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| Aufgabe | | Intelligenztests sind idR so konstruiert, dass die IQ-Punkte angenähert einer Normalverteilung folgen. Bei einem bestimmten Test sind die Parameter µ = 100 und σ² = 100. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jemand einen IQ hat, der größer als 90 und kleiner als 130 ist? (dimensionslos, auf 4 Dezimalstellen) |
Hallo!
Ich kenne mich bei der Aufgabe überhaupt nicht aus.
Ich hab das so angeschrieben:
P(130<X>90) = (X-100)/10
Irgendwie kommt mir das aber total falsch vor...
Was meint ihr dazu?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:13 Fr 12.06.2009 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Tag,
man benutzt die sogenannte Standardnormalverteilumg,
das ist die Normalverteilung mit Mittelwert 0 und Varianz 1.
Um das tun zu können,
muß man die gebenen Werte umrechnen ("transformieren");
aus "X wird Z" nach folgenden Formeln:
$$Z= [mm] (X-\mu)/\sigma$$
[/mm]
D.h.
90 wird zu (90-100)/10 = 9-10 = -1
und
130 wird zu (130 - 100)/10 = 13 -10 = 3
Nun sucht man in einer Tabelle der Standardnormalverteilung den Wert, der zu 3 gehört (ich kriege 0,99865 ) und zieht davon den Wert von -1 (1-0,84134) ab.
Das Ergebnis
( 0.83999 also rund 84% )
ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit.
Schönen Gruß
Karsten
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Hey, Karsten!
Vielen Dank.
Müsste man aber nicht noch die Wurzel aus 100 ziehen, weil wir ja Sigma quadriert gegeben haben?
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:48 Fr 12.06.2009 | | Autor: | karma |
Erwischt!
Klar,
[mm] $$\sigma$$
[/mm]
ist die Standardabweichung
[mm] $$\sigma^2$$
[/mm]
ist die Varianz.
Also:
Varianz=100, dann ist die Standardabweichung 10.
Schönen Gruß
Karsten
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:50 Fr 12.06.2009 | | Autor: | Justus1864 |
Erwischt? Nein, darum geht's nicht.
Ist doch gut, wenn BEIDE mitdenken.
Du hast mir sehr geholfen, weil ich jetzt den Aufgabentyp verstehe....hab aber eh noch eine Frage gepostet. 
Herzlichen Dank dir!
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| Aufgabe | | Intelligenztests sind idR so konstruiert, dass die IQ-Punkte angenähert einer Normalverteilung folgen. Bei einem bestimmten Test sind die Parameter µ = 100 und σ² = 100. Genau 84% haben daher einen IQ von kleiner als ...? (auf ganze Zahlen) |
Ist das dann so zu rechnen, dass (Z-100)/10=0.84 auf Z aufgelöst werden soll?
Z=108.4
ERGÄNZUNGSFRAGE:
Wie rechnet man, wenn man etwas größer als berechnen soll - etwa: genau 5.59% haben einen IQ von größer als ...?
(Z-100)/10=0.9441 auf Z ergibt 109.4
Kann man hier bei der Normalverteilung X> und X>= geleichstellen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:17 Fr 12.06.2009 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Tag,
zuerst holt man sich das sogenannte Quantil der
Standrdnormalverteilung,
daß 84% eintspricht.
Man schaut also in der Tabelle der Standardveteilung nach,
bei welchen z(!) Wert 84% erreicht werden.
Die Antwort mithilfe einer Tabelle ist nicht sehr genau,
meine Tabelle gibt mir
$$ z [mm] \sim [/mm] 1 $$.
Jetzt transformiere ich das z in x zurück,
d.h. ich multiplizere es mit der Standardabweichung und addiere den Mittelwert dazu:
X= 1 * 10 + 100 =110.
Also haben rund 84% der Leute einen IQ von höchstens 110.
Schönen Gruß
Karsten
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Danke, Karsten!
Ist mein Rechenweg über die Gleichung und dem Ergebnis 108.4 nicht genauer?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 So 14.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Ist mein Rechenweg über die Gleichung und dem Ergebnis
> 108.4 nicht genauer?
siehe da: https://matheraum.de/read?i=565728
Gruß
Al-Chw.
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> Intelligenztests sind idR so konstruiert, dass die
> IQ-Punkte angenähert einer Normalverteilung folgen. Bei
> einem bestimmten Test sind die Parameter µ = 100 und
> σ² = 100. Genau 84% haben daher einen IQ von kleiner
> als ...? (auf ganze Zahlen)
> Ist das dann so zu rechnen, dass (Z-100)/10=0.84 auf Z
> aufgelöst werden soll? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das ist falsch, obwohl dein Ergebnis > Z=108.4
ungefähr stimmt. Mach dieselbe Rechnung einmal
statt mit 84% mit 0% und überlege dir, was das
entstehende Resultat bedeuten würde !
Karma hat den richtigen Lösungsweg gezeigt.
>
> ERGÄNZUNGSFRAGE:
> Wie rechnet man, wenn man etwas größer als berechnen soll
> - etwa: genau 5.59% haben einen IQ von größer als ...?
