matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenKombinatorikWahrscheinlichkeit über Anzahl
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Kombinatorik" - Wahrscheinlichkeit über Anzahl
Wahrscheinlichkeit über Anzahl < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Kombinatorik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Wahrscheinlichkeit über Anzahl: Korrektur / Tipp
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 19:14 Di 29.11.2016
Autor: BenK

Aufgabe
Es liegt folgendes Problem vor: Die Menge A={(1,11), (1,12),...,(1,20),(2,11),(2,12),...,(2,20),..........,(10,11),...,(10,20)} enthält 100 2-Tupel. Bestimmte Elemente, nämlich (2,12), (2,13), (3,13), (4,16), ,(5,11), (5,13), (5,15), (5,17), (8,16) und (8,18), sind für uns dabei von besonderem Interesse. Wir fassen diese Elemente in der Menge L zusammen. Aus A soll nun 10 Mal hintereinander gezogen werden. Dabei ist zu beachten, dass nach jedem Zug, zusätzlich zu dem entnommenen Element , alle Elemente deren erste oder zweite Komponente mit einer Komponente des gezogenen Elements übereinstimmen, auch entnommen werden müssen.
Gesucht sind die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse:

Die Ziehung enthält genau ein (zwei, drei, vier oder fünf) Element(e) aus L.


Meine Lösung hat einen Fehler, den ich selbst jedoch nicht finden kann. Vielleicht kennt sich hier jemand mit Kombinatorik besser aus und sieht den Fehler auf Anhieb :-)

Lösungsvorschlag:

Die Wahrscheinlichkeiten sollen über die Regel von Laplace, also

[mm] \bruch{Anzahl-der-guenstigen-Faelle}{Anzahl-der-moeglichen-Faelle} [/mm]

berechnet werden. Dabei spielt die Reihenfolge der Ziehung keine Rolle.
Es handelt sich also um eine Modell ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen.

Nach jedem Zug verringert sich die Anzahl der Elemente aus A wie folgt:

100, 81, 64, 49, 36, 25, 16, 9, 4, 1

Damit ist die Anzahl der möglichen Ziehungen bestimmt durch

[mm] \bruch{100*81* \cdots *4*1}{10!} [/mm] = 10!

Zur Bestimmung der Anzahl der günstigen Fälle:

Maximal können 5 Elemente aus L gleichzeitig in einer Ziehung vorkommen.
Wir bestimmen deshalb zunächst die Anzahl der Ziehungen mit genau 5 Elementen aus L.
Da wir ohne Reihenfolge ziehen, besetzen wir die ersten 5 Züge mit Elementen aus L. Dann zählt man alle möglichen Kombinationen, die mit den restlichen Elementen aus A gebildet werden können. Da schon fünf Züge erfolgt sind, bleiben noch 25*16*9*4*1 Möglichkeiten unter Beachtung der Reihenfolge. Um die Reihenfolge zu entfernen dividieren wir durch 5!


[mm] \bruch{25*16*9*4*1}{5!} [/mm] = 5! = 120

Insgesamt gibt es 3 Möglichkeiten 5 Elemente aus L so miteinander zu kombinieren, dass sie gleichzeitig in einer Ziehung enthalten sein können.

Wir erhalten somit für die Anzahl der Ziehungen mit genau 5 Elementen:

3*120 = 360

und somit die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis mit:

[mm] \bruch{360}{10!} \approx [/mm] 0,00009

Um die Wahrscheinlichkeit für genau 4 Elemente aus L in einer Ziehung zu berechnen, ermitteln wir zunächst die Anzahl der Ziehungen mit mindestens 4 Elementen aus L.
Dabei gehen wir wie oben vor, nur dass wir jetzt die ersten 4 Züge durch Elemente aus L besetzen und dann die Anzahl der möglichen Kombinationen ermitteln:

[mm] \bruch{36*25*16*9*4*1}{6!} [/mm] = 6! = 720

Da es insgesamt 20 Möglichkeiten gibt, um 4 Elemente aus L so zu kombinieren, dass sie gleichzeitig in einer Ziehung vorkommen, erhalten wir mit

20*720 = 14.400

die Anzahl der Züge mit mindestens 4 Elementen aus L. Durch die Multiplikation mit 20 werden hier jedoch auch bestimmte Ziehungen mehrfach gezählt. Das sind genau die Ziehungen, in denen 5 Elemente aus L enthalten sind. Um diese fehlerhafte Zählung zu korrigieren, ziehen wir die oben bereits ermittelte Anzahl für Ziehungen mit genau 5 Elementen aus L (also 360) von 14.440 ab.

14.400-360 = 14.040 ist dann die Anzahl der Ziehungen mit genau 4 Elementen. Die Wahrscheinlichkeit ist dann gegeben durch:

[mm] \bruch{14.040}{10!} \approx [/mm] 0,0039

Die Berechnung für 3, 2 und 1 Element aus L folgen analog.

