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Forum "Wahrscheinlichkeitsrechnung" - Wahrscheinlichkeit eines Lieds
Wahrscheinlichkeit eines Lieds < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Wahrscheinlichkeit eines Lieds: Lösungsvorschlag ?
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 02:01 So 23.04.2006
Autor: Phreakasa

Aufgabe
Aufgabe: Ein Radiosender spielt Musik, dabei sind 30% aller gespielten Lieder Poplieder. Die Auswahl der Lieder ist zufällig.

a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter 15 Liedern mindestens 3 Poplieder vorkommen?

b) Eine Hörerin freut sich immer besonders auf die Poplieder. Wie viele Lieder muss sie mindestens anhören, damit sie mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % mindestens ein Poplied hören kann?  

Da ich mich zum ersten Mal auf dem Terrain der Wahrscheinlichkeitsrechnung befinde, hoffe ich von euch einen ein bisschen ausführlicheren Lösungsweg zu bekommen. Komme gar nicht weiter... Ich dachte zuerst an ein traditionelles Baumdiagramm, aber das  würde für 15 Ziehungen ja ewig dauern! Gibt es eine Formel zur Berechnung solcher Wahrscheinlichkeiten ?

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/read.php?topicid=1000010540&read=1&kat=Studium

        
Bezug
Wahrscheinlichkeit eines Lieds: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:30 So 23.04.2006
Autor: Disap

Guten Morgen & herzlich [willkommenmr]

> Aufgabe: Ein Radiosender spielt Musik, dabei sind 30% aller
> gespielten Lieder Poplieder. Die Auswahl der Lieder ist
> zufällig.
>  
> a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter 15
> Liedern mindestens 3 Poplieder vorkommen?
>  
> b) Eine Hörerin freut sich immer besonders auf die
> Poplieder. Wie viele Lieder muss sie mindestens anhören,
> damit sie mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 %
> mindestens ein Poplied hören kann?
> Da ich mich zum ersten Mal auf dem Terrain der
> Wahrscheinlichkeitsrechnung befinde, hoffe ich von euch
> einen ein bisschen ausführlicheren Lösungsweg zu bekommen.
> Komme gar nicht weiter... Ich dachte zuerst an ein
> traditionelles Baumdiagramm, aber das  würde für 15
> Ziehungen ja ewig dauern! Gibt es eine Formel zur
> Berechnung solcher Wahrscheinlichkeiten ?

Nicht schlecht, dass du dich in der 11. Klasse um 2 Uhr mit Mathematik beschäftigst (und dass man dir dann auch noch in dem anderen Forum darauf quasi sofort geantwortet hat).
Da auf der anderen Seite schon der Lösungsweg gepostet wurde, bleibt eigentlich nur noch zu sagen, dass es sich bei Aufgabe a um den Bernoulli-Versuch handelt:
[guckstduhier] []Das kannst du bei Wikipedia nachlesen

Die Frage ist, ob ihr das schon gemacht habt, denn dieses [mm] \vektor{n\\k}, [/mm] gesprochen n über k besagt nur, dass es für ein Ergebnis (g,g,r) z. B. verschiedene Anordnungen gibt für das Ereignis. Angenommen das wären grüne und rote Kugeln, die ich ziehen möchte bzw. ich möchte gucken, wie viele Möglichkeiten es gibt beim zwei maligen Ziehen eine beliebige Kugel zu erwischen.
[mm] \vektor{3\\2} [/mm] = [mm] \br{3!}{(3-2)!*2!} [/mm] = 3
Man kann (g,g), (g,r) und (r,g) bekommen, drei Möglichkeiten also.
Es ist also einfach nur eine Vereinfachung des Baumdiagramms, der dir das Abzählen erspart: wie viele Pfade gibt es jetzt eigentlich.

Natürlich kannst du auch viel abzählen an Hand des gesuchten Ereignisses

E={ (poplied,keins, keins,...,keins), (poplied, poplied, keins, keins, ..., keins), (keins, keins,...,keins) }

Und dann muss man überlegen, wie viele Anordnungsmöglichkeiten es für jedes Teilereignis gibt. Man kanns also auch anders lösen (klar, mit entsprechnd viel Aufwand - ist ja bei Lottoziehungen auch möglich, kann man sehr schön in einem Baumdiagramm darstellen - wenn man denn die Zeit dafür hat [grins] )

Übrigens musst duhier von 1 die Wahrscheinlichkeiten abziehen, da eben die gesuchten Fälle die Gegenwahrscheinlichkeit sind. Ansonsten müsstest du die Wahrscheinlichkeit für p(3) bis p(15) berechnen, das ist allerdings viel Rechenaufwand.

und bei b ist die Frage, wie viele Lieder man sich anhören muss, um mindestens ein Poplied gehört zu haben (p soll 99% betragen).

Na dann ist das wohl die Formel

$99%  [mm] \le [/mm] 100%-70%^n$

$1% [mm] \ge0.7^n$ [/mm]

$0.01 [mm] \ge 0.7^n$ [/mm]

Die Ungleichung löst man mit den ln. Die Ungleichung stellt in Worten übrigens die Frage:
Wie viele nichtPoplieder höre ich mir an, dass die Wahrscheinlichkeit für das nächste Poplied so klein ist, dass sie unter 1% sinkt. Klingt hart, ist aber im Baumdiagramm schön zu veranschaulichen. Du gehst den äußersten Pfad.
Das gesuchte Ereignis ist E= { (keinpop, keinpop, keinpop,....keinpop) } Die Wahrscheinlichkeit, dass nur keinepoplieder gespielt werden, soll unter 1% sinken. Naja, und wenn du z. B. schon 100 Nicht-pop-Lieder gehört hast, ist es wohl die Wahrscheinlichkeit für noch ein Nicht-pop-Lied sehr gering.

Wenn etwas unklar sein sollte, kannst du ja noch einmal nachfragen.
In welchem Forum ist dir ja überlassen.


> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>  
> http://www.onlinemathe.de/read.php?topicid=1000010540&read=1&kat=Studium

mfG!
Disap

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