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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:59 Sa 17.04.2010 | | Autor: | Aquilera |
| Aufgabe | Sei [mm] (\omega,\mathcal{A},P) [/mm] ein Wahrscheinlichkeitsraum mit [mm] \omega [/mm] ={1,2,3,4}.
a) Seien A ={1,2} und B={1,3} Elemente der sigma Algebra [mm] \mathcal{A}. [/mm] Ist [mm] \mathcal{A} [/mm] damit eindeutig bestimmt? Beweis oder Gegenbeispiel.
b) Seien P(A) = 0,5 und P(B)=0,5. Ist damit ein Wahrscheinlichkeitsmaß P eindeutig bestimmt. Beweis oder Gegenbeispiel. Falls es mehrere W-Maße gibt, die die obige Bedigung erfüllen, geben sie alle an.
c) Seien P(A) = 1 und P(B)=1. Ist damit ein Wahrscheinlichkeitsmaß P eindeutig bestimmt. Beweis oder Gegenbeispiel. Falls es mehrere W-Maße gibt, die die obige Bedingung erfüllen, geben sie alle an. |
Ich versteh ehrlich gesagt nur Bahnhof.
Dem ganzen geht wohl ne VL über Maßtheorie voraus, die ich aber (fieserweise) nicht hatte.
Ich habe mich inzwischen mal belesen, was eine [mm] \sigma [/mm] - Algebra ist, aber dann hört es leider auch schon auf.
bei aufgabe a) bin ich zu der entscheidung gekommen, dass es keine [mm] \sigma [/mm] - Algebra ist, weil [mm] \omega \not\in \mathcal{A} [/mm] ist.
Aber bei b und c weiß ich gar nicht weiter :(
Und mein tolles Buch von Klenke verstehe ich leider auch nicht.
Kann mir jemand helfen?
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Hallo!
> Sei [mm](\omega,\mathcal{A},P)[/mm] ein Wahrscheinlichkeitsraum mit
> [mm]\omega[/mm] ={1,2,3,4}.
> a) Seien A ={1,2} und B={1,3} Elemente der sigma Algebra
> [mm]\mathcal{A}.[/mm] Ist [mm]\mathcal{A}[/mm] damit eindeutig bestimmt?
> Beweis oder Gegenbeispiel.
Die Aufgabenstellung lautet umformuliert: Gibt es mehrere (verschiedene!) Sigma-Algebren, die A und B enthalten?
Du musst die Eigenschaften einer [mm] \sigma-Algebra [/mm] benutzen, um an dein Ziel zu kommen.
Für eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] gilt immer: [mm] $\Omega\in \mathcal{A}$ [/mm] und [mm] $\emptyset \in\mathcal{a}$.
[/mm]
Was gilt noch?
Wenn du nun weißt, dass A und B in der [mm] \sigma-Algebra [/mm] enthalten sind, was sind dann aufgrund der Eigenschaften der Sigma-Algebra noch für Mengen in der Sigma-Algebra enthalten?
Hinweis: Wenn du zeigen können solltest, dass [mm] $\{1\}, \{2\},\{3\},\{4\}\in \mathcal{A}$, [/mm] solltest du fertig sein (warum?).
> b) Seien P(A) = 0,5 und P(B)=0,5. Ist damit ein
> Wahrscheinlichkeitsmaß P eindeutig bestimmt. Beweis oder
> Gegenbeispiel. Falls es mehrere W-Maße gibt, die die obige
> Bedigung erfüllen, geben sie alle an.
Was für Eigenschaften hat ein Wahrscheinlichkeitsmaß?
Wenn du eine disjunkte Vereinigung von mehreren Mengen hast, was gilt dann für das Maß?
A,B disjunkt [mm] \Rightarrow $P(A\cup [/mm] B) = P(A) + P(B)$.
Was kannst du daraus über die einzelnen Wahrscheinlichkeiten für [mm] \{1\},\{2\},\{3\} [/mm] folgern?
> c) Seien P(A) = 1 und P(B)=1. Ist damit ein
> Wahrscheinlichkeitsmaß P eindeutig bestimmt. Beweis oder
> Gegenbeispiel. Falls es mehrere W-Maße gibt, die die obige
> Bedingung erfüllen, geben sie alle an.