Für 3: 44* [mm] \bruch{49*36*25*16*9*4*1}{7!} [/mm] -14.040 - 360 = 207.360

und [mm] \bruch{207.360}{10!} \approx [/mm] 0,058

Für 2: 33* [mm] \bruch{64*49*36*25*16*9*4*1}{8!} [/mm] -207.360-14.040-360 = 1.108.800
und [mm] \bruch{1.108.800}{10!} \approx [/mm] 0,31

Für 1: 10* [mm] \bruch{81*64*49*36*25*16*9*4*1}{9!} [/mm] -1.108.800-207.360-14.040-360 = 2.298.240
und [mm] \bruch{2.298.240}{10!} \approx [/mm] 0,63

Wenn man die Wahrscheinlichkeiten aufsummiert, dann erhält man jedoch einen Wert über 1.
Ich vermute, dass der Fehler bei der Multiplikation mit den möglichen Kombinationen und/oder der Subtraktion der Anzahl von Ziehungen mit mehr Elementen aus L liegt.

Ich bin für jeden Tipp sehr dankbar!!

Beste Grüße
Ben

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Wahrscheinlichkeit über Anzahl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:40 Fr 09.12.2016
Autor: DieAcht

Hallo BenK!


> Es liegt folgendes Problem vor: Die Menge A={(1,11),
> (1,12),...,(1,20),(2,11),(2,12),...,(2,20),..........,(10,11),...,(10,20)}
> enthält 100 2-Tupel. Bestimmte Elemente, nämlich (2,12),
> (2,13), (3,13), (4,16), ,(5,11), (5,13), (5,15), (5,17),
> (8,16) und (8,18), sind für uns dabei von besonderem
> Interesse. Wir fassen diese Elemente in der Menge L
> zusammen. Aus A soll nun 10 Mal hintereinander gezogen
> werden. Dabei ist zu beachten, dass nach jedem Zug,
> zusätzlich zu dem entnommenen Element , alle Elemente
> deren erste oder zweite Komponente mit einer Komponente des
> gezogenen Elements übereinstimmen, auch entnommen werden
> müssen.
>  Gesucht sind die Wahrscheinlichkeiten für die
> Ereignisse:
>  
> Die Ziehung enthält genau ein (zwei, drei, vier oder
> fünf) Element(e) aus L.
>  
> Meine Lösung hat einen Fehler, den ich selbst jedoch nicht
> finden kann. Vielleicht kennt sich hier jemand mit
> Kombinatorik besser aus und sieht den Fehler auf Anhieb
> :-)
>  
> Lösungsvorschlag:
>  
> Die Wahrscheinlichkeiten sollen über die Regel von
> Laplace, also
>  
> [mm]\bruch{Anzahl-der-guenstigen-Faelle}{Anzahl-der-moeglichen-Faelle}[/mm]
>  
> berechnet werden. Dabei spielt die Reihenfolge der Ziehung
> keine Rolle.
>  Es handelt sich also um eine Modell ohne Reihenfolge und
> ohne Zurücklegen.
>  
> Nach jedem Zug verringert sich die Anzahl der Elemente aus
> A wie folgt:
>  
> 100, 81, 64, 49, 36, 25, 16, 9, 4, 1

Am Ende fehlt die Null. ;-)

> Damit ist die Anzahl der möglichen Ziehungen bestimmt
> durch
>  
> [mm]\bruch{100*81* \cdots *4*1}{10!}[/mm] = 10!
> Zur Bestimmung der Anzahl der günstigen Fälle:
>  
> Maximal können 5 Elemente aus L gleichzeitig in einer
> Ziehung vorkommen.

Das sehe ich anders.

Sei [mm] $(5,16)\in [/mm] A$ die erste Ziehung.
Dann werden genau $6$ Tupel aus [mm] $L\$ [/mm] gezogen, nämlich

      $(4,16), (5,11), (5,13), (5,15), (5,17), (8,16)$.

> Wir bestimmen deshalb zunächst die Anzahl der Ziehungen
> mit genau 5 Elementen aus L.
> Da wir ohne Reihenfolge ziehen, besetzen wir die ersten 5
> Züge mit Elementen aus L. Dann zählt man alle möglichen
> Kombinationen, die mit den restlichen Elementen aus A
> gebildet werden können. Da schon fünf Züge erfolgt sind,
> bleiben noch 25*16*9*4*1 Möglichkeiten unter Beachtung der
> Reihenfolge. Um die Reihenfolge zu entfernen dividieren wir
> durch 5!
>  
>
> [mm]\bruch{25*16*9*4*1}{5!}[/mm] = 5! = 120
>  
> Insgesamt gibt es 3 Möglichkeiten 5 Elemente aus L so
> miteinander zu kombinieren, dass sie gleichzeitig in einer
> Ziehung enthalten sein können.

Welche [mm] $3\$ [/mm] aus [mm] $5\$ [/mm] Elemente aus [mm] $L\$ [/mm] meinst Du?


Ich habe die Aufgabe (noch) nicht gelöst, aber ich hoffe, dass das hilft!


Gruß
DieAcht

Bezug
                
Bezug
Wahrscheinlichkeit über Anzahl: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:26 Fr 09.12.2016
Autor: BenK

Hallo DieAcht!

