ist [mm] $\summe_{n=1}^{50}\log(X_n)$ [/mm] Gamma-verteilt, genauer Erlang-verteilt. Deren Verteilungsfunktion besitzt eine geschlossene Form, siehe z.B. []hier.

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Bezug
Wahrscheinlichkeit bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:54 Fr 05.12.2014
Autor: M.M

Danke für eure schnellen Antworten.

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