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| Aufgabe | | 11 Wissenschaftler wollen ihre Entdeckungen in einem Tresor mit mehreren Schlössern sicher verwahren. Der Tresor soll nur zu öffnen sein, wenn mindestens 6 Wissenschaftler mit ihren Schlüsseln anwesend sind. Wie viele Schlüssel muss jeder Wissenschaftler mindestens haben und wie viele Schlösser hat der Tresor (mindestens). |
Hallo ich bräuchte mal ein Tipp wie man die Aufgabe löst, ich habe keine ahnung wie ich da anfangen soll, weil da ja keine Warscheinlichkeiten gegeben sind und auch die Anzahl der Schlösser berechnet werden sollen.
Wäre schön, wenn jemand mal den kompletten rechenweg aufschreiben würde, ist sehr wichtig.
Gruß Flo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:57 Fr 13.06.2008 | | Autor: | aram |
Hallo Flo!
Ist das alles, was zu der Aufgabe an Info vorliegt?
Ich meine z.B. soll zu jedem Schloss auch nur ein konkreter Schlüssel passen, oder kann ein Schlüssel mehrere oder gar alle Schlösser öffnen? Werden die Schlösser nacheinander geöffnet oder müssen alle gleichzeitg aufgeschlossen werden?
Als Lösungsansatz würde ich so auf die schnelle sagen, dass mind. 11 Schlösser angebracht werden und dann muss jeder Wissenschaftler 2 Schlüssel haben muss, denn 5*2 < 11 < 6*2
Aber hier ist die Anforderung (mind.) für die Schlüssel nicht mit drin, den wenn jeder 3 hätte, dann wären 4 Wissenschaftler genug. Das ganze aber auch nur unter der Bedingung, dass es max. 2 verschiedene Schlösser A und B sind und jeder Schlüssel A das Schloss A öffnet.
So, weiter möchte ich mich jetzt nicht vertiefen.
Schau mal ob du noch ein paar Angaben zu der Aufgabe findest.
Mfg Aram
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:10 Fr 13.06.2008 | | Autor: | rabilein1 |
> Soll zu jedem Schloss auch nur ein konkreter Schlüssel passen?
> Werden die Schlösser alle gleichzeitg aufgeschlossen werden?
Genau so würde fasse ich das auf.
Das Problem liegt ja darin, dass man nicht weiß, welche 6 Wissenschaftler anwesend sind.
Allerdings irritiert mich, dass in der Aufgabe steht:
Wie viele Schlüssel muss jeder Wissenschaftler mindestens haben und wie viele Schlösser hat der Tresor (mindestens).
Man sollte die Anzahl der Schlösser des Tresors auf sechs festlegen, denn bei mehr als 6 Schlössern würde ein Wissenschaftler ja 2 Schlösser aufschließen müssen und bei weniger als 6 Schlössern würde ein Wissenschaftler gar kein Schloss aufschließen. Also gut: dann ist Teil 2 schon gelöst.
Wenn jeder der Wissenschaftler für jedes der Schlösser einen Schlüssel besitzt, dann werden 6 beliebige Wissenschaftler niemals ein Problem haben, den Tresor zu öffnen.
Aber geht es auch mit weniger Schlüsseln?? Mit 5? Bestimmt:
Wissenschafler A fehlt Schlüssel 1. Wissenschaflter B fehlt Schlüssel 2 etc.
Macht doch nichts. Es wird ja niemals einen Schlüssel geben, den keiner der Anwesenden hat.
Weiter mit: Jeder 4 Schlüssel (jedem fehlen 2 Schlüssel). Hmmm, wenn man da gut kombiniert, ginge das bestimmt auch.
Aber wenn jeder nur 3 Schlüssel hat, und egal welche 6 der 11 Wissenschaftler anwesend sind - immer muss der Tresor zu öffnen sein.
Wie viele Schlüssel-Kombinationen gibt es?
Wie viele Wissenschaftler-Kombinationen gibt es?
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Die Schlüssel bleiben nach dem aufschließen im Schloss, so wie die Spinte im Schwimmbad. Also wenn mindestens 6 Wissenschaftler anwesend sein sollen, finde ich die bemerkung, dass es 6 Schlösser gibt garnicht mal so schlecht das wäre ja schonmal ein anfang.
Gruß Flo
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Lösungsweg:
a)
Greife dir 5 beliebige Wissenschaftler heraus. Sie können den Tresor nicht öffnen. Also existiert für diese Gruppe - ich nenne sie Gruppe A - mindestens 1 Schloss A, zu dem keiner von A einen Schlüssel hat.
Nun kommt der Reihe nach immer einer der übrigen 6 - ich nenne sie "Rest" - vorbei und gesellt sich zur Gruppe A (und geht wieder, bevor der nächste kommt). Da es nun jeweils 6 Personen sind (Gruppe A + ein Rest-Wissenschaftler), kann jedes Mal der Tresor geöffnet werden. Also muss jeder der 6 Rest-Wissenschaftler einen Schlüssel für dieses Schloss A haben.
b) Bilde nun eine andere 5-köpfige Gruppe B. Auch sie kann den Tresor nicht öffnen. Also gibt es auch für sie ein Schloss, zu dem keiner der 5 einen Schlüssel hat. Dies kann aber nicht Schloss A sein, denn die neue Gruppe enthält mindestens einen der oben so bezeichneten Rest-Wissenschaftler, und die hatten ja alle einen Schlüssel für Schloss A. Also gibt es für diese Gruppe B - selbst wenn man nur eine Person ausgetauscht hat - ein eigenes Schloss B, zu dem keiner der 5 einen Schlüssel hat. Die 6 Wissenschaftler, die nicht zu B gehören, müssen alle wieder einen B-Schlüssel haben, denn wenn einer von ihnen sich zur Gruppe B gesellt, geht der Tresor zu öffnen...
c)
Nun wird klar: Es gibt (mindestens) so viele verschiedene Schlösser, wie es verschiedene 5-er-Gruppen gibt, also [mm] \vektor{11 \\ 5}=462 [/mm] Schösser.
Zu jedem dieser Schlösser gibt es 6 Schlüssel, somit 2772 Schlüssel.
Natürlich kann man jetzt noch beliebig viele Schlösser anbringen und allen alle Schlüssel für die Zusatzschlösser geben. Deshalb heißt es in der Aufgabe "mindestens".
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:06 Sa 14.06.2008 | | Autor: | rabilein1 |
> Nun wird klar: Es gibt (mindestens) 462 Schlösser und 2772 Schlüssel
Wie du das gerechnet hast, ist mir klar, und auch deine Logik, die dahinter steckt, kann ich irgendwie nachvollziehen. Aber nun verwirrt mich das Ergebnis: Dass da riesige Zahlen rauskommen.
Ich hatte ja vorher gesagt, dass es 6 Schlösser sind (das hatte ich festgelegt) und dass dann etwa 3 oder 4 verschiedene Schlüssel genügen sollten.
Also müssen wir die Aufgabe als solche unterschiedlich aufgefasst haben.
Aber wo liegt dieser Unterschied?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:24 Sa 14.06.2008 | | Autor: | rabilein1 |
Ich denke, HJK weseleit, du hast Recht.
Ich hatte nur berücksichtigt, dass der Tresor von 6 Wissenschaftlern auf jeden Fall geöffnet werden können muss. Aber nicht, dass er von 5 Wissenschaftlern auf keinen Fall geöffnet werden darf.
Wenn du jetzt noch die 2772 Schlüssel durch die 11 Wissenschaftler dividierst, dann kannst du auch die Frage beantworten, wie viele Schlüssel jeder Wissenschaftler bei sich haben muss.
Als nächstes (Zusatz-)Problem ergibt sich jetzt allerdings:
Wenn jetzt die 6 Wissenschaftler mit all ihren Schlüsseln vor dem Tresor stehen, woher weiß dann jeder von ihnen, welchen Schlüssel er benutzen muss?????
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Von den Wissenschaftlern, die vorm Tresor stehen, stellen sich 6 der Reihe nach auf. Natürlich haben alle Schlösser eine Nummer und die Schlüssel jeweils die Nummer des dazugehörigen Schlosses.
Unsere Wissenschatler haben alle ihre jeweils 252 Schlüssel geordnet, damit es schneller geht.
Der erste steckt alle seine 252 Schlüssel in die 252 Schlösser. Der nächste guckt alle seine Schlüssel der Reihe nach durch und steckt immer dann, wenn das betreffende Schloss noch keinen Schlüssel hat, seinen hinein. Die nächsten vier verfahren wie Nummer 2. Der letzte braucht übrigends nur noch einen Schlüssel einzustecken (warum?).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:03 So 15.06.2008 | | Autor: | rabilein1 |
Ja, jetzt ist mir auch völlig klar, wie die Aufgabe gemeint ist.
Ich ging ursprünglich immer davon aus, dass jeder Wissenschaftler GENAU EINEN Schlüssel benutzen sollte.
Aber in diesem Falle - das gebe ich (ausnahmsweise) zu - war die Aufgabe eindeutig formuliert, und ich habe sie schlecht gelesen.
Wenn man sie aber erst einmal richtig interpretiert, dann ist deine Lösung folgerichtig, HJKweseleit.
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Zusatzbemerkung: Man kann sogar genau angeben, wieviele Schlüssel noch jeweils fehlen.
Es sind 462 Schlösser, jeder einzelne hat 252 Schlüssel, ihm fehlen also 210 Schlüssel.
Anders: In wieviel 5-er-Gruppen ist der erste Wissenschaftler, der die Schlösser öffnen will?
Außer ihm sucht man noch 4 weitere, also gibt es dafür [mm] \vektor{10 \\ 4}=210 [/mm] Möglichkeiten. Weil er Mitglied in 210 5-er-Gruppen ist, fehlen ihm die Schlüssel zu 210 Schlössern.
Nachdem der erste seine 252 Schlösser geöffnet hat, fragt sich, wieviele der zweite noch öffnen kann. In wieviel 5-er-Gruppen sind der erste und der zweite gemeinsam? Zu ihnen sucht man noch 3 weitere, also gibt es [mm] \vektor{9 \\ 3}= [/mm] 84 Möglichkeiten. Weil beide Mitglied in 84 5-er-Gruppen sind, fehlen ihnen gemeinsam die Schlüssel zu 84 Schlössern. Der zweite kann somit 210-84=126 weitere Schlösser öffnen.
Nachdem diese nun 462-84=378 Schlösser geöffnet haben, fragt sich, wieviele der dritte noch öffnen kann. In wieviel 5-er-Gruppen sind die ersten drei gemeinsam? Zu ihnen sucht man noch 2 weitere, also gibt es [mm] \vektor{8 \\ 2}= [/mm] 28 Möglichkeiten. Weil beide Mitglied in 28 5-er-Gruppen sind, fehlen ihnen gemeinsam die Schlüssel zu 28 Schlössern. Der dritte kann somit 84-28=56 weitere Schlösser öffnen.
Nachdem diese nun 462-28=434 Schlösser geöffnet haben, fragt sich, wieviele der vierte noch öffnen kann. In wieviel 5-er-Gruppen sind die ersten vier gemeinsam? Zu ihnen sucht man noch 1 weiteren, also gibt es [mm] \vektor{7 \\ 1}= [/mm] 7 Möglichkeiten. Weil beide Mitglied in 7 5-er-Gruppen sind, fehlen ihnen gemeinsam die Schlüssel zu 7 Schlössern. Der vierte kann somit 28-7=21 weitere Schlösser öffnen.
Nachdem diese nun 462-7=455 Schlösser geöffnet haben, fragt sich, wieviele der fünfte noch öffnen kann. In wieviel 5-er-Gruppen sind die ersten fünf gemeinsam? Nur in einer (diese Überlegung war ja der "Schlüssel" zur Lösung des Problems), und deshalb fehlen ihnen gemeinsam die Schlüssel zu 1 Schloss. Der fünfte kann somit 7-1=6 weitere Schlösser öffnen, nur noch 1 Schloss fehlt.
Die Wissenschafler öffnen also der Reihe nach 252, 126, 56, 21, 6 und 1 Schloss/Schlösser.
Damit ist die Aufgabe (hoffentlich) mathematisch ausgelutscht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:26 Mo 16.06.2008 | | Autor: | rabilein1 |
> Die Wissenschafler öffnen also der Reihe nach 252, 126, 56,
> 21, 6 und 1 Schloss/Schlösser.
>
> Damit ist die Aufgabe (hoffentlich) mathematisch ausgelutscht.
>
Das ist aber doch unrationell und auch ungerecht, wenn der eine Wissenschaftler 252 Schlösser öffnet, während ein anderer nur ein einziges Schloss zu öffnen braucht.
Meine Frage
Da es 462 Schlösser gibt und 6 Wissenschaftler (mit je 252 Schlüsseln), kann da nicht jeder von ihnen 77 Schlösser öffnen?
Meine Überlegung ist, dass derjenige mit dem einen Schlüssel doch auch teilweise dieselben Schlüssel hat wie derjenige, der die 252 Schlösser öffnen muss.
Und so war meine Ursprungsfrage gedacht: Wie wäre das zu koordinieren?
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So geht es aber am schnellsten: Jeder, der dran ist, schließt so viele Schlösser auf, wie er kann.