> (Z-100)/10=0.9441 auf Z ergibt 109.4
"5.59% mit IQ > X" ist äquivalent zu "94.41% mit IQ [mm] \le [/mm] X",
also P(IQ [mm] \le [/mm] X)=0.9441
Aus der Tabelle entnimmt man den dazu gehörigen Z-Wert
Z=1.59 und berechnet daraus [mm] X=\mu+Z*\sigma=100+1.59*10=115.9
[/mm]
>
> Kann man hier bei der Normalverteilung X> und X>=
> gleichstellen?
Falls es sich bei X um eine stetige normalverteilte
Zufallsgröße handelt, ja, weil dann [mm] P(X=X_0)=0 [/mm] ist.
Bei diskreten Zufallsgrössen (z.B. nur mit ganzzahli-
gen Werten ist ev. die sog. "Stetigkeitskorrektur" zu
berücksichtigen.
Da der IQ üblicherweise als ganze Zahl angegeben
wird, sollte man wohl in der vorliegenden Aufgabe
die Ergebnisse entsprechend runden.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:53 Fr 12.06.2009 | | Autor: | rabilein1 |
Ohne irgend etwas gerechnet zu haben:
> Das Ergebnis (0,61791 - 0.46017 = 0.15774) ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit.
Das glaube ich nicht. Das würde ja heißen, dass 85% der Menschen super-intelligent oder minderbegabt sind.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:55 Fr 12.06.2009 | | Autor: | Justus1864 |
Danke, das haben wir schon geklärt.
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Wie schaut denn das aus, wenn man die Wahrscheinlichkeit für zwischen IQ von 130 und IQ von 120 berechnen soll?
Wäre das dann "3" (0,9987) - "2" (0.9772)?
Oder wäre das dann "3" (0.9987) - "1 - 0.9772" = 0.9987-0.0228
Ich check das einfach nicht, wie man sich das vorstellen muss....
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> Wie schaut denn das aus, wenn man die Wahrscheinlichkeit
> für zwischen IQ von 130 und IQ von 120 berechnen soll?
>
> Wäre das dann "3" (0,9987) - "2" (0.9772)?
>
> Oder wäre das dann "3" (0.9987) - "1 - 0.9772" =
> 0.9987-0.0228
Ich unterstelle jetzt mal:
99.87% sind weniger intelligent als IQ von 130
97.72% sind weniger intelligent als IQ von 120
Dann haben 99.87% minus 97.72% = 2.15% einen IQ zwischen 120 und 130
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Danke.
Sind die Prozentzahlen eigentlich immer am Erwartungswert (Mü) gemessen, oder wirklich von 0-120 bzw. von 0-130?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:24 Mo 22.06.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> Sind die Prozentzahlen eigentlich immer am Erwartungswert
> (Mü) gemessen, oder wirklich von 0-120 bzw. von 0-130?
Ich weiß nicht, wo du die Zahlen her hattest (vermutlich aus irgend einer Tabelle).
Mir schien es jedenfalls plausibel, dass es sich dabei um die Prozentzahlen von 0-120 bzw. von 0-130 handelte.
Mach die Probe aufs Exempel: Von 0-100 müsste sich 50% ergeben (die eine Hälfte ist "dümmer" und die andere Hälfte ist "schlauer" als der Durchschnitt.
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> Sind die Prozentzahlen eigentlich immer am Erwartungswert
> (Mü) gemessen, oder wirklich von 0-120 bzw. von 0-130?
Hallo Justus,
diese Frage scheint mir recht unklar.
Bei den Prozentzahlen handelt es sich um Prozentanteile
der Bevölkerung mit einem IQ unterhalb einer bestimmten
Obergrenze, also z.B.:
$\ P( 0 [mm] \le [/mm] IQ < 120 [mm] )\approx [/mm] 0.9773 = 97.73$%
$\ P( 0 [mm] \le [/mm] IQ < 130 [mm] )\approx [/mm] 0.9987 = 99.87$%
Folglich
$\ P( [mm] 120\le [/mm] IQ < 130 [mm] )\approx [/mm] 0.9987-0.9773=0.0214=2.14$%
Dies würde bedeuten (unter den gegebenen Annahmen),
dass man in einer Stichprobe von 10000 Menschen im
Durchschnitt etwa 214 mit einem IQ im Intervall von
120 bis 130 finden würde.
Für eine "genauere" Rechnung - falls dies bei den doch
ziemlich "wackligen" Grundlagen derartiger Tests über-
haupt Sinn macht, könnte man so rechnen:
$\ [mm] P(120\le [/mm] IQ [mm] \le 130)=\summe_{i=120}^{130}P(IQ=i)$ [/mm] = ?
Um die "Stetigkeitskorrektur" einzubeziehen, nimmt
man nun für die Integration nicht das Intervall [120....130],
sondern [119.5 .... 130.5] und erhält
$\ X=119.5 ---> Z=1.95 ---> P=0.9744$
$\ X=130.5 ---> Z=3.05 ---> P=0.9989$
und demzufolge $\ [mm] P(120\le [/mm] IQ [mm] \le 130)\approx [/mm] 0.0245 =2.45$%
Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:40 Mo 22.06.2009 | | Autor: | moudi |
Hallo zusammen
Eine kleine Anmerkung zur Standardabweichung von IQ-Tests. Normalerweise werden IQ-Test so normiert, dass eine Standardabweichung 15 IQ Punkten entspricht und nicht 10. IQ 130 heisst daher zwei Standardabweichungen besser als der Durchschnitt.
mfG Moudi
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"Intelligenztests sind idR so konstruiert, dass die
IQ-Punