matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-StochastikWahrscheinlichkeitsfunktion
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Uni-Stochastik" - Wahrscheinlichkeitsfunktion
Wahrscheinlichkeitsfunktion < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Stochastik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Wahrscheinlichkeitsfunktion: Summe gleich 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:50 So 07.05.2006
Autor: Karl_Pech

Hallo Zusammen!


Auch wenn das Thema es anders vermuten läßt, handelt es sich hier wohl doch um Analysis. Ich versuche folgendes zu zeigen:


[mm]\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{-r^n}{n\log(1-r)}} = 1[/mm] für [mm]0

Dazu klammere ich erstmal aus:


[mm]-\frac{1}{\log(1-r)}\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{r^n}{n}}[/mm]


und komme bereits jetzt nicht mehr weiter. Im Wesentlichen habe ich ab diesem Punkt zwei Ansätze verfolgt:


Ansatz 1:


[mm]\frac{\partial}{\partial r}\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{r^n}{n}} = \sum_{n=1}^{\infty}{r^{n-1}} = \frac{1}{1-r}[/mm]


Dann dachte ich mir, daß mir die Integration eine geschlossene Formel für meine Summe liefert. Wegen


[mm]\int{\frac{\mathrm{d}r}{1-r}} = -\log(r-1)[/mm]


würde dann


[mm]\sum_{n = 1}^{\infty}{\frac{r^n}{n}} = -\log(r-1)[/mm]


gelten. Aber das kann nicht sein, da der Logarithmus für [mm]0 < r < 1[/mm] im Reellen nicht definiert ist. (Und selbst wenn, [mm]\tfrac{\log(r-1)}{\log(1-r)}[/mm] läßt sich doch nicht zu 1 kürzen. Also ist dieser Ansatz falsch. Offenbar durfte man hier nicht integrieren. [keineahnung])


Ansatz 2:


Eine Recherche im Internet ;-) ergab, daß diese Summe etwas mit einer Taylor-Entwicklung zu tun haben könnte. Und zwar gilt:


[mm]\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n-1}r^n}{n}} = \log(1+r)[/mm]


Leider weiß ich nicht, was ich mit [mm] $(-1)^{n-1}$ [/mm] anfangen soll? Ich denke aber, daß das der richtige Ansatz ist, nur ausbauen konnte ich ihn bisher nicht. Hat jemand eine Idee?


Danke!



Viele Grüße
Karl
[user]





        
Bezug
Wahrscheinlichkeitsfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:03 So 07.05.2006
Autor: felixf

Hallo Karl!

> Auch wenn das Thema es anders vermuten läßt, handelt es
> sich hier wohl doch um Analysis. Ich versuche folgendes zu
> zeigen:
>  
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{-r^n}{n\log(1-r)}} = 1[/mm] für [mm]0
>
> Dazu klammere ich erstmal aus:
>
> [mm]-\frac{1}{\log(1-r)}\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{r^n}{n}}[/mm]
>
> und komme bereits jetzt nicht mehr weiter. Im Wesentlichen
> habe ich ab diesem Punkt zwei Ansätze verfolgt:
>
> Ansatz 1:
>
> [mm]\frac{\partial}{\partial r}\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{r^n}{n}} = \sum_{n=1}^{\infty}{r^{n-1}} = \frac{1}{1-r}[/mm]
>  
> Dann dachte ich mir, daß mir die Integration eine
> geschlossene Formel für meine Summe liefert. Wegen
>  
> [mm]\int{\frac{\mathrm{d}r}{1-r}} = -\log(r-1)[/mm]

Vorsicht, du hast den Betrag vergessen! Damit klaert sich dann der Rest des Ansatzes :-)

> Ansatz 2:
>  
> Eine Recherche im Internet ;-) ergab, daß diese Summe etwas
> mit einer Taylor-Entwicklung zu tun haben könnte. Und zwar
> gilt:
>
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n-1}r^n}{n}} = \log(1+r)[/mm]
>
> Leider weiß ich nicht, was ich mit [mm](-1)^{n-1}[/mm] anfangen
> soll? Ich denke aber, daß das der richtige Ansatz ist, nur
> ausbauen konnte ich ihn bisher nicht. Hat jemand eine
> Idee?

Ersetz mal $r$ durch $-r$. Dann bekommst du [mm]\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n-1}(-1)^nr^n}{n}} = \log(1-r)[/mm], also [mm]-\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{r^n}{n}} = \log(1-r)[/mm].

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Wahrscheinlichkeitsfunktion: Danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:08 So 07.05.2006
Autor: Karl_Pech

Hallo Felix!



