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Forum "Wahrscheinlichkeitsrechnung" - Wahrscheinlichkeitsraum
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Wahrscheinlichkeitsraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:20 Sa 05.12.2015
Autor: Rebellismus

Aufgabe
Ich habe eine frage zur folgenden Definition:

Ein Wahrscheinlichkeitsaxiome [mm] (\Omega,\Sigma,P) [/mm] besteht aus:

i) Ergebnismenge [mm] \Omega [/mm]

- endlich, z.B. Kopf uznd Zahl als Ergebnis eines Münzwurfs: [mm] \{K,Z\} [/mm]
- unendlich diskret, z.B. [mm] \IN [/mm]
- kontinuierlich, z.B. [mm] \IR, [a,b]\subset\IR [/mm]

ii) Ereignisraum [mm] \Sigma [/mm]

[mm] \Sigma [/mm] ist die Potenzmenge von [mm] \Omega, [/mm] oder nur ein Teil davon (eine [mm] \sigma-Algebra) [/mm]

iii) Wahrscheinlichkeitsmaß [mm]P[/mm]

[mm]P[/mm] ordnet jedem Ereignis [mm] A\in\Sigma [/mm] eine Wahrscheinlichkeit zu.

Beispiel Münzwurf:

[mm] \Omega=\{K,Z\} [/mm]

[mm] \Sigma=\{\emptyset,\{K\},\{Z\},\{K,Z\}\} [/mm]

[mm] P(\{K\})=P(\{Z\})=0,5 [/mm]

[mm] P(\{K,Z\})=1 [/mm]


Ich verstehe nicht was bei der Definition der Ergebnismenge mit unendlich diskret und kontinuieurlich gemeint ist

Kann mir das jemand erklären?

Außerdem habe ich noch eine Frage zum Beispiel:

Da steht: [mm] P(\{K,Z\})=1 [/mm]

Heißt das, das Ereignis [mm] \{K,Z\} [/mm] heißt entweder Kopf ODER Zahl ?

        
Bezug
Wahrscheinlichkeitsraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:02 Sa 05.12.2015
Autor: fred97


> Ich habe eine frage zur folgenden Definition:
>  
> Ein Wahrscheinlichkeitsaxiome [mm](\Omega,\Sigma,P)[/mm] besteht
> aus:
>  
> i) Ergebnismenge [mm]\Omega[/mm]
>  
> - endlich, z.B. Kopf uznd Zahl als Ergebnis eines
> Münzwurfs: [mm]\{K,Z\}[/mm]
>  - unendlich diskret, z.B. [mm]\IN[/mm]
>  - kontinuierlich, z.B. [mm]\IR, [a,b]\subset\IR[/mm]
>  
> ii) Ereignisraum [mm]\Sigma[/mm]
>  
> [mm]\Sigma[/mm] ist die Potenzmenge von [mm]\Omega,[/mm] oder nur ein Teil
> davon (eine [mm]\sigma-Algebra)[/mm]
>  
> iii) Wahrscheinlichkeitsmaß [mm]P[/mm]
>
> [mm]P[/mm] ordnet jedem Ereignis [mm]A\in\Sigma[/mm] eine Wahrscheinlichkeit
> zu.
>  
> Beispiel Münzwurf:
>  
> [mm]\Omega=\{K,Z\}[/mm]
>  
> [mm]\Sigma=\{\emptyset,\{K\},\{Z\},\{K,Z\}\}[/mm]
>  
> [mm]P(\{K\})=P(\{Z\})=0,5[/mm]
>  
> [mm]P(\{K,Z\})=1[/mm]
>  
> Ich verstehe nicht was bei der Definition der Ergebnismenge
> mit unendlich diskret und kontinuieurlich gemeint ist
>  
> Kann mir das jemand erklären?

Diese Menge kann endlich oder abzaehlbar unendlich oder oder ueberabzaehlbar sein.



>  
> Außerdem habe ich noch eine Frage zum Beispiel:
>  
> Da steht: [mm]P(\{K,Z\})=1[/mm]
>  
> Heißt das, das Ereignis [mm]\{K,Z\}[/mm] heißt entweder Kopf ODER
> Zahl ?


