Wahrscheinlichkeit v. Ereignis < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:59 So 20.02.2005 | | Autor: | Back-Up |
Hallo,
ich weise darauf hin, dass meine Frage sich indirekt auf meine Facharbeit bezieht.
Folgendes Beispiel: 200 Kugeln sollen von A nach B kommen. Unterwegs gehen aber 10% verloren. Ziel ist es, dass 200 Kugeln bei B ankommen. Dazu muss man mehr als 200 Kugeln losschicken. Ein Problem ist allerdings, dass nicht mehr als 200 Kugeln bei B ankommen sollten. Deshalb versucht man diese Wahrscheinlichkeit so gering wie möglich zu halten. Ich habe mit der Sigma-Umgebung berechnet, wie viele Kugeln ich losschicken darf, so dass die Wahrscheinlichkeit, dass zu viele Kugeln ankommen nur 0,5% beträgt (99% Umgebung). Ich habe herausbekommen, dass gerundet 210 Kugeln losgeschickt werden können. So wie ich das verstanden habe, ist natürlich nicht garantiert, dass jetzt in 99,5% der Fälle 200 ankommen. Garantiert kommen doch 180 Kugeln an, oder? [mm] \mu [/mm] = n * p = 200 * 0,9 = 180
Meine Frage ist, wie ich berechnen kann, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass genau 200 Kugeln bei B ankommen, wenn ich 210 Kugeln loschicke. p ist immernoch 0,9, oder?
Meine erste Idee war, die Bernoulli-Formel zu nehmen.
[mm] \vektor{210 \\ 200} 0,9^{200} [/mm] * [mm] 0,1^{10} \approx [/mm] 0,002608752209
Diese Wahrscheinlichkeit scheint mir viel zu gering zu sein. Die Rechnung kann auch nicht sinnvoll sein, da die Wahrscheinlichkeit für 0 bis 180 nicht 1 beträgt. So denke ich jedenfalls.
Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich weiterkomme?
Viele Grüße
|
|
| |
|
Hi, Back-up,
wenn Du die Binomialverteilung direkt verwendest, kannst Du die Frage wohl immer nur durch Probieren lösen!
Daher solltest Du lieber die Normalverteilung als Näherung verwenden!
Was mich bei der Aufgabe allerdings doch ziemlich stört, ist, dass Du sozusagen "genau 200 Kugeln" bei B haben möchtest. Normalerweise wird so etwa gefragt: Wieviele Kugeln muss man mindestens abschicken, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von - sagen wir mal - mindestens 99% auch wenigstens 200 Kugeln ankommen.
Reicht Dir die Lösung für die letztere Fragestellung, dann kommst Du mit folgendem Ansatz zum Ziel:
[mm] P(X\ge [/mm] 200) = [mm] 1-P(X\le [/mm] 199) [mm] \approx [/mm] 1 - [mm] \phi(\bruch{199-0,9*n+0,5}{\wurzel{n*0,1*0,9})} \ge [/mm] 0,99.
Das müsstest Du dann nur noch nach n auflösen.
Zu Deiner Frage direkt:
Die von Dir berechnete Wahrscheinlichkeit ist deshalb so klein, weil
1. die Wahrscheinlichkeiten wegen der großen Kettenlänge (n=210) für alle einzelnen Zahlenwerte zwischen 0 und 210 sehr klein ist, und
2. der von Dir verlangte Wert k=200 doch recht weit vom Erwartungswert (210*0,9=189) wegliegt.
Vielleicht ist Letzteres überhaupt "Die Lösungsidee": Du musst n so wählen, dass 200 der Erwartungswert ist oder zumindest möglichst nahe dran liegt: n*0,9 = 200 => "bester Wert" für n: 222.
Schau' mal, was Du aus meinen Hinweisen machen kannst!
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 So 20.02.2005 | | Autor: | Back-Up |
Das mit der Normalverteilung müsste ich erst erlernen. Da habe ich im Moment noch keine Ahnung von.
So wie es mir scheint, sind deine Vorschläge alle nicht hilfreich für mich, da bei mir n eine feste Größe haben muss (n = 210)! Mich interessiert ausschließlich nur, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass exakt 200 Kugeln ankommen, wenn 210 losgeschickt werden und 10% unterwegs verloren gehen.
Kann man das berechnen?
Gruß
|
|
|
| |
|
Hi, Back-up,
naja, wenn n=210, dann ist ja Deine Antwort (0,0026) auch richtig! Aber wie kommst Du denn grade auf 210? Die Zahl ist doch äußerst ungünstig!
Mit den von mir vorgeschlagenen n=222 erhältst Du:
[mm] \vektor{222\\200}*0,9^{200}*0,1^{22} [/mm] = 0,089,
was wesentlich mehr ist.
(Aber natürlich immer noch wenig im Vergleich zu der von mir in der 1. Antwort angedeuteten Frage nach "mindestens 200).
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 So 20.02.2005 | | Autor: | Back-Up |
Mein Ziel ist es (bei diesem Problem) nicht, für 200 eine möglichst hohe Wahrscheinlichkeit zu haben. Darum geht es mir gar nicht.
Wie ich auf 210 komme? Da hättest du wohl aufmerksamer meinen ersten Beitrag lesen müssen ;)! Ich wiederhole:
Ein Problem ist allerdings, dass nicht mehr als 200 Kugeln bei B ankommen sollten. Deshalb versucht man diese Wahrscheinlichkeit so gering wie möglich zu halten. Ich habe mit der Sigma-Umgebung berechnet, wie viele Kugeln ich losschicken darf, so dass die Wahrscheinlichkeit, dass zu viele Kugeln ankommen nur 0,5% beträgt (99% Umgebung). Ich habe herausbekommen, dass gerundet 210 Kugeln losgeschickt werden können.
Die Bernoulli-Formel, so wie ich sie angewandt habe, kann nicht richtig sein. Es ist ja garantiert, dass mind. 180 Kugeln ankommen. Es kommt logischerweise nicht 1 heraus, wenn man bei der Berechnung mit der Bernoulli-Formel die Trefferzahl zwischen 0 und 180 wählt.
Ich mache also im Ansatz schon was falsch.
Gruß
|
|
|
| |
|
Mein lieber/ meine liebe back-up,
>
> Wie ich auf 210 komme? Da hättest du wohl aufmerksamer
> meinen ersten Beitrag lesen müssen ;)! Ich wiederhole: ...
>
Da erkenn' ich immer noch keine Logik!!
> Es ist ja garantiert, dass mind. 180 Kugeln ankommen.
??? Unsinn: Eine "Garantie" gibts in der Wahrscheinlichkeitsrechnung nicht! Du schickst 200 Kugeln los mit p=0,9 und wenn Du Pech hast kommt gar keine an! Dafür gibt's ja grade die Binomialverteilung! [mm] \mu [/mm] = 180 heißt lediglich: Wenn Du den Versuch (200 Kugeln von A nach B schicken) ein paar 1000 mal gemacht hast, dann sind im Durchschnitt jedesmal 180 angekommen, mal nur 87, mal 99, mal vielleicht 183, mal 188, auch mal alle 200, aber doch nicht "garantiert 180"!).
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 So 20.02.2005 | | Autor: | Back-Up |
Wie ich auf 210 komme:
200 = μ + 2,58 · σ
200 = n · p + 2,58 · [mm] \wurzel{n*p*(1-p)}
[/mm]
(200 - 0,9 · [mm] n)^2 [/mm] = [mm] 2,58^2 [/mm] · 0,9 · 0,1 · n
n [mm] \approx [/mm] 209,8
n [mm] \approx [/mm] 235,4
Durch Einsetzen beider Werte erfährt man, dass nur 209,8 richtig ist. Gerundet sind das 210.
Warum habe ich das getan? Da mein Ziel ist, die Wahrscheinlichkeit für die Ankunft von mehr als 200 Kugeln so gering wie möglich zu halten, habe ich die Wahrscheinlichkeit für 0,5% gewählt.
Das mit der Garantie leuchtet mir ein.
Nachtrag: Du sagtest, dass meine 0,0026 richtig sind. Ist es also tatsächlich so, dass wenn ich 210 Kugeln loschicke und 10% unterwegs verloren gehen, exakt 200 Kugeln mit einer Wahrscheinlichkeit von NUR 0,26% ankommen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:55 So 20.02.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, back-up,
ich komme immer mehr zur Überzeugung, dass das Problem nicht exakt formuliert ist:
(1) Wenn Dein Ziel wirklich ist, mal 200Kugeln von A nach B zu transportieren, aber bitte möglichst nicht mehr, dann ist es am besten, 200 Kugeln zu nehmen. Macht man's oft genug, kommen schon mal irgendwann 200 an, aber bestimmt nie mehr als 200.
(2) Akzeptiert man mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit, dass weniger als 200 Kugeln ankommen, wird die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr ankommen in etwa gleich hoch sein.
(3) Möchte man demnach, dass mit höchstmöglicher Wahrscheinlichkeit genau 200 Kugeln ankommen, muss die Kugelzahl zu Beginn 222 gewählt werden, weil dann im Schnitt 10% (=22) verlorengehen und somit meist 200 ankommen.
(4) Gehen aber immer genau 10% der Kugeln verloren, dann hat die Aufgabe nichts mehr mit Wahrscheinlichkeitsrechnung zu tun, sondern ist deterministisch gestellt (allerdings auch nicht lösbar, weil dann niemals genau 200 Kugeln ankommen können!).
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 So 20.02.2005 | | Autor: | Back-Up |
Ich versuche es mal anders:
Angenommen jede fehlende Kugel bei B kostet mich 100 und jede Kugel zu viel bei B kostet mich ein vielfaches mehr, dann möchte man ein Modell aufstellen, möglichst wenig Verlust zu machen. Ich habe jetzt ausgerechnet, dass ich bei 210 Kugeln am wenigsten Verlust mache. Ich weiß, dass ich damit richtig liege. Bitte nicht anzweifeln sondern einfach als korrekt sehen. Jetzt möchte ich wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass keine Unkosten entstehen, also exakt 200 Kugeln bei B ankommen.
Meine Lösungsidee war:
[mm] \vektor{210 \\ 200} 0,9^{200} [/mm] * [mm] 0,1^{10} \approx [/mm] 0,002608752209
Ist meine Idee richtig? Ich habe sie nur angezweifelt, weil die Wahrscheinlichkeit so gering ist. Sollte die Rechnung richtig sein, dann ist alles bestens und meine Frage beantwortet.
|
|
|
| |
|
Hi, back-up,
ja! Das ist richtig! (Die analoge Rechnung wäre aber für jedes n richtig!)
Zum (in diesem Strang) unwiderruflich letzten Mal:
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:51 So 20.02.2005 | | Autor: | Back-Up |
Danke.
|
|
|
|
