Wahrscheinlichkeit d. Wahrsch < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:04 Mi 07.06.2006 | | Autor: | mathe007 |
Die Wahrscheinlichkeit in einem Spiel für das positive Ereignis ist 0,4. Die Wahrscheinlichkeit, 10 mal in Folge das negative zu erhalten, beträgt damit [mm] 0,6^10 [/mm] (bzw. 0,6 hoch 10)= 0,605 %. Jetzt meine Frage:
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 100 oder 1000 oder 100.000 Versuchen die 10 Nieten in Folge gezogen werden?
Ist es so einfach, wie ich denke? Also bei 100 Versuchen 6,05 %, bei 1000 dann 60,5 %. Das ist doch wohl falsch?
Ich wuerde mich ueber einen allgemein gueltigen und moeglichst einfachen Loesungsweg (Formel) sehr freuen (bin kein Mathematiker).
Beste Gruesse
Juergen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:16 Mi 07.06.2006 | | Autor: | DirkG |
Nein, so einfach ist es nicht, das beweist schon allein die Fortführung deiner Gedankenkette: Bei 10000 dann 605 % ... offensichtlich Blödsinn.
Zunächst mal muss präzisiert werden, was du für eine Wahrscheinlichkeit denn genau suchst. Ich nehme an, folgende:
Die Wahrscheinlichkeit, dass unter $n$ Spielergebnissen mindestens 10 aufeinanderfolgende Niederlagen dabei sind.
Das zu berechnen, ist äußerst knifflig. Man könnte es mit den Ereignissen
[mm] $A_n$ [/mm] ... die Spiele $n$, $n+1$, ... , $n+9$ gehen verloren
angehen, um dann die gesuchte Wahrscheinlichkeit [mm] $P(A_1\cup A_2\cup \ldots \cup A_{n-9})$ [/mm] mit Hilfe der Siebformel zu berechnen, aber das artet auch schnell in eine ziemlich wüste unübersichtliche Rechnerei aus. Da muss ich nochmal drüber nachdenken...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:00 Do 08.06.2006 | | Autor: | DirkG |
Ok, ich hab nachgedacht, hier eine Lösung des Problems: Sei $q$ die Misserfolgswahrscheinlichkeit eines Einzelversuchs, in deinem Fall also $q=0.6$.
Gesucht sein nun die Wahrscheinlichkeit [mm] $p_n$, [/mm] dass unter den Versuchen [mm] $1,\ldots,n$ [/mm] eine Kette von mindestens $m$ Misserfolgen ist, in deinem Fall ist $m=10$.
Klar ist [mm] $p_0=\ldots=p_{m-1}=0$ [/mm] und [mm] $p_m=q^m$. [/mm] Im folgenden stellen wir eine Rekursion für Indizes [mm] $n\geq [/mm] m+1$ auf:
1.Fall: Unter den Versuchen [mm] $1,\ldots,n-1$ [/mm] existiert bereits eine solche Kette.
2.Fall: Unter den Versuchen [mm] $1,\ldots,n-1$ [/mm] existiert keine solche Kette. Dann sei $k$ die Position des letzten Erfolges in der Reihe [mm] $1,\ldots,n-1$, [/mm] wegen der Fallbedingung muss zwingend [mm] $k\geq [/mm] n-m$ gelten. Dann führen aber nur der Fall $k=n-m$ sowie eine anschließende Kette von $m$ Misserfolgen zur Situation, deren Wkt. wir berechnen wollen.
Insgesamt ergibt sich durch Addition der Fallwahrscheinlichkeiten die Rekursion
[mm] $$p_n [/mm] = [mm] p_{n-1}+(1-p_{n-m-1})(1-q)q^m,\qquad n=m+1,m+2,\ldots$$
[/mm]
Das ergibt dann Werte wie [mm] $p_{100}=0.2049$, $p_{1000}=0.9149$, $p_{10000}=0.999999999983$ [/mm] .
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Do 08.06.2006 | | Autor: | mathe007 |
Hallo, und vielen Dank fuer die Antwort
ich bin leider in Mathe etwas unterbelichtet. Deshalb meine Frage: Kannst Du, Dirk, oder jemand anders, die allgemeingueltige Formel in excel darstellen, so dass ich sie moeglichst einfach uebernehmen kann?
Das waere ganz toll!
Beste Gruesse
Juergen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Do 08.06.2006 | | Autor: | DirkG |
Bähhh, Excel - würgghhh. Aber der Kunde ist König: Hier mal die ersten 15 Zeilen A:B1:15, ich denke, du siehst dann, wie es weitergeht
n pn
0 0
1 0
2 0
3 0
4 0
5 0
6 0
7 0
8 0
9 0
10 =0,6^10
11 =B12+(1-B2)*0,4*0,6^10
12 =B13+(1-B3)*0,4*0,6^10
13 =B14+(1-B4)*0,4*0,6^10
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