Ja

Fred


Bezug
                
Bezug
Wahrscheinlichkeitsraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:46 Sa 05.12.2015
Autor: Rebellismus

Aufgabe
Ich habe noch eine frage zu diesem Wahrscheinlichkeitsaxiom:

Seien [mm] A_1, A_2, A_3...\in\Sigma [/mm] sich gegenseitig ausschließende Ereignisse, d.h. [mm] A_i\cap A_j=\emptyset [/mm] für [mm] i\not=j. [/mm] Dann ist:

[mm] P(\bigcup_{i=1}^{\infty}*A_i)=\summe_{i=1}^{\infty}P(A_i) [/mm]

Bei disjunkten Ereignissen addieren sich also die Wahrscheinlichkeiten



Was bedeutet der Term:

[mm] P(\bigcup_{i=1}^{\infty}*A_i) [/mm]

?

Ich habe das axiom nun so verstanden: Falls [mm] A\cap B=\emptyset [/mm] gilt:

Dann gilt [mm] P(A\cup{B})=P(A)+P(B) [/mm]

Habe ich das so richtig verstanden?

und auch bitte erklären wie man den Term [mm] P(\bigcup_{i=1}^{\infty}*A_i) [/mm] verstehen muss.

Bezug
                        
Bezug
Wahrscheinlichkeitsraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:20 Sa 05.12.2015
Autor: luis52


> Ich habe noch eine frage zu diesem
> Wahrscheinlichkeitsaxiom:
>  
> Seien [mm]A_1, A_2, A_3...\in\Sigma[/mm] sich gegenseitig
> ausschließende Ereignisse, d.h. [mm]A_i\cap A_j=\emptyset[/mm] für
> [mm]i\not=j.[/mm] Dann ist:
>  
> [mm]P(\bigcup_{i=1}^{\infty}*A_i)=\summe_{i=1}^{\infty}P(A_i)[/mm]
>  
> Bei disjunkten Ereignissen addieren sich also die
> Wahrscheinlichkeiten
>  
>
> Was bedeutet der Term:
>
> [mm]P(\bigcup_{i=1}^{\infty}*A_i)[/mm]
>  
> ?
>  
> Ich habe das axiom nun so verstanden: Falls [mm]A\cap B=\emptyset[/mm]
> gilt:
>  
> Dann gilt [mm]P(A\cup{B})=P(A)+P(B)[/mm]
>
> Habe ich das so richtig verstanden?

[ok]

>  
> und auch bitte erklären wie man den Term
> [mm]P(\bigcup_{i=1}^{\infty}*A_i)[/mm] verstehen muss.

Mit dem Punkt wird die  Information mitgeteilt, dass $ [mm] A_1, A_2, A_3...$ [/mm] paarweise disjunkt sind. Lies [mm] $\bigcup_{i=1}^{\infty}*A_i$ [/mm] wie "Vereinigung paarweise disjunkter Ereignisse".

Bezug
                                
Bezug
Wahrscheinlichkeitsraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:14 Sa 05.12.2015
Autor: Rebellismus

Zuletzt habe ich noch eine frage zur folgenden rechenregel des Wahrscheinlichkeitsmaßes P:

Das unmögliche Ereignis hat Wahrscheinlichkeit 0: [mm] P(\emptyset)=0 [/mm]
Das gilt nicht umgekehrt: P(A)=0 [mm] \not\Rightarrow A=\emptyset [/mm]

Ich finde das irgendwie verwirrend. Kann mir jemand die Regel erklären? Was genau ist hier umgekehrt? Das mögliche Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit Null? Meint man das mit umgekehrt?



Bezug
                                        
Bezug
Wahrscheinlichkeitsraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:23 Sa 05.12.2015
Autor: fred97


> Zuletzt habe ich noch eine frage zur folgenden rechenregel
> des Wahrscheinlichkeitsmaßes P:
>  
> Das unmögliche Ereignis hat Wahrscheinlichkeit 0:
> [mm]P(\emptyset)=0[/mm]
>  Das gilt nicht umgekehrt: P(A)=0 [mm]\not\Rightarrow A=\emptyset[/mm]
>  
> Ich finde das irgendwie verwirrend. Kann mir jemand die
> Regel erklären? Was genau ist hier umgekehrt? Das
> mögliche Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit Null? Meint
> man das mit umgekehrt?

In Worten:

aus A= [mm] \emptyset [/mm] folgt P (A)=0;

aber aus P (A)=0 folgt im allgemeinen nicht [mm] A=\emptyset. [/mm]

Fred

>  
>  


Bezug
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