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Hallo Leuts,
bin neu hier im Forum....habe arge Probleme mir bei einer Wahrscheinlichkeitsaufgabe die zweite Lösung zu erklären, hat von euch jemand eine Idee?:
In einer Stadt passieren durchschnittlich 7 Unfälle pro Woche. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für jedes der folgenden Ereignisse?
a) An jedem Tag passiert ein Unfall.
Da kann ich mir die Lösung [mm] 7!/7^7 [/mm] = (7/7)*(6/7)*(5/7)*(4/7)*(3/7)*(2/7)*(1/7)
so erklären, da mit jedem kommendem Wochentag die Wahrscheinlichkeit sinkt. Für mich logisch und einleuchtend.
Aber:
b) Am Montag und Dienstag passieren je 3 Unfälle und am Freitag einer.
Die Lösung lautet [mm] 7!/(3!*3!*1!*7^7)
[/mm]
Wie kann ich mir die Lösung da erklären? Ich hätte angenommen, dass es die gleiche Wahrscheinlichkeit sei, wie in a). Schreibe morgen Klausur, wär supernett, wenn jemand, der durchblickt, mir das erklären kann.
P.S.: Ähnliche Aufgabe wie: Auf wieviele Arten kann man ein Skatblatt beim Skat (10 10 10 2 Haufen) ausgeben.
Danke schonmal!
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: [http://www.chemieonline.de/forum/showthread.php?p=241082#post241082]
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Hallo!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> In einer Stadt passieren durchschnittlich 7 Unfälle pro
> Woche. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für jedes der
> folgenden Ereignisse?
Also zunächst mal finde ich diese Angabe merkwürdig. Das ist ja nur so was wie ein Erwartungswert, der hier angegeben wird. Dadurch weiß man eigentlich noch nichts über die Wkt., dass an einem bestimmten Tag ein Unfall passiert. ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Ich versuche trotzdem mal, eine Modellierung dieses Kombinatorik/Wahrscheinlichkeitsproblems anzugeben:
Wir gehen davon aus, dass genau 7 Unfälle pro Woche passieren und es nur noch darum geht, die 7 Unfälle auf die Wochentage zu verteilen. Dann gibt es dafür insgesamt [mm] $7^7$ [/mm] Möglichkeiten (1. Unfall hat 7 Tage zur Auswahl, 2. Unfall auch etc.).
Jede Möglichkeit ist dabei gleichwahrscheinlich (Laplace-Experiment), und es gilt damit
[mm]P(A)=\frac{\mbox{Anzahl g"unstige M"oglichkeiten f"ur }A}{\mbox{Anzahl M"oglichkeiten insgesamt}}[/mm]
Ein ganz konkretes Ergebnis wäre z.B. $(Mo,Do,Mo,Di,Sa,So,Fr)$. (Der erste Eintrag steht dabei für den ersten Unfall, der zweite für den zweiten usw.)
> a) An jedem Tag passiert ein Unfall.
>
> Da kann ich mir die Lösung [mm]7!/7^7[/mm] =
> (7/7)*(6/7)*(5/7)*(4/7)*(3/7)*(2/7)*(1/7)
> so erklären, da mit jedem kommendem Wochentag die
> Wahrscheinlichkeit sinkt. Für mich logisch und
> einleuchtend.
OK. Passt auch in meine Modellierung. FÜr das Ereignis A gibt es 7! Möglichkeiten, denn:
ein Tupel, das zu diesem Ereignis gehört, muss alle 7 Wochentage enthalten, und dafür gibt es 7! Vertauschungen innerhalb des Tupels. Genauer: der Montag kann an 7 versch. Stellen im Tupel stehen, der Dienstag dann nur noch an 6, der Mittwoch an 5 usw.
> Aber:
> b) Am Montag und Dienstag passieren je 3 Unfälle und am
> Freitag einer.
>
> Die Lösung lautet [mm]7!/(3!*3!*1!*7^7)
[/mm]
>
> Wie kann ich mir die Lösung da erklären? Ich hätte
> angenommen, dass es die gleiche Wahrscheinlichkeit sei, wie
> in a). Schreibe morgen Klausur, wär supernett, wenn jemand,
> der durchblickt, mir das erklären kann.
Hattet ihr schon Binomialkoeffizienten? Ich hoffe es...
