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Forum "Uni-Stochastik" - Wahrscheinlichkeitsfunktion

Wahrscheinlichkeitsfunktion < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe

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Wahrscheinlichkeitsfunktion: Summe gleich 1

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	12:50 So 07.05.2006
Autor:	Karl_Pech

Hallo Zusammen!

Auch wenn das Thema es anders vermuten läßt, handelt es sich hier wohl doch um Analysis. Ich versuche folgendes zu zeigen:

[mm]\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{-r^n}{n\log(1-r)}} = 1[/mm] für [mm]0

Dazu klammere ich erstmal aus:

[mm]-\frac{1}{\log(1-r)}\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{r^n}{n}}[/mm]

und komme bereits jetzt nicht mehr weiter. Im Wesentlichen habe ich ab diesem Punkt zwei Ansätze verfolgt:

Ansatz 1:

[mm]\frac{\partial}{\partial r}\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{r^n}{n}} = \sum_{n=1}^{\infty}{r^{n-1}} = \frac{1}{1-r}[/mm]

Dann dachte ich mir, daß mir die Integration eine geschlossene Formel für meine Summe liefert. Wegen

[mm]\int{\frac{\mathrm{d}r}{1-r}} = -\log(r-1)[/mm]

würde dann

[mm]\sum_{n = 1}^{\infty}{\frac{r^n}{n}} = -\log(r-1)[/mm]

gelten. Aber das kann nicht sein, da der Logarithmus für [mm]0 < r < 1[/mm] im Reellen nicht definiert ist. (Und selbst wenn, [mm]\tfrac{\log(r-1)}{\log(1-r)}[/mm] läßt sich doch nicht zu 1 kürzen. Also ist dieser Ansatz falsch. Offenbar durfte man hier nicht integrieren.

)

Ansatz 2:

Eine Recherche im Internet ;-)

ergab, daß diese Summe etwas mit einer Taylor-Entwicklung zu tun haben könnte. Und zwar gilt:

[mm]\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n-1}r^n}{n}} = \log(1+r)[/mm]

Leider weiß ich nicht, was ich mit [mm] $(-1)^{n-1}$ [/mm] anfangen soll? Ich denke aber, daß das der richtige Ansatz ist, nur ausbauen konnte ich ihn bisher nicht. Hat jemand eine Idee?

Danke!

Viele Grüße
Karl

Bezug

Wahrscheinlichkeitsfunktion: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	13:03 So 07.05.2006
Autor:	felixf

Hallo Karl!

> Auch wenn das Thema es anders vermuten läßt, handelt es
> sich hier wohl doch um Analysis. Ich versuche folgendes zu
> zeigen:
>
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{-r^n}{n\log(1-r)}} = 1[/mm] für [mm]0
>
> Dazu klammere ich erstmal aus:
>
> [mm]-\frac{1}{\log(1-r)}\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{r^n}{n}}[/mm]
>
> und komme bereits jetzt nicht mehr weiter. Im Wesentlichen
> habe ich ab diesem Punkt zwei Ansätze verfolgt:
>
> Ansatz 1:
>
> [mm]\frac{\partial}{\partial r}\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{r^n}{n}} = \sum_{n=1}^{\infty}{r^{n-1}} = \frac{1}{1-r}[/mm]
>
> Dann dachte ich mir, daß mir die Integration eine
> geschlossene Formel für meine Summe liefert. Wegen
>
> [mm]\int{\frac{\mathrm{d}r}{1-r}} = -\log(r-1)[/mm]

Vorsicht, du hast den Betrag vergessen! Damit klaert sich dann der Rest des Ansatzes :-)

> Ansatz 2:
>
> Eine Recherche im Internet ;-)

ergab, daß diese Summe etwas
> mit einer Taylor-Entwicklung zu tun haben könnte. Und zwar
> gilt:
>
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n-1}r^n}{n}} = \log(1+r)[/mm]
>
> Leider weiß ich nicht, was ich mit [mm](-1)^{n-1}[/mm] anfangen
> soll? Ich denke aber, daß das der richtige Ansatz ist, nur
> ausbauen konnte ich ihn bisher nicht. Hat jemand eine
> Idee?

Ersetz mal $r$ durch $-r$. Dann bekommst du [mm]\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n-1}(-1)^nr^n}{n}} = \log(1-r)[/mm], also [mm]-\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{r^n}{n}} = \log(1-r)[/mm].

LG Felix

Bezug

Wahrscheinlichkeitsfunktion: Danke!

Status:	(Mitteilung) Reaktion unnötig
Datum:	16:08 So 07.05.2006
Autor:	Karl_Pech

Hallo Felix!

> Vorsicht, du hast den Betrag vergessen! Damit klaert sich
> dann der Rest des Ansatzes :-)

Wahnsinn! Es war also doch richtig!

> > Ansatz 2:
> >
> > Eine Recherche im Internet ;-)

ergab, daß diese Summe etwas
> > mit einer Taylor-Entwicklung zu tun haben könnte. Und zwar
> > gilt:
>  >

> > [mm]\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n-1}r^n}{n}} = \log(1+r)[/mm]
>
> >
> > Leider weiß ich nicht, was ich mit [mm](-1)^{n-1}[/mm] anfangen
> > soll? Ich denke aber, daß das der richtige Ansatz ist, nur
> > ausbauen konnte ich ihn bisher nicht. Hat jemand eine
> > Idee?
>
> Ersetz mal [mm]r[/mm] durch [mm]-r[/mm].

... o je ... :-)

Danke! Das war es also!

Liebe Grüße
Karl

Bezug

Wahrscheinlichkeitsfunktion: Ungleichung

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	19:54 So 07.05.2006
Autor:	Karl_Pech

Hallo Zusammen!

> Auch wenn das Thema es anders vermuten läßt, handelt es
> sich hier wohl doch um Analysis.

(Die nächste Frage nimmt allerdings Bezug zu dieser Wahrscheinlichkeitsfunktion. Insofern habe ich die Diskussion jetzt hierhin verschoben. :-)

)

Aufgabe

 
Für [mm]0 < r < 1[/mm] ist die Verteilung einer Zufallsgröße [mm]X[/mm] durch

[mm]P(X=n) = c_r\frac{r^n}{n}\;(n\in\mathbb{N})[/mm]

gegeben mit

[mm]c_r := \frac{-1}{\log(1-r)}[/mm]

Der Erwartungswert und die Varianz betragen dann:

[mm]E(X) = c_r\frac{r}{1-r}[/mm] und [mm]V(X) = rc_r\frac{1-rc_r}{(1-r)^2}[/mm]

Zeige, daß dann:

[mm]P\left(X > \frac{nr}{1-r}\right) \le \frac{c_r\left(1-rc_r\right)}{r\left(n-c_r\right)^2}\;(n\in\mathbb{N})[/mm]

gilt.

Der "Ansatz", den ich bisher für diese Aufgabe habe, ist:

[mm]P\left(X > \frac{nr}{1-r}\right) = c_r\sum_{k=\left\lceil\frac{nr}{1-r}\right\rceil}^{\infty}{\frac{r^k}{k}} = c_rr^{\left\lceil\frac{nr}{1-r}\right\rceil}\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{r^k}{k+\lceil nr/(1-r)\rceil}}[/mm]

Weiter bin ich bisher nicht gekommen, und ich denke, daß das auch der falsche Weg ist. Womit soll man bei dieser Aufgabe bloß anfangen?

Danke für die Hilfe!

Viele Grüße
Karl

Bezug

Wahrscheinlichkeitsfunktion: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	23:07 So 07.05.2006
Autor:	felixf

Hallo Karl!

> [mm]P\left(X > \frac{nr}{1-r}\right) \le \frac{c_r\left(1-rc_r\right)}{r\left(n-c_r\right)^2}\;(n\in\mathbb{N})[/mm]

Das erinnert mich ein wenig an die Tschebyscheffsche Ungleichung. Vielleicht kannst du da mit der was machen?

LG Felix

Bezug

Wahrscheinlichkeitsfunktion: nochmals danke!

Status:	(Mitteilung) Reaktion unnötig
Datum:	18:29 Mo 08.05.2006
Autor:	Karl_Pech

Hallo Felix!

> Das erinnert mich ein wenig an die Tschebyscheffsche
> Ungleichung. Vielleicht kannst du da mit der was machen?

Danke für diesen Hinweis! Damit hast du mich auf die richtige Spur gebracht. ;-)

Und zwar braucht man hier lediglich die Definition der Ungleichung zu betrachten, den gegebenen Erwartungswert und die Varianz einzusetzen. Und zum Schluß dann den einen freien Parameter (> 0) so zu setzen, daß es passt. Am besten ist es, man rät den Parameter nicht, sondern entwickelt ihn quasi aus der Aufgabenstellung heraus "rückwärts". :-)

Viele Grüße
Karl

Bezug

Wahrscheinlichkeitsfunktion: Mitteilung

Status:	(Mitteilung) Reaktion unnötig
Datum:	19:58 Mo 08.05.2006
Autor:	felixf

Hallo Karl!

> > Das erinnert mich ein wenig an die Tschebyscheffsche
> > Ungleichung. Vielleicht kannst du da mit der was machen?
>
> Danke für diesen Hinweis! Damit hast du mich auf die
> richtige Spur gebracht. ;-)

Schoen, freut mich :-)

> Und zwar braucht man hier lediglich die Definition der
> Ungleichung zu betrachten, den gegebenen Erwartungswert und
> die Varianz einzusetzen. Und zum Schluß dann den einen
> freien Parameter (> 0) so zu setzen, daß es passt. Am
> besten ist es, man rät den Parameter nicht, sondern
> entwickelt ihn quasi aus der Aufgabenstellung heraus
> "rückwärts". :-)

Also die ``uebliche'' Methode bei solchen Aufgaben *g*

LG Felix

Bezug

Wahrscheinlichkeitsfunktion: Fallunterscheidung mißlungen

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	23:00 Mo 08.05.2006
Autor:	Karl_Pech

Hallo Felix!

