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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:57 Sa 20.03.2010 | | Autor: | Casy |
| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR \to \IR [/mm] definiert durch
[mm] f(x):=\begin{cases} ax^2 +b, |x|<1 \\ 0, sonst \end{cases}
[/mm]
a, b [mm] \in \IR [/mm] .
Bestimme a, b so, dass f eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist. (b ist in Abhängigkeit von a anzugeben.) |
Hallo!
Ich habe folgenden ANsatz zu der Aufgabe, komme aber dann nicht mehr weiter:
f ist dann eine Dichtefunktion, wenn das Integral über f eine Verteilungsfunktion (VF) F ist.
Für eine VF F gilt:
1.) monoton wachsend
2.) linksseitig stetig
3.) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}F(x)=1
[/mm]
4.) [mm] \limes_{x\rightarrow -\infty}F(x)=0
[/mm]
1.) monoton wachsend: es gibt keine Extrema, d.h. F'(x)=f(x)=0 ist unlösbar
Setze also f(x)=0
[mm] \gdw ax^2+b=0
[/mm]
[mm] \gdw x^2=-b/a
[/mm]
ist unlösbar, wenn a,b beide <0 oder a,b beide >0 oder a=0.
Es gibt genau einen Wendepunkt, d.h. F''(x)=f'(x)=0 hat genau eine Lösung:
f'(x)=2ax=0 [mm] \Rightarrow [/mm] a=0 oder x=0
Jeztt kommt mein Problem, wenn ich die Grenzwerte bilden will, um 3.) und 4.) zu erfüllen:
Da ich x gegeb [mm] \infty [/mm] und [mm] -\infty [/mm] laufen lasse, wird |x|>1, d.h. ich muss für die Grenzwertbildung f(x)=0 betrachten.
Für |x|>1 ist dann F(x)=c
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}F(x)=\limes_{x\rightarrow\infty}c=c\not=1,
[/mm]
selbes Problem für [mm] x\rightarrow-\infty, [/mm] dann ist der [mm] limc=c\not=0
[/mm]
Kann mir jemand erklären, was ich falsch gemacht habe?
Das wäre super!
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> Sei f: [mm]\IR \to \IR[/mm] definiert durch
>
> [mm]f(x):=\begin{cases} ax^2 +b, |x|<1 \\ 0, sonst \end{cases}[/mm]
>
> a, b [mm]\in \IR[/mm] .
>
> Bestimme a, b so, dass f eine Wahrscheinlichkeitsdichte
> ist. (b ist in Abhängigkeit von a anzugeben.)
> Hallo!
>
> Ich habe folgenden ANsatz zu der Aufgabe, komme aber dann
> nicht mehr weiter:
>
> f ist dann eine Dichtefunktion, wenn das Integral über f
> eine Verteilungsfunktion (VF) F ist.
> Für eine VF F gilt:
>
> 1.) monoton wachsend
> 2.) linksseitig stetig
> 3.) [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}F(x)=1[/mm]
> 4.) [mm]\limes_{x\rightarrow -\infty}F(x)=0[/mm]
>
> 1.) monoton wachsend: es gibt keine Extrema, d.h.
> F'(x)=f(x)=0 ist unlösbar ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es ist durchaus möglich, dass eine Dichtefunktion Null-
stellen hat. Im vorliegenden Fall muss f sogar unendlich
viele Nullstellen haben, was ja in obiger Definition von f
schon gefordert ist, nämlich f(x)=0 für alle x mit [mm] |x|\ge1 [/mm] .
> Setze also f(x)=0
> [mm]\gdw ax^2+b=0[/mm]
> [mm]\gdw x^2=-b/a[/mm]
> ist unlösbar, wenn a,b
> beide <0 oder a,b beide >0 oder a=0.
>
> Es gibt genau einen Wendepunkt, d.h. F''(x)=f'(x)=0 hat
> genau eine Lösung:
>
> f'(x)=2ax=0 [mm]\Rightarrow[/mm] a=0 oder x=0
>
> Jezt kommt mein Problem, wenn ich die Grenzwerte bilden
> will, um 3.) und 4.) zu erfüllen:
>
> Da ich x gegeb [mm]\infty[/mm] und [mm]-\infty[/mm] laufen lasse, wird |x|>1,
> d.h. ich muss für die Grenzwertbildung f(x)=0 betrachten.
> Für |x|>1 ist dann F(x)=c
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}F(x)=\limes_{x\rightarrow\infty}c=c\not=1,[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
.... natürlich muss dieses c halt den Wert 1 haben,
also z.B. auch F(1)=F(2)=....=1
> selbes Problem für [mm]x\rightarrow-\infty,[/mm] dann ist der
> [mm]limc=c\not=0[/mm]
>
> Kann mir jemand erklären, was ich falsch gemacht habe?
>
> Das wäre super!
Hallo Casy,
vor allem hast du nicht gemerkt, wie man diese Aufgabe
am sinnvollsten anpackt. Anstatt von der Verteilungsfunk-
tion F auszugehen und von deren Monoonieeigenschaft
auf F'(x)>0 und dann f(x)>0 zu schließen (was so gar nicht
stimmt), wäre es sinnvoller gewesen, von der wichtigsten
Eigenschaft der Dichtefunktion f selber auszugehen, näm-
lich [mm] f(x)\ge0 [/mm] für alle x - aus dem einfachen Grund, dass
es keine negativen Wahrscheinlichkeiten gibt.
Die zweite wichtige Eigenschaft einer Dichtefunktion ist
die, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit, die man als Integral
von f über ganz [mm] \IR [/mm] erhält, Eins ergeben muss. Diese For-
derung entspricht den von dir angegebenen Grenzwertfor-
derungen für F.
In Bezug auf f kann man dies so schreiben:
[mm] $\integral_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx\ [/mm] =\ 1$
Zusammengefasst kann man also sagen: der Graph von f
ist eine Kurve, die ganz im Bereich [mm] y\ge0 [/mm] verlaufen muss
und mit der x-Achse einen Gesamt-Flächeninhalt der
Größe Eins einschließen muss. Da im vorliegenden Fall
f nur zwischen x=-1 und x=1 Werte ungleich 0 (und zwar
nur positive !) haben kann, kann man sich bei der Inte-
gration auf dieses Intervall beschränken, also:
[mm] $\integral_{-1}^{1}f(x)\,dx\ [/mm] =\ 1$
Aus dieser Bedingung lässt sich der rechnerische Zusam-
menhang zwischen a und b bestimmen.
Ferner muss man dann aber festlegen, welches die mini-
mal bzw. maximal möglichen Werte von a und b sind.
Für das weitere Vorgehen skizzierst du dir am besten mal
ein paar mögliche Graphen von Dichtefunktionen, welche
in Frage kommen könnten.
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 Sa 20.03.2010 | | Autor: | Casy |
o mist..... das bin ich ja völlig doof angegangen....
Danke erstmal für die Geduld und die Erklärung!
Also, wenn ich [mm] \integral_{-1}^{1}{f(x) dx}=1 [/mm] setze, ergibt das die Abhängigkeit
b=1/2-1/3a.
Jetzt muss die Dichtefunktion f überall >=0 sein, d.h.
[mm] ax^2+b\ge0 [/mm] für alle [mm] x\in \IR
[/mm]
b eingesetzt ergibt
[mm] ax^2+\bruch{1}{2}-\bruch{1}{3}a\ge0
[/mm]
und damit finde ich jetzt raus, in welchem Bereich a liegen muss:
Ich betrachte 0<|x|<1 und zwar, indem ich Grenzwerte gegen 0 und 1 bilde:
1. [mm] \limes_{|x|\rightarrow1}ax^2-\bruch{1}{3}a+\bruch{1}{2}=a-\bruch{1}{3}a+\bruch{1}{2} [/mm] soll [mm] \ge0 [/mm] sein
[mm] \Rightarrow a\ge-\bruch{3}{4}
[/mm]
2. [mm] \limes_{|x|\rightarrow0}ax^2-\bruch{1}{3}a+\bruch{1}{2}=-\bruch{1}{3}a+\bruch{1}{2} [/mm] soll [mm] \ge0 [/mm] sein
[mm] \Rightarrow a\le\bruch{3}{2}
[/mm]
...fertig?
Stimmt das jetzt?
Sorry nochmal für's blöd anstellen, ich weiß auch nicht, warum ich das mit F(x) machen wollte.
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Ja, das stimmt alles.
Schönen Abend und schönen Sonntag !
Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:56 Sa 20.03.2010 | | Autor: | Casy |
Danke!!!!
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