Ein Ergebnis, das zu diesem Ereignis gehört, ist ja z.B. das Tupel $(Mo,Mo,Mo,Di,Di,Di,Fr)$. Ein anderes ist $(Mo,Di,Di,Mo,Fr,Di,Mo)$. Es kommt ja nicht drauf an, welcher Unfall wann stattfindet. Du siehst, man muss zählen, wie viele Möglichkeiten der Vertauschung es gibt. Und das zählt man so:
Für die Montage gibt es [mm] ${7\choose 3}$ [/mm] Möglichkeiten, sich in dem Tupel zu "platzieren". Das sind die Möglichkeiten, aus 7 Stellen drei auszusuchen (wie beim Lotto "6 aus 49").
Für die Dienstage bleiben noch 4 freie Positionen, also [mm] ${4\choose 3}$ [/mm] Möglichkeiten. Für den Freitag bleibt dann noch der letzte Platz. Das sind also
[mm]{7\choose 3}\cdot{4\choose 3}\cdot {1\choose 1}
=\frac{7!}{3!4!}\cdot\frac{4!}{3!1!}\cdot 1=\frac{7!}{3!3!}[/mm]
günstige Kombinationen für das Ereignis. Daraus ergibt sich die Wkt., die Du angegeben hast.
> P.S.: Ähnliche Aufgabe wie: Auf wieviele Arten kann man ein
> Skatblatt beim Skat (10 10 10 2 Haufen) ausgeben.
Ja, das geht wirklich ganz ähnlich. Der Stapel besteht aus 32 Karten. Der erste Spieler bekommt daraus 10. Dafür gibt es [mm] ${32\choose 10}$ [/mm] Möglichkeiten. Bleiben 22 Karten übrig. Davon bekommt der zweite Spieler wiederum 10. Weißt Du, wie es weitergeht?
Viele Grüße
Brigitte
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wow, danke dir! Und entschuldigt bitte mein crossposting in anderen Foren, aber morgen Klausur und ich...
Habe mir nochmal die Binominalkoeefizienten angeschaut, seh jetzt klarer für meine Verhältnisse.
Das Skatspielproblem wäre demnach [mm] \vektor{32 \\ 10} \vektor{22 \\ 10} \vektor{12 \\ 10} \vektor{2 \\ 2}= \bruch{32!22!12!2!}{10!22!10!12!10!2!}= \bruch{32!}{10!10!10!2!} [/mm]
Haha!!!
6 aus 49 wäre demnach: [mm] \bruch{49!}{6!43!}=13983816 [/mm] sprich es gibt soviele Kombinationen. Richtig?
Danke dir vielmals!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:21 Mo 27.09.2004 | | Autor: | frank2004 |
Alles Richtig! Viel Glück.
Frank
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:28 Mo 27.09.2004 | | Autor: | Brigitte |
Lieber Frank!
Klar kann man das. Aber wo steht, dass eine Poisson-Verteilung vorliegt?
Wie gesagt, ich habe versucht, ein Modell zu bauen, das auf die angegebenen Wkt. passt. Wo auch immer diese herkommen, so macht es damit jedenfalls Sinn. Dass die Aufgabe schlecht gestellt ist, habe ich ha bereits erwähnt.
Dein Ansatz ist natürlich in Ordnung.
Liebe Grüße
Brigitte
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Hallo Brigitte,
ich habe gedacht, dass durch die gegebenen Indizien
(keine Obergrenze, kein p, zeitlich fixierter Rahmen, geg. Mittelwert) automatisch die Poisson-Verteilung gilt?
Wären denn meine ausgerechneten W'keiten (falls nach der Poisson-Verteilung gefragt ist) richtig?
Danke und Gruß
Frank
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Hallo Frank!
Ja, die Werte stimmen dann so. Die Annahme, dass die einzelnen Unfallzahlen pro Tag als unabhängige Zufallsvariablen angesehen werden, ist ja realistisch. Interessant ist, dass von der ersten auf die zweite Wahrscheinlichkeit jeweils durch
[mm] $(3!)^2$ [/mm] geteilt wird. Das Verhältnis ist also dasselbe.
Viele Grüße
Brigitte
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zur Aufgabe: die wurde uns (Chemiker und Biotechs, 3.Semester) in einer Übung gestellt, man möge dem Aufgabesteller vom Instituts für physikalische Chemie verzeihen
danke euch nochmal! haben heute geschrieben, aber Wahrscheinlichkeitsrechnung kam nicht dran.
gruss TS
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Hallo zusammen,
kann man diese Aufgabe nicht über eine Poisson-Verteilung lösen?
a) P(X=1) * P(X=1) * ... * P(X=1) von Mo-So mit X ~ Po(1) im Durchschnitt 1 Unfall pro Tag? ==> 0,0091188
b) P(X=3) * P(X=3) * P(X=0) * P(X=0) * P(X=1) * P(X=0) * P(X=0) ==> 0,0000253
Danke & Gruß
Frank
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