> Also die ''uebliche'' Methode bei solchen Aufgaben *g*

Na ja, ich hab's jetzt versucht, und eigentlich funktioniert es ja auch, nur bei einer Fallunterscheidung ist noch irgendwo der Wurm drin.

Die Tschebyscheff'sche Ungleichung lautet ja:

[mm]\forall\xi > 0:P(\underbrace{\left|X-E(X)\right|}_{\text{Version 1}} > \xi) = P(\underbrace{\left|E(X)-X\right|}_{\text{Version 2}} > \xi) \le \frac{V(X)}{\xi^2}[/mm]

Jetzt berechne ich [mm]\xi[/mm]:

[mm]\frac{V(X)}{\xi^2} = \frac{c_r\left(1-rc_r\right)}{r\left(n-c_r\right)^2}\Rightarrow \xi = \frac{r\left(n-c_r\right)}{1-r}[/mm]

Danach mache ich eine Fallunterscheidung. Für [mm]X > E(X)[/mm] nehme ich die Version 1 der Ungleichung, und berechne [mm]\xi+E(X)[/mm], und es funktioniert auch. Für den Fall [mm]E(X) > X[/mm] kann es doch aber gar nicht mehr funktionieren, oder? Dort nehme ich Version 2 der Ungleichung und berechne [mm]-(E(X)-\xi) = \xi-E(X)[/mm], aber offensichtlich ist: [mm]\xi-E(X) \ne \xi+E(X)[/mm]. Also ist meine Fallunterscheidung falsch ... nur wo steckt der Denkfehler?

Danke!

Viele Grüße
Karl

Bezug

Wahrscheinlichkeitsfunktion: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	07:49 Di 09.05.2006
Autor:	felixf

Hallo Karl!

> Die Tschebyscheff'sche Ungleichung lautet ja:
>
> [mm]\forall\xi > 0:P(\underbrace{\left|X-E(X)\right|}_{\text{Version 1}} > \xi) = P(\underbrace{\left|E(X)-X\right|}_{\text{Version 2}} > \xi) \le \frac{V(X)}{\xi^2}[/mm]
>
> Jetzt berechne ich [mm]\xi[/mm]:
>
> [mm]\frac{V(X)}{\xi^2} = \frac{c_r\left(1-rc_r\right)}{r\left(n-c_r\right)^2}\Rightarrow \xi = \frac{r\left(n-c_r\right)}{1-r}[/mm]
>
> Danach mache ich eine Fallunterscheidung. Für [mm]X > E(X)[/mm]
> nehme ich die Version 1 der Ungleichung, und berechne
> [mm]\xi+E(X)[/mm], und es funktioniert auch. Für den Fall [mm]E(X) > X[/mm]
> kann es doch aber gar nicht mehr funktionieren, oder? Dort
> nehme ich Version 2 der Ungleichung und berechne
> [mm]-(E(X)-\xi) = \xi-E(X)[/mm], aber offensichtlich ist: [mm]\xi-E(X) \ne \xi+E(X)[/mm].
> Also ist meine Fallunterscheidung falsch ... nur wo steckt
> der Denkfehler?

Du kannst hier keine Fallunterscheidung machen! Die ZV $X$ ist eine Funktion, die im Allgemeinen mal Werte $< E(X)$ und mal $> E(X)$ annimmt!

Allerdings: Es ist $P(X - EX > [mm] \varepsilon) \le [/mm] P(|X - EX| > [mm] \varepsilon)$ [/mm] (da die Menge [mm] $\{ \omega \mid X(\omega) - EX > \varepsilon \}$ [/mm] in [mm] $\{ \omega \mid |X(\omega) - EX| > \varepsilon \}$ [/mm] enthalten ist).

LG Felix

Bezug

Wahrscheinlichkeitsfunktion: Mitteilung

Status:	(Mitteilung) Reaktion unnötig
Datum:	08:09 Di 09.05.2006
Autor:	Karl_Pech

Hallo Felix!

> Allerdings: Es ist [mm]P(X - EX > \varepsilon) \le P(|X - EX| > \varepsilon)[/mm]
> (da die Menge [mm]\{ \omega \mid X(\omega) - EX > \varepsilon \}[/mm]
> in [mm]\{ \omega \mid |X(\omega) - EX| > \varepsilon \}[/mm]
> enthalten ist).

Ok, klar. Also bastele ich mir folgende Ungleichungskette

[mm]P(X-E(X) > \epsilon) \le P(\left|X-E(X)\right| > \epsilon) \le \frac{V(X)}{\epsilon^2}[/mm]

Zusammen mit den vorherigen Überlegungen ist dann alles gezeigt.

Ok, jetzt habe ich's aber (hoffentlich) wirklich verstanden. ;-)

Viele Grüße
Karl

Bezug

Ansicht:

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