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Wahrscheinlichkeitsrechnung: Unabhängige Glücksräder
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:07 Di 04.08.2015
Autor: Mathefreund22

Hallo, ich bin gerade in der Abiturvorbereitung und bearbeite alte Aufgaben nochmal. Vor einem Jahr habe ich die Aufgabe 1 richtig gelöst, nur leider weiß ich nicht mehr wie ich das gemacht habe. Ich habe jetzt die Aufgabe 1 drei mal verändert und ausgerechnet um zu sehen, ob ich diese Art von Aufgaben lösen kann. Es wäre super wenn jemand kurz die Lösungen kontrollieren könnte.

Hier ist die Aufgabe 1 die ich schon richtig gelöst habe:


In einer Lotterie wird ein Ziehungsgerät mit fünf kleinen Glücksrädern verwendet. Diese Glücksräder arbeiten unabhängig von einander, d.h. Sie beeinflussen einander nicht.
Auf jeden einzelnen Glücksrad ist als Gewinnsymbol eine Sonne abgebildet und jedes Glücksrad zeigt diese Sonne mit 22 %-iger Wahrscheinlichkeit an.
Das Ziehungsgerät besitzt folgende Gewinnmöglichkeiten:

0-mal oder einmal die Sonne: kein Gewinn,
zweimal oder dreimal die Sonne: ein Trostpreis,
viermal oder fünfmal die Sonne: ein Riesen-Gewinn

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Spieler einen Trostpreis (und insbesondere keinen Riesen-Gewinn) erzielt.  

Meine Lösung:

$ [mm] \vektor{5\\ 2} [/mm] $ x 0,22² x 0,78³ $ [mm] +\vektor{5\\ 3} [/mm] $ x 0,22³ x 0,78²= 0,2944656

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit dass der Spieler einen Trostpreis (und insbesondere keinen riesen Gewinn) erzielt liegt bei 29,45 %




Aufgabe 2 leicht umgewandelt, ich habe die Veränderung unterstrichen.

In einer Lotterie wird ein Ziehungsgerät mit fünf kleinen Glücksrädern verwendet. Diese Glücksräder arbeiten unabhängig von einander, d.h. Sie beeinflussen einander nicht.
Auf jeden einzelnen Glücksrad ist als Gewinnsymbol eine Sonne abgebildet und jedes Glücksrad zeigt diese Sonne mit 22 %-iger Wahrscheinlichkeit an.
Das Ziehungsgerät besitzt folgende Gewinnmöglichkeiten:

0-mal oder einmal die Sonne: kein Gewinn,
viermal oder fünfmal die Sonne: ein Trostpreis,
dreimal oder zweimal die Sonne: ein Riesen-Gewinn

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Spieler einen Trostpreis (und insbesondere keinen Riesen-Gewinn) erzielt.  

Meine Lösung:

$ [mm] \vektor{5\\ 4} [/mm] $ x [mm] 0,22^4 [/mm] x [mm] 0,78^5 [/mm] $ [mm] +\vektor{5\\ 5} [/mm] $ x [mm] 0,22^5 [/mm] x [mm] 0,78^4= [/mm]

[mm] \bruch{5!}{4! (5-4)!} [/mm] x [mm] 0,22^4 [/mm] x [mm] 0,78^5 [/mm]  + [mm] \bruch{5!}{5! (5-5)!} [/mm]  x [mm] 0,22^5 [/mm] x [mm] 0,78^4= [/mm]

5 x [mm] 0,22^4 [/mm] x [mm] 0,78^5 [/mm]  + 1 x [mm] 0,22^5 [/mm] x [mm] 0,78^4= [/mm] 0.0035724515708344


Antwort: Die Wahrscheinlichkeit dass der Spieler einen Trostpreis (und insbesondere keinen riesen Gewinn) erzielt liegt bei 0,3572 %




Aufgabe 3

In einer Lotterie wird ein Ziehungsgerät mit sechs kleinen Glücksrädern verwendet. Diese Glücksräder arbeiten unabhängig von einander, d.h. Sie beeinflussen einander nicht.
Auf jeden einzelnen Glücksrad ist als Gewinnsymbol eine Sonne abgebildet und jedes Glücksrad zeigt diese Sonne mit 22 %-iger Wahrscheinlichkeit an.
Das Ziehungsgerät besitzt folgende Gewinnmöglichkeiten:

0-mal oder einmal die Sonne: kein Gewinn,
zweimal oder dreimal die Sonne: ein Trostpreis,
viermal oder fünfmal die Sonne: ein Riesen-Gewinn

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Spieler einen Riesen-Gewinn (und insbesondere keinen Trostpreis) erzielt.   

