Wahrscheinlichkeitsraum < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:53 So 06.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | Bei der ersten Ziehung der Glücksspirale 1971 wurden für die Ermittlung
einer 7-stelligen Gewinnzahl aus einer Trommel, die Kugeln mit den Ziffern
0; 1; : : : ; 9 je 7mal enthält, nacheinander rein zufällig 7 Kugeln ohne
Zurücklegen gezogen.
a) Geben Sie einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum an.
b) Welche 7-stelligen Gewinnzahlen hatten hierbei die größte und die
kleinste Ziehungswahrscheinlichkeit, und wie groß sind diese Wahrscheinlichkeiten?
c) Bestimmen Sie die Gewinnwahrscheinlichkeit für die Zahl 3 143 643!
d) Wie würden Sie den Ziehungsmodus abändern, um allen Gewinnzahlen
die gleiche Ziehungswahrscheinlichkeit zu sichern? |
Hallo,
ich würde die obigen Aufgaben folgendermaßen lösen:
zur a)
[mm] \Omega [/mm] := { [mm] (\omega_{1}, [/mm] ..., [mm] \omega_{7}) [/mm] | [mm] \omega_{i} \in [/mm] (0, ..., 9 [mm] )^{7} \forall [/mm] i [mm] \in [/mm] {1, ..., 7} }
richtig???
Grüße
Ali
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:27 So 06.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Ali,
> Bei der ersten Ziehung der Glücksspirale 1971 wurden für
> die Ermittlung
> einer 7-stelligen Gewinnzahl aus einer Trommel, die Kugeln
> mit den Ziffern
> 0; 1; : : : ; 9 je 7mal enthält, nacheinander rein
> zufällig 7 Kugeln ohne
> Zurücklegen gezogen.
>
> a) Geben Sie einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum an.
> zur a)
>
> [mm]\Omega[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= $\{$ [mm](\omega_{1},[/mm] ..., [mm]\omega_{7})[/mm] | [mm]\omega_{i} \in[/mm]
> (0, ..., 9 [mm])^{7} \forall[/mm] i [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\{$1, ..., 7$\}$ $\}$
Hinter dem $\omega_i$ müssen die Klammern Mengenklammern, nicht runde Klammern sein, denn du möchtest ja aussagen, dass $\omega_i$ ein Element der Menge $\{0,\ldots,9\}$ sein soll.
Die hochgestellte $7$ ist ersatzlos zu streichen, denn $\omega_i$ soll ja kein 7-Tupel sein, sondern eine Zahl.
(Alternativ ginge auch die Schreibweise: $\Omega:=\{0,\ldots,9\}^7$.)
Ansonsten passt dein $\Omega$.
Zu einem Wahrscheinlichkeitsraum gehört neben der Ergebnismenge $\Omega$ noch eine Wahrscheinlichkeits-Verteilung.
Leider ist die passende Wahrscheinlichkeits-Verteilung bei deiner Wahl von $\Omega$ alles andere als offensichtlich.
Daher schlage ich (trotz deiner an sich korrekten Idee für $\Omega$) eine andere Wahl von $\Omega$ vor:
Wir registrieren als Ergebnis, welche der 70 Kugeln genau gezogen wurden und nicht nur die Aufschrift der Kugeln. Wir könnten also die Kugeln z.B. von 1 bis 70 durchnummerieren.
Geschickter ist es allerdings, z.B. für die 4. Kugel mit der Aufschrift 8 das Paar $(8,4)$ zu notieren. Allgemein denkt man sich also die Kugeln mit gleicher Aufschrift $a\in\{0,\ldots,9\}$ jeweils von 1 bis 7 durchnummeriert und repräsentiert die $j$-te dieser 7 Kugeln mit $(a,j)$. Dann entspricht die Menge der Kugeln der Menge
$K:=\{(a,j)\;|\;a\in\{0,\ldots,9\},j\in\{1,\ldots,7\}\}=\{0,\ldots,9\}\times\{1,\ldots,7\}$.
Dann können wir
$\Omega:=\{(\omega_1,\ldots,\omega_7)\;|\;\omega_i\in K \text{ für alle }i\in\{1,\ldots,7\},\;\omega_i\not=\omega_j\text{ für alle }i,j\in\{1,\ldots,7\}\text{ mit }i\not=j\}$
wählen.
Jetzt ist die Annahme der Laplace-Verteilung $P$ auf $\Omega$ gerechtfertigt.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:29 Mo 07.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
Ok.
Hier noch ein Lösungsvorschlag:
[mm] \Omega [/mm] := { [mm] (\omega_{1}, [/mm] ..., [mm] \omega_{7}) [/mm] | [mm] \omega_{i} \in [/mm] {1, ..., 70} [mm] \forall [/mm] i [mm] \in [/mm] {1, ..., 7} }
[mm] \summe_{i=1}^{7} \bruch{10}{70-i+1}
[/mm]
richtig???
grüße
ali
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:45 Mo 07.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> [mm]\Omega[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= $\{$ [mm](\omega_{1},[/mm] ..., [mm]\omega_{7})[/mm] | [mm]\omega_{i} \in[/mm]
> [mm] $\{$1, ..., 70$\}$[/mm] [mm]\forall[/mm] i [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\{$1, ..., 7$\}$ $\}$
Beachte, dass die Kugeln nicht wieder zurückgelegt werden, also keine Kugel mehrfach gezogen werden kann.