> Vorsicht, du hast den Betrag vergessen! Damit klaert sich
> dann der Rest des Ansatzes :-)


Wahnsinn! Es war also doch richtig! [hot]


> > Ansatz 2:
>  >  
> > Eine Recherche im Internet ;-) ergab, daß diese Summe etwas
> > mit einer Taylor-Entwicklung zu tun haben könnte. Und zwar
> > gilt:
>  >

> > [mm]\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n-1}r^n}{n}} = \log(1+r)[/mm]
>  
> >
> > Leider weiß ich nicht, was ich mit [mm](-1)^{n-1}[/mm] anfangen
> > soll? Ich denke aber, daß das der richtige Ansatz ist, nur
> > ausbauen konnte ich ihn bisher nicht. Hat jemand eine
> > Idee?
>  
> Ersetz mal [mm]r[/mm] durch [mm]-r[/mm].


[totlach] ... o je ... :-) Danke! Das war es also!



Liebe Grüße
Karl
[breakdance]





Bezug
        
Bezug
Wahrscheinlichkeitsfunktion: Ungleichung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:54 So 07.05.2006
Autor: Karl_Pech

Hallo Zusammen!


> Auch wenn das Thema es anders vermuten läßt, handelt es
> sich hier wohl doch um Analysis.


(Die nächste Frage nimmt allerdings Bezug zu dieser Wahrscheinlichkeitsfunktion. Insofern habe ich die Diskussion jetzt hierhin verschoben. :-))


Aufgabe

Für [mm]0 < r < 1[/mm] ist die Verteilung einer Zufallsgröße [mm]X[/mm] durch


[mm]P(X=n) = c_r\frac{r^n}{n}\;(n\in\mathbb{N})[/mm]


gegeben mit


[mm]c_r := \frac{-1}{\log(1-r)}[/mm]


Der Erwartungswert und die Varianz betragen dann:


[mm]E(X) = c_r\frac{r}{1-r}[/mm] und [mm]V(X) = rc_r\frac{1-rc_r}{(1-r)^2}[/mm]


Zeige, daß dann:


[mm]P\left(X > \frac{nr}{1-r}\right) \le \frac{c_r\left(1-rc_r\right)}{r\left(n-c_r\right)^2}\;(n\in\mathbb{N})[/mm]


gilt.


Der "Ansatz", den ich bisher für diese Aufgabe habe, ist:


[mm]P\left(X > \frac{nr}{1-r}\right) = c_r\sum_{k=\left\lceil\frac{nr}{1-r}\right\rceil}^{\infty}{\frac{r^k}{k}} = c_rr^{\left\lceil\frac{nr}{1-r}\right\rceil}\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{r^k}{k+\lceil nr/(1-r)\rceil}}[/mm]


Weiter bin ich bisher nicht gekommen, und ich denke, daß das auch der falsche Weg ist. Womit soll man bei dieser Aufgabe bloß anfangen?


Danke für die Hilfe!



Viele Grüße
Karl





Bezug
                
Bezug
Wahrscheinlichkeitsfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:07 So 07.05.2006
Autor: felixf

Hallo Karl!

> [mm]P\left(X > \frac{nr}{1-r}\right) \le \frac{c_r\left(1-rc_r\right)}{r\left(n-c_r\right)^2}\;(n\in\mathbb{N})[/mm]

Das erinnert mich ein wenig an die Tschebyscheffsche Ungleichung. Vielleicht kannst du da mit der was machen?

LG Felix


Bezug
                        
Bezug
Wahrscheinlichkeitsfunktion: nochmals danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:29 Mo 08.05.2006
Autor: Karl_Pech

Hallo Felix!


> Das erinnert mich ein wenig an die Tschebyscheffsche
> Ungleichung. Vielleicht kannst du da mit der was machen?


Danke für diesen Hinweis! Damit hast du mich auf die richtige Spur gebracht. ;-)


Und zwar braucht man hier lediglich die Definition der Ungleichung zu betrachten, den gegebenen Erwartungswert und die Varianz einzusetzen. Und zum Schluß dann den einen freien Parameter (> 0) so zu setzen, daß es passt. Am besten ist es, man rät den Parameter nicht, sondern entwickelt ihn quasi aus der Aufgabenstellung heraus "rückwärts". :-)



Viele Grüße
Karl





Bezug
                                
Bezug
Wahrscheinlichkeitsfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:58 Mo 08.05.2006
Autor: felixf

Hallo Karl!

> > Das erinnert mich ein wenig an die Tschebyscheffsche
> > Ungleichung. Vielleicht kannst du da mit der was machen?
>
> Danke für diesen Hinweis! Damit hast du mich auf die
> richtige Spur gebracht. ;-)

Schoen, freut mich :-)

> Und zwar braucht man hier lediglich die Definition der
> Ungleichung zu betrachten, den gegebenen Erwartungswert und
> die Varianz einzusetzen. Und zum Schluß dann den einen
> freien Parameter (> 0) so zu setzen, daß es passt. Am
> besten ist es, man rät den Parameter nicht, sondern
> entwickelt ihn quasi aus der Aufgabenstellung heraus
> "rückwärts". :-)

Also die ``uebliche'' Methode bei solchen Aufgaben *g*

LG Felix


Bezug
                                        
Bezug
Wahrscheinlichkeitsfunktion: Fallunterscheidung mißlungen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:00 Mo 08.05.2006
Autor: Karl_Pech

Hallo Felix!