Vielen Dank für deinen Vorschlag.
Ich beziehe mich auf folgenden Abschnitt:


>  
> > Damit ist die Anzahl der möglichen Ziehungen bestimmt
> > durch
>  >  
> > [mm]\bruch{100*81* \cdots *4*1}{10!}[/mm] = 10!
>  > Zur Bestimmung der Anzahl der günstigen Fälle:

>  >  
> > Maximal können 5 Elemente aus L gleichzeitig in einer
> > Ziehung vorkommen.
>  
> Das sehe ich anders.
>  
> Sei [mm](5,16)\in A[/mm] die erste Ziehung.
>  Dann werden genau [mm]6[/mm] Tupel aus [mm]L\[/mm] gezogen, nämlich
>  
> [mm](4,16), (5,11), (5,13), (5,15), (5,17), (8,16)[/mm].
>

Das geht so leider nicht. Es ist nämlich so, dass wenn die (5,16) gezogen wurde
alle Tupel, die entweder die 5 oder die 16 enthalten, aus der Menge A rausgenommen werden müssen. Deshalb kann man sie nicht mehr ziehen.

Generell befürchte ich, dass man zur Bestimmung der günstigen Fälle wirklich alle Ziehungen, die z.B. mit (4,16) anfangen durchgehen muss und nur die zählt, in denen kein weiteres Element aus L vorkommt. Leider :-(

Vielen Dank und viele Grüße

BenK

Bezug
                        
Bezug
Wahrscheinlichkeit über Anzahl: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 06:12 Sa 10.12.2016
Autor: DieAcht

Entweder wir reden aneinander vorbei oder mein Einwand ist falsch. :-)


Zunächst: Ich denke, dass dein Lösungsweg richtig ist, aber Du am Anfang etwas nicht beachtet hast.

Nochmal:

Es ist mir klar, dass bei der ersten Ziehung insgesamt 19 Tupel aus [mm] $A\$ [/mm] gezogen werden. Es geht mir aber um den Anfang deiner Argumentation:

> > > Maximal können 5 Elemente aus L gleichzeitig in einer Ziehung vorkommen.

Es geht also um die maximalmögliche Anzahl der Elemente aus [mm] $L\$ [/mm] nach der ersten Ziehung. Du behauptest, dass diese [mm] $5\$ [/mm] ist und ich sage, dass das falsch ist:

Sei [mm] $(5,16)\in [/mm] A$ die erste Ziehung, dann ziehen wir unter Anderem wegen der [mm] $5\$ [/mm] weiterhin die Tupel $(5,11), (5,13), (5,15), (5,17)$ und wegen der [mm] $16\$ [/mm] weiterhin $(4,16), [mm] (8,16)\$. [/mm] Insgesamt ziehen wir [mm] $19\$ [/mm] Tupel, aber davon sind [mm] $6\$ [/mm] Tupel aus [mm] $L\$. [/mm]

Bezug
        
Bezug
Wahrscheinlichkeit über Anzahl: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:52 So 11.12.2016
Autor: BenK

Hallo DieAcht.

Ich glaube, dass wir bezüglich der Ziehungen wirklich aneinander vorbei reden.
Deshalb möchte ich mal eine beispielhafte Ziehung machen (sich wiederholende Schritte habe ich dann später mit... abgekürzt). Insgesamt besteht ja jede Ziehung aus 10 Zügen:

1. Zug - (2,12) wird aus A gezogen
Dann entnimmt man alle Tupel, die 2 oder 12 enthalten aus A.
A hat jetzt noch 81 Elemente

2. Zug - (3,13) wird aus A gezogen
Dann entnimmt man alle Tupel, die 3 oder 13 enthalten aus A.
A hat jetzt noch 64 Elemente

3. Zug - (4,16) wird aus A gezogen
...
49 Elemente

4. Zug - (5,15) wird aus A gezogen
...
36 Elemente

5. Zug - (8,16) wird aus A gezogen
...
25 Elemente
.
.
.
10. Zug - Es steht nur noch ein Element aus A zur Auswahl.
Ende.

Nach dem 5. Zug enthält A kein Element mehr, welches auch in L enthalten ist.

Vielleicht hast du ja noch eine andere Idee, aber wie ich in meiner vorherigen Mitteilung schon schrieb, befürchte ich, dass man die Anzahl der Ziehungen für genau k Elemente aus L in einer Ziehung nur mittels "Abgehen" aller möglichen Ziehungen ermitteln kann.

Danke für deine Nachricht und beste Grüße

BenK


Bezug
        
Bezug
Wahrscheinlichkeit über Anzahl: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:21 Mi 14.12.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Kombinatorik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 7m 6. schokoschnecke
UAnaRn/Extremwerte mit Nebenbedingung
Status vor 28m 10. Maxi1995
UAnaR1/Reaktion - erwünscht
Status vor 2h 52m 2. fred97
DiffGlGew/Lösung der DGL bestimmen
Status vor 2h 57m 2. fred97
SLinA/Eigenvektor bestimmen
Status vor 9h 17m 8. Gonozal_IX
UAnaR1Funk/L Beweis ohne Logarithmusdef.
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]