> [mm]\summe_{i=1}^{7} \bruch{10}{70-i+1}[/mm]
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Was ist mit dieser Zahl?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:29 Mo 07.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
Okay, diese Zahl ist unwesentlich :-D
Aber ich habe nun meinen Wahrscheinlichkeitsraum [mm] \Omega [/mm] := {0,1,...,9} ^7
das Prinzip ist das Urnenmodell ohne zurücklegen aber mit der Eigenschaften
K := {(a,j) | a [mm] \in [/mm] {0,...,9}; j [mm] \in [/mm] {1,...,7}}
wenn ich nun also die Gewinnwahrscheinlichkeit für die Zahl: 3 143 643
bestimmen soll, mache ich das mit der hypergeometrischen Verteilung nach folgendem Prinzip:
[mm] \bruch{\vektor{70 \\ 7}\vektor{70 \\ 63} + \vektor{69 \\ 7}\vektor{69 \\ 62} + ... + \vektor{64 \\ 5}\vektor{64 \\ 59}}{\vektor{70 \\ 7}}
[/mm]
...ist das nun ein Schritt in die Richtung oder lässt sich das noch schöner darstellen?
Und kann ich mir damit auch ein allgemeines W-Maß für alle [mm] \omega_{i} [/mm] ableiten?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:11 Mo 07.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Aber ich habe nun meinen Wahrscheinlichkeitsraum [mm]\Omega[/mm] := [mm] $\{$0,1,...,9$\}$ [/mm] ^7
Wie gesagt: Zu einem Wahrscheinlichkeitsraum gehört auch eine Wahrscheinlichkeits-Verteilung.
Obwohl dieses [mm] $\Omega$ [/mm] an sich korrekt wäre, ermöglicht es nicht, in einfacher Weise die passende Wahrscheinlichkeitsverteilung anzugeben.
Daher habe ich dir eine Alternative vorgeschlagen.
> wenn ich nun also die Gewinnwahrscheinlichkeit für die
> Zahl: 3 143 643
> bestimmen soll, mache ich das mit der hypergeometrischen
> Verteilung nach folgendem Prinzip:
1. Die hypergeometrische Verteilungen sind Verteilungen auf Ergebnismengen der Form
[mm] $\Omega=\{1,\ldots,n\}$.
[/mm]
Ein plötzliches Arbeiten mit einer hypergeometrischen Verteilung passt also nicht zu unseren bisherigen Überlegungen.
2. Eine hypergeometrische Verteilung hilft uns hier auch nicht weiter: Zwar werden Kugeln aus einer Urne ohne zurücklegen gezogen. Aber es ist hier nicht nach einer "Trefferanzahl" unter den gezogenen Kugeln gefragt.
> [mm]\bruch{\vektor{70 \\ 7}\vektor{70 \\ 63} + \vektor{69 \\ 7}\vektor{69 \\ 62} + ... + \vektor{64 \\ 5}\vektor{64 \\ 59}}{\vektor{70 \\ 7}}[/mm]
Ich kann leider weder einen Sinn noch einen Bezug zu einer hypergeometrischen Verteilung erkennen.
> Und kann ich mir damit auch ein allgemeines W-Maß für
> alle [mm]\omega_{i}[/mm] ableiten?!
Mit [mm] $\Omega:=\{0,\ldots,9\}^7$ [/mm] ist das wie gesagt nicht in naheliegender Weise möglich.
Bei dem von mir vorgeschlagenen [mm] $\Omega$ [/mm] ist das passende Wahrscheinlichkeitsmaß darauf hingegen einfach die Laplace-Verteilung auf [mm] $\Omega$.
[/mm]
Zur Erinnerung:
$ [mm] \Omega:=\{(\omega_1,\ldots,\omega_7)\;|\;\omega_i\in K \text{ für alle }i\in\{1,\ldots,7\},\;\omega_i\not=\omega_j\text{ für alle }i,j\in\{1,\ldots,7\}\text{ mit }i\not=j\} [/mm] $
mit
[mm] $K:=\{(a,j)\;|\;a\in\{0,\ldots,9\},j\in\{1,\ldots,7\}\}=\{0,\ldots,9\}\times\{1,\ldots,7\}$.
[/mm]
Das Ereignis, dass die Zahl 3 143 643 gezogen wird, entspricht dann
[mm] $E:=\{((a_1,j_1),\ldots,(a_7,j_7))\in\Omega\;|\;a_1=3,a_2=1,a_3=4,a_4=3,a_5=6,a_6=4,a_7=3\}$.
[/mm]
Es gilt somit
[mm] $E=\{((3,j_1),(1,j_2),(4,j_3),(3,j_4),(6,j_5),(4,j_6),(3,j_7))\;|\;j_1,j_2,j_3,j_5\in\{1,\ldots,7\},j_4\in\{1,\ldots,7\}\setminus\{j_1\},j_6\in\{1,\ldots,7\}\setminus\{j_3\},j_7\in\{1,\ldots,7\}\setminus\{j_1,j_4\}\}$.
[/mm]
Gesucht ist [mm] $P(E)=\frac{|E|}{|\Omega|}$. [/mm] Also sind zunächst [mm] $|\Omega|$ [/mm] und $|E|$ zu bestimmen.
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