Wie oben bei b) anfangen.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 Sa 17.04.2010 | | Autor: | Aquilera |
> Hallo!
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> > Sei [mm](\omega,\mathcal{A},P)[/mm] ein Wahrscheinlichkeitsraum mit
> > [mm]\omega[/mm] ={1,2,3,4}.
> > a) Seien A ={1,2} und B={1,3} Elemente der sigma
> Algebra
> > [mm]\mathcal{A}.[/mm] Ist [mm]\mathcal{A}[/mm] damit eindeutig bestimmt?
> > Beweis oder Gegenbeispiel.
>
>
> Die Aufgabenstellung lautet umformuliert: Gibt es mehrere
> (verschiedene!) Sigma-Algebren, die A und B enthalten?
> Du musst die Eigenschaften einer [mm]\sigma-Algebra[/mm] benutzen,
> um an dein Ziel zu kommen.
> Für eine [mm]\sigma-Algebra[/mm] gilt immer: [mm]\Omega\in \mathcal{A}[/mm]
> und [mm]\emptyset \in\mathcal{a}[/mm].
>
> Was gilt noch?
>
> Wenn du nun weißt, dass A und B in der [mm]\sigma-Algebra[/mm]
> enthalten sind, was sind dann aufgrund der Eigenschaften
> der Sigma-Algebra noch für Mengen in der Sigma-Algebra
> enthalten?
> Hinweis: Wenn du zeigen können solltest, dass [mm]\{1\}, \{2\},\{3\},\{4\}\in \mathcal{A}[/mm],
> solltest du fertig sein (warum?).
Nun, wenn ich das zeigen könnte, dann wäre ich fertig, weil
i) immer die komplementärmengen enthalten sind
ii) auch automatisch immer die vereinigung zweier mengen aus der algebra in der algebra enthalten sind
aber wie zeige ich dass [mm]\{1\}, \{2\},\{3\},\{4\}\in \mathcal{A}[/mm] gilt?
>
>
> > b) Seien P(A) = 0,5 und P(B)=0,5. Ist damit ein
> > Wahrscheinlichkeitsmaß P eindeutig bestimmt. Beweis oder
> > Gegenbeispiel. Falls es mehrere W-Maße gibt, die die obige
> > Bedigung erfüllen, geben sie alle an.
>
> Was für Eigenschaften hat ein Wahrscheinlichkeitsmaß?
> Wenn du eine disjunkte Vereinigung von mehreren Mengen
> hast, was gilt dann für das Maß?
>
Keine wirkliche ahnung.
W-Maß ist glaube ich [mm] P(\Omega)=1.
[/mm]
Aber A und B sind doch gar nicht disjunkt laut obiger angabe weil A [mm] \cap [/mm] B ={1}.
Wären sie disjunkt, wäre es doch ein Maß, oder? weil ja dann 0,5+0,5=1 gelten würde. Aber dem ist ja nicht so :(
> A,B disjunkt [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]P(A\cup B) = P(A) + P(B)[/mm].
>
> Was kannst du daraus über die einzelnen
> Wahrscheinlichkeiten für [mm]\{1\},\{2\},\{3\}[/mm] folgern?
>
> > c) Seien P(A) = 1 und P(B)=1. Ist damit ein
> > Wahrscheinlichkeitsmaß P eindeutig bestimmt. Beweis oder
> > Gegenbeispiel. Falls es mehrere W-Maße gibt, die die obige
> > Bedingung erfüllen, geben sie alle an.
>
> Wie oben bei b) anfangen.
>
> Grüße,
> Stefan
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Hallo!
> > Die Aufgabenstellung lautet umformuliert: Gibt es mehrere
> > (verschiedene!) Sigma-Algebren, die A und B enthalten?
> > Du musst die Eigenschaften einer [mm]\sigma-Algebra[/mm]
> benutzen,
> > um an dein Ziel zu kommen.
> > Für eine [mm]\sigma-Algebra[/mm] gilt immer: [mm]\Omega\in \mathcal{A}[/mm]
> > und [mm]\emptyset \in\mathcal{a}[/mm].