Meine Lösung:

$ [mm] \vektor{6\\ 4} [/mm] $ x [mm] 0,22^4 [/mm] x [mm] 0,78^5 [/mm] $ [mm] +\vektor{6\\ 5} [/mm] $ x [mm] 0,22^5 [/mm] x [mm] 0,78^4= [/mm]

[mm] \bruch{6!}{4! (6-4)!} [/mm] x [mm] 0,22^4 [/mm] x [mm] 0,78^5 [/mm]  + [mm] \bruch{6!}{5! (6-5)!} [/mm]  x [mm] 0,22^5 [/mm] x [mm] 0,78^4= [/mm]

15 x [mm] 0,22^4 [/mm] x [mm] 0,78^5 [/mm]  + 6 x [mm] 0,22^5 [/mm] x [mm] 0,78^4= [/mm] 0.0112896406437535


Antwort: Die Wahrscheinlichkeit dass der Spieler einen Riesengewinn (und insbesondere keinen Trostpreis) erzielt liegt bei 1,12896406437535%


Aufgabe 4

In einer Lotterie wird ein Ziehungsgerät mit fünf kleinen Glücksrädern verwendet. Diese Glücksräder arbeiten unabhängig von einander, d.h. Sie beeinflussen einander nicht.
Auf jeden einzelnen Glücksrad ist als Gewinnsymbol eine Sonne abgebildet und jedes Glücksrad zeigt diese Sonne mit 22 %-iger Wahrscheinlichkeit an.
Das Ziehungsgerät besitzt folgende Gewinnmöglichkeiten:

0-mal oder einmal die Sonne: kein Gewinn,
zweimal oder dreimal die Sonne: ein Trostpreis,
viermal oder fünfmal die Sonne: ein Riesen-Gewinn

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Spieler keinen Gewinn erziehlt   

Meine Lösung:

$ [mm] \vektor{5\\ 0} [/mm] $ x [mm] 0,22^0 [/mm] x [mm] 0,78^1 [/mm] $ [mm] +\vektor{5\\ 1} [/mm] $ x [mm] 0,22^1 [/mm] x [mm] 0,78^0= [/mm]  

[mm] \bruch{5!}{0! (5-0)!} [/mm] x [mm] 0,22^0 [/mm] x [mm] 0,78^1 [/mm]  + [mm] \bruch{5!}{1! (5-1)!} [/mm]  x [mm] 0,22^1 [/mm] x [mm] 0,78^0= [/mm]

1 x [mm] 0,22^0 [/mm] x [mm] 0,78^1 [/mm]  + 5 x [mm] 0,22^1 [/mm] x [mm] 0,78^0= [/mm] 1,88


Vielen Dank schonmal !

        
Bezug
Wahrscheinlichkeitsrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:20 Di 04.08.2015
Autor: huddel

Hallo Mathefreund22 :)

Find ich einen guten Ansatz, dass du Aufgaben einfach umstellst und guckst, ob du sie gelöst bekommst.

Nun zu deinen Aufgaben:

Vorweg: Bei aufgabe zwei hast du Trostpreis und Hauptgewinn einfach vertauschst, das heißt die neue Aufgabe wäre einfach aus rechnen, wie wahrscheinlich der Hauptgewinn ist.

Ich glaube bei dir hat sich ein kleiner systematischer Fehler eingeschlichen. Aufgabe 1 hast du damit zufällig richtig gelöst, die restlichen sind leider falsch.
Ich gehe nun einfach mal davon aus, dass du die Formel für die Binomialverteilung genutzt hast (wenn dir der Begriff nichts sagt, macht nichts)

$B(n,p,k) = [mm] \vektor{n\\ k} p^k (1-p)^{n-k}$ [/mm]

was soweit auch richtig ist, jedoch hast du bei den Exponenten der $p$-s leider falsche Werte eingesetzt.
Ich gehe damit mal auf Aufgabe 2 genauer ein:

wir haben hier zwei $k$. Ich nenne sie nun [mm] $k_1$ [/mm] und [mm] $k_2$ [/mm]

$n=5$
$p=0.22$
[mm] $k_1=4$ [/mm]
[mm] $k_2=5$ [/mm]

die Lösung wäre hier (W ist jetzt die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis)

$W= B(5,0.22,4)+B(5,0.22,5) =  [mm] \vektor{5\\ 4} 0.22^4 (0.78)^{1} [/mm] + [mm] \vektor{5\\ 5} 0.22^5 (0.78)^{0}= [/mm] ...$ (den Rest bekommst du selbst hin :P )

das heißt du setzt für [mm] $n-k_1$ [/mm] nicht das [mm] $k_2$ [/mm] für das zweite Ereignis (Ich trenne das nochmal in zwei Ereignisse auf: 1.: 4 Sonnen (für [mm] $k_1$), [/mm] 2.: 5 Sonnen (für [mm] $k_2$)) [/mm] sondern wirklich [mm] $5-k_1$ [/mm] ein. Für das zweite Ereignis natürlich angepasst.

Aufgabe 3 änderst du dein $n$, also hier nochmal aufpassen.
Aufgabe 4 hätte dir eigentlich selbst auffallen können, dass da was nicht Stimmt. Wenn du Ergebnisse mit einer Wahrscheinlichkeit von 188% raus bekommst, solltest du stuzig werden :P

Ich hoffe mein Geschwafel ist verständlich und etwas hilfreich :)

LG
huddel

Bezug
                
Bezug
Wahrscheinlichkeitsrechnung: Unabhängige Glücksräder
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:32 Di 04.08.2015
Autor: Mathefreund22

Vielen lieben Dank, stimmen diese zwei Aufgaben ?

Aufgabe 1

In einer Lotterie wird ein Ziehungsgerät mit fünf kleinen Glücksrädern verwendet. Diese Glücksräder arbeiten unabhängig von einander, d.h. Sie beeinflussen einander nicht.
Auf jeden einzelnen Glücksrad ist als Gewinnsymbol eine Sonne abgebildet und jedes Glücksrad zeigt diese Sonne mit 22 %-iger Wahrscheinlichkeit an.
Das Ziehungsgerät besitzt folgende Gewinnmöglichkeiten:

0-mal oder einmal die Sonne: kein Gewinn,
zweimal oder dreimal die Sonne: ein Trostpreis,
viermal oder fünfmal die Sonne: ein Riesen-Gewinn

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Spieler einen Riesen-Gewinn (und insbesondere keinen Trostpreis) erzielt.  

Meine Lösung:

n = 5
p = 0,22
[mm] k^1 [/mm] = 4
[mm] k^2 [/mm] = 5

$ [mm] \vektor{5\\ 4} [/mm] $ x [mm] 0,22^4 [/mm] x [mm] 0,78^1 [/mm] $ [mm] +\vektor{5\\ 5} [/mm] $ x [mm] 0,22^5 [/mm] x [mm] 0,78^0= [/mm]

[mm] \bruch{5!}{4! (5-4)!} [/mm] x [mm] 0,22^4 [/mm] x [mm] 0,78^1 [/mm]  + [mm] \bruch{5!}{5! (5-5)!} [/mm]  x [mm] 0,22^5 [/mm] x [mm] 0,78^0= [/mm]

5 x [mm] 0,22^4 [/mm] x [mm] 0,78^1 [/mm]  + 1 x [mm] 0,22^5 [/mm] x [mm] 0,78^0= [/mm] 0.0096513472

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit dass der Spieler einen Riesen-Gewinn (und insbesondere keinen Trostpreis) erzielt liegt bei 0,97 %




Aufgabe 2

In einer Lotterie wird ein Ziehungsgerät mit sechs kleinen Glücksrädern verwendet. Diese Glücksräder arbeiten unabhängig von einander, d.h. Sie beeinflussen einander nicht.
Auf jeden einzelnen Glücksrad ist als Gewinnsymbol eine Sonne abgebildet und jedes Glücksrad zeigt diese Sonne mit 22 %-iger Wahrscheinlichkeit an.
Das Ziehungsgerät besitzt folgende Gewinnmöglichkeiten:

0-mal oder einmal die Sonne: kein Gewinn,
zweimal oder dreimal die Sonne: ein Trostpreis,
viermal oder fünfmal die Sonne: ein Riesen-Gewinn

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Spieler einen Trostpreis (und insbesondere keinen Riesen-Gewinn) erzielt.  

Meine Lösung:

n = 6
p = 0,22
[mm] k^1 [/mm] = 2
[mm] k^2 [/mm] = 3

$ [mm] \vektor{6\\ 2} [/mm] $ x [mm] 0,22^2 [/mm] x [mm] 0,78^4 [/mm] $ [mm] +\vektor{6\\ 3} [/mm] $ x [mm] 0,22^3 [/mm] x [mm] 0,78^3= [/mm]

[mm] \bruch{6!}{2! (6-2)!} [/mm] x [mm] 0,22^2 [/mm] x [mm] 0,78^4 [/mm]  + [mm] \bruch{6!}{3! (6-3)!} [/mm]  x [mm] 0,22^3 [/mm] x [mm] 0,78^3= [/mm]

15 x [mm] 0,22^2 [/mm] x [mm] 0,78^4 [/mm]  + 20  x [mm] 0,22^3 [/mm] x [mm] 0,78^3=0.36978990048 [/mm]



Antwort: Die Wahrscheinlichkeit dass der Spieler einen Trostpreis (und insbesondere keinen Riesengewinn) erzielt liegt bei 36,98 %

Grüße

Bezug
                        
Bezug
Wahrscheinlichkeitsrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:29 Mi 05.08.2015
Autor: huddel

Hey,

ich habs jetzt nicht in den Taschenrechner gehackt, wie gesagt, das bekommst du wahrscheinlich besser hin als ich, aber die Formeln die du aufestellt hast, stimmen. Damit sollte das eigentlich passen :)

LG

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