> Also die ''uebliche'' Methode bei solchen Aufgaben *g*


Na ja, ich hab's jetzt versucht, und eigentlich funktioniert es ja auch, nur bei einer Fallunterscheidung ist noch irgendwo der Wurm drin.

Die Tschebyscheff'sche Ungleichung lautet ja:


[mm]\forall\xi > 0:P(\underbrace{\left|X-E(X)\right|}_{\text{Version 1}} > \xi) = P(\underbrace{\left|E(X)-X\right|}_{\text{Version 2}} > \xi) \le \frac{V(X)}{\xi^2}[/mm]


Jetzt berechne ich [mm]\xi[/mm]:


[mm]\frac{V(X)}{\xi^2} = \frac{c_r\left(1-rc_r\right)}{r\left(n-c_r\right)^2}\Rightarrow \xi = \frac{r\left(n-c_r\right)}{1-r}[/mm]


Danach mache ich eine Fallunterscheidung. Für [mm]X > E(X)[/mm] nehme ich die Version 1 der Ungleichung, und berechne [mm]\xi+E(X)[/mm], und es funktioniert auch. Für den Fall [mm]E(X) > X[/mm] kann es doch aber gar nicht mehr funktionieren, oder? Dort nehme ich Version 2 der Ungleichung und berechne [mm]-(E(X)-\xi) = \xi-E(X)[/mm], aber offensichtlich ist: [mm]\xi-E(X) \ne \xi+E(X)[/mm]. Also ist meine Fallunterscheidung falsch ... nur wo steckt der Denkfehler? [kopfkratz3]


Danke! :-)



Viele Grüße
Karl





Bezug
                                                
Bezug
Wahrscheinlichkeitsfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:49 Di 09.05.2006
Autor: felixf

Hallo Karl!

> Die Tschebyscheff'sche Ungleichung lautet ja:
>
> [mm]\forall\xi > 0:P(\underbrace{\left|X-E(X)\right|}_{\text{Version 1}} > \xi) = P(\underbrace{\left|E(X)-X\right|}_{\text{Version 2}} > \xi) \le \frac{V(X)}{\xi^2}[/mm]
>
> Jetzt berechne ich [mm]\xi[/mm]:
>  
> [mm]\frac{V(X)}{\xi^2} = \frac{c_r\left(1-rc_r\right)}{r\left(n-c_r\right)^2}\Rightarrow \xi = \frac{r\left(n-c_r\right)}{1-r}[/mm]
>  
> Danach mache ich eine Fallunterscheidung. Für [mm]X > E(X)[/mm]
> nehme ich die Version 1 der Ungleichung, und berechne
> [mm]\xi+E(X)[/mm], und es funktioniert auch. Für den Fall [mm]E(X) > X[/mm]
> kann es doch aber gar nicht mehr funktionieren, oder? Dort
> nehme ich Version 2 der Ungleichung und berechne
> [mm]-(E(X)-\xi) = \xi-E(X)[/mm], aber offensichtlich ist: [mm]\xi-E(X) \ne \xi+E(X)[/mm].
> Also ist meine Fallunterscheidung falsch ... nur wo steckt
> der Denkfehler? [kopfkratz3]

Du kannst hier keine Fallunterscheidung machen! Die ZV $X$ ist eine Funktion, die im Allgemeinen mal Werte $< E(X)$ und mal $> E(X)$ annimmt!

Allerdings: Es ist $P(X - EX > [mm] \varepsilon) \le [/mm] P(|X - EX| > [mm] \varepsilon)$ [/mm] (da die Menge [mm] $\{ \omega \mid X(\omega) - EX > \varepsilon \}$ [/mm] in [mm] $\{ \omega \mid |X(\omega) - EX| > \varepsilon \}$ [/mm] enthalten ist).

LG Felix


Bezug
                                                        
Bezug
Wahrscheinlichkeitsfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:09 Di 09.05.2006
Autor: Karl_Pech

Hallo Felix!


> Allerdings: Es ist [mm]P(X - EX > \varepsilon) \le P(|X - EX| > \varepsilon)[/mm]
> (da die Menge [mm]\{ \omega \mid X(\omega) - EX > \varepsilon \}[/mm]
> in [mm]\{ \omega \mid |X(\omega) - EX| > \varepsilon \}[/mm]
> enthalten ist).


Ok, klar. Also bastele ich mir folgende Ungleichungskette


[mm]P(X-E(X) > \epsilon) \le P(\left|X-E(X)\right| > \epsilon) \le \frac{V(X)}{\epsilon^2}[/mm]


Zusammen mit den vorherigen Überlegungen ist dann alles gezeigt.


Ok, jetzt habe ich's aber (hoffentlich) wirklich verstanden. ;-)




Viele Grüße
Karl





Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Stochastik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]