> >
> > Was gilt noch?
> >
> > Wenn du nun weißt, dass A und B in der [mm]\sigma-Algebra[/mm]
> > enthalten sind, was sind dann aufgrund der Eigenschaften
> > der Sigma-Algebra noch für Mengen in der Sigma-Algebra
> > enthalten?
> > Hinweis: Wenn du zeigen können solltest, dass [mm]\{1\}, \{2\},\{3\},\{4\}\in \mathcal{A}[/mm],
> > solltest du fertig sein (warum?).
>
> Nun, wenn ich das zeigen könnte, dann wäre ich fertig,
> weil
> i) immer die komplementärmengen enthalten sind
> ii) auch automatisch immer die vereinigung zweier mengen
> aus der algebra in der algebra enthalten sind
>
> aber wie zeige ich dass [mm]\{1\}, \{2\},\{3\},\{4\}\in \mathcal{A}[/mm]
> gilt?
Ist [mm] \mathcal{A} [/mm] eine [mm] \sigma-Algebra, [/mm] so gilt:
[mm] $A,B\in \mathcal{A} \Rightarrow A\cup [/mm] B [mm] \in \mathcal{A}, A\cap B\in\mathcal{A}, A^{c}\in\mathcal{A}$ [/mm] (*)
(Für Erläuterungen dazu konsultiere ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia.
Hier also ist gegeben: [mm] $\Omega [/mm] = [mm] \{1,2,3,4\}\in\mathcal{A}, A:=\{1,2\}\in\mathcal{A}, B:=\{1,3\}\in\mathcal{A}$
[/mm]
Aus (*) folgt:
$A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \{1\}\in\mathcal{A}$
[/mm]
[mm] $A^{C} [/mm] = [mm] \{3,4\}\in\mathcal{A}$. [/mm] Damit wiederum: [mm] $A^{C}\cap [/mm] B = [mm] \{3\}\in \mathcal{A}$.
[/mm]
Nun zeige du noch, dass [mm] $\{2\},\{4\}\in\mathcal{A}$ [/mm] !
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> > > b) Seien P(A) = 0,5 und P(B)=0,5. Ist damit ein
> > > Wahrscheinlichkeitsmaß P eindeutig bestimmt. Beweis oder
> > > Gegenbeispiel. Falls es mehrere W-Maße gibt, die die obige
> > > Bedigung erfüllen, geben sie alle an.
> >
> > Was für Eigenschaften hat ein Wahrscheinlichkeitsmaß?
> > Wenn du eine disjunkte Vereinigung von mehreren Mengen
> > hast, was gilt dann für das Maß?
> >
> Keine wirkliche ahnung.
> W-Maß ist glaube ich [mm]P(\Omega)=1.[/mm]
Ja, das ist eine Eigenschaft. Weitere Eigenschaften hier (*)
> Aber A und B sind doch gar nicht disjunkt laut obiger
> angabe weil A [mm]\cap[/mm] B ={1}.
> Wären sie disjunkt, wäre es doch ein Maß, oder? weil ja
> dann 0,5+0,5=1 gelten würde. Aber dem ist ja nicht so :(
Das müsste dann immer noch kein Maß sein!
Du weißt:
$P(A) = [mm] P(\{1,2\}) [/mm] = 0.5$
und
$P(B) = [mm] P(\{1,3\}) [/mm] = 0.5$.
Nach einer Eigenschaft, die du im Link (*) oben findest, gilt also:
$0.5 = [mm] P(\{1\}) [/mm] + [mm] P(\{2\}) [/mm] $
$0.5 = [mm] P(\{1\}) [/mm] + [mm] P(\{3\}) [/mm] $
Außerdem muss noch gelten:
$1 = [mm] P(\{1\}) [/mm] + [mm] P(\{2\}) [/mm] + [mm] P(\{3\}) [/mm] + [mm] P(\{4\}) [/mm] $
Überlege, ob es noch mehr Eigenschaften gibt, die du benutzen könntest (mir fällt gerade nichts mehr ein...).
Ansonsten hättest du jetzt ein LGS mit 4 Unbekannten und 3 Gleichungen...
--> Eindeutigkeit?
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> > > c) Seien P(A) = 1 und P(B)=1. Ist damit ein
> > > Wahrscheinlichkeitsmaß P eindeutig bestimmt. Beweis oder
> > > Gegenbeispiel. Falls es mehrere W-Maße gibt, die die obige
> > > Bedingung erfüllen, geben sie alle an.
Hier weiterhin ähnlich vorgehen.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Sa 17.04.2010 | | Autor: | Aquilera |
> > > > c) Seien P(A) = 1 und P(B)=1. Ist damit ein
> > > > Wahrscheinlichkeitsmaß P eindeutig bestimmt. Beweis oder
> > > > Gegenbeispiel. Falls es mehrere W-Maße gibt, die die obige
> > > > Bedingung erfüllen, geben sie alle an.
>
> Hier weiterhin ähnlich vorgehen.
Vielen lieben dank für deine hilfe, a) habe ich nun hinbekommen. war ja wirklich ganz einfach...
bei b) bin ich zur entscheidung gekommen ,es gibt unendlich viele w-maße und habe diese in abhängigkeit von P{1} angegeben. richtig?
bei c komme ich bei der lösung des gleichungssystems zu folgendem problem:
P{1}+P{3}=1
P{1}+P{2}=1
P{1}+P{2}+P{3}+P{4}=1
und damit zu folgendem ergebnis:
1-P{1}+P{4}=0
daraus folgt ja dann, dass P{4}=0 gilt, weil ja P{1}=1+P{4} und aber [mm] P(\Omega)=1 [/mm] gelten muss, somit für alle : P [mm] \in [/mm] [0,1].
damit wäre ja dann p{1}=1 und damit wiederum P{2}=0 und P{3}=0.
Damit wäre es dann eindeutig bestimmt.
oder bin ich komplett aufm holzweg?
liebe grüße
Susann
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Hallo,
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> > > > > c) Seien P(A) = 1 und P(B)=1. Ist damit ein
> > > > > Wahrscheinlichkeitsmaß P eindeutig bestimmt. Beweis oder
> > > > > Gegenbeispiel. Falls es mehrere W-Maße gibt, die die obige
> > > > > Bedingung erfüllen, geben sie alle an.
> >
> > Hier weiterhin ähnlich vorgehen.
>
> Vielen lieben dank für deine hilfe, a) habe ich nun
> hinbekommen. war ja wirklich ganz einfach...
> bei b) bin ich zur entscheidung gekommen ,es gibt
> unendlich viele w-maße und habe diese in abhängigkeit von
> P{1} angegeben. richtig?
Ich denke ja.
Zur Sicherheit solltest du noch prüfen, ob deine Lösungen jeweils auch die Bedingungen des LGS erfüllen und zusätzlich nur in [0,1] sind.
> bei c komme ich bei der lösung des gleichungssystems zu
> folgendem problem:
>
> P{1}+P{3}=1
> P{1}+P{2}=1
> P{1}+P{2}+P{3}+P{4}=1
>
> und damit zu folgendem ergebnis:
> 1-P{1}+P{4}=0
> daraus folgt ja dann, dass P{4}=0 gilt, weil ja
> P{1}=1+P{4} und aber [mm]P(\Omega)=1[/mm] gelten muss, somit für
> alle : P [mm]\in[/mm] [0,1].
> damit wäre ja dann p{1}=1 und damit wiederum P{2}=0 und
> P{3}=0.
>
> Damit wäre es dann eindeutig bestimmt.
Ich stimmte dir zu.
Die Bedingungen werden dadurch alle erfüllt, in diesem Fall ist es also eindeutig bestimmt.
Grüße,
Stefan
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Oh, sorry, da spann das Forum herum.
Ich freu mich dass ich das gerafft habe...
bei b) kann ich die Lösungenja nur in Abhängigkeit von einander angeben und sobald ich festlege, dass P{1} <=0 ist, erfüllen alle anderen die bedingung [mm] \in [/mm] [0,1] automatisch...
denke das solle dann umproblematisch sein...
hab noch ne echt kritische frage.. wäre total supi, wenn du mir da auch noch helfen könntest... --> extremalpunkte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:23 Mo 19.04.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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