Versuchen wir mal, jeden auf 77 Schlösser festzulegen.
Jeder der 6 W. hat einen Schlüssel, den die anderen nicht besitzen und den er in Folge dessen benutzen muss. Allein die Feststellung, welcher das wohl ist, verlangt, dass jeder der 6 den anderen laut alle Schlüsselnummern vorliest, von den anderen dann gesagt bekommt, ob sie den auch haben, bis er zu seinem "Solo"-Schlüssel kommt. Und das 6 mal. Danach haben wir erst 6 von 462 Schlösser auf. Völlig unklar ist, wie es dann weiter gehen soll.
Also versuchen wir es anders: Alle W. beginnen gleichzeitig, mit ihren Schlüsseln irgendwelche noch geschlossene Schlösser zu öffnen, aber maximal 77 Stück. Mit allergrößter Wahrscheinlichkeit bleiben dann ein paar Schlösser ungeöffnet, weil z.B. W. A seinen "Solo"-Schlüssel (der ihm selber gar nicht bekannt ist, weil der ja von der Gruppenzusammensetzung abhängt) noch gar nicht benutzt hat, aber schon 77 Schlösser geöffnet hat. Dafür kann vielleicht B keine Schlösser mehr öffnen, obwohl er nur 29 geöffnet hat, weil die Restschlüssel nur in schon geöffnete Schlösser passen.
Natürlich haben unsere Freunde ihre Schlüssel farblich markiert und wissen, welcher wem gehört. Nun kann man so vorgehen: (*)Zu einem noch geschlossenen Schloss wird gefragt, wer es öffnen kann. Natürlich jemand, der schon 77 Schlüssel "verbraucht" hat, denn ein anderer würde es ja ohne zu fragen sofort öffnen. Von diesen öffnet nun einer das neue Schloss mit seinem 78. Schlüssel.
Daraufhin startet er folgendes Verfahren:
Er tippt auf einen seiner "alten" 77 Schlüssel und fragt, wer auch so einen hat.
a) Es antwortet (auch) jemand, der noch keine 77 Schlüssel untergebracht hat. Dann schließt unser Freund das Schloss wieder ab und hat jetzt wieder 77 Schlösser geöffnet. Der Beantworter öffnet das Schloss und hat nun einen weiteren Schlüssel untergebracht. Sind noch weitere Schlösser zu, geht man wieder zu (*).
b) Es antwortet niemand. Dann ist dies sein "Solo"-Schlüssel, und er fragt nach dem nächsten.
c) Es antworten nur Kandidaten, die schon 77 Schlösser geöffnet haben. Dann sucht er sich den nächsten von seinen 77 "alten" Schlüssel aus und hofft, dass irgendwann der Fall a) eintritt.
Melden sich immer nur Kandidaten, die schon 77 Schlösser geöffnet haben, so schließt unser Freund dann doch eines dieser Schlösser wieder ab, hat dann nur 77 geöffnet und überlässt einem anderen "77"-er, das Schloss wieder aufzuschließen. Nun hat dieser 78 Schlösser geöffnet und übernimmt die Rolle seines Vorgängers.
Schon ein paar Monate später sind so alle Schlösser geöffnet, wobei jeder am Ende nur 77 Schlüssel im Einsatz hat, zwischendurch aber vielleicht ein paar Tausend unnötige Schließereien abliefen, und die Gerechtigkeit hat mal wieder die Dummheit und die Zeit besiegt...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:52 Mi 18.06.2008 | | Autor: | rabilein1 |
> Schon ein paar Monate später sind so alle Schlösser
> geöffnet, wobei jeder am Ende nur 77 Schlüssel im Einsatz hat...
Na also - geht doch. Es ist also grundsätzlich möglich.
Diese Aufgabe zeigt mal wieder, dass es bereits in einem so "kleinen" Zahlenbereich (11 Wissenschaftler, von denen nur 6 anwesend sein müssen) schon unglaublich kompliziert zugehen kann.
Um das Ganze von "ein paar Monaten" auf "ein paar Stunden" zu reduzieren, würden wohl "6 Schüler, von denen nur 4 anwesend sein müssen" genügen. Jeder Schüler muss die gleiche Anzahl von Schlössern öffnen.
Das kannst du dann ja mal mit deinen Schülern im Mathe-Unterricht durchexerzieren. Ich denke, dass solche Knobel-Aufgaben den Schülern mehr Spaß machen, als der oftmals trockene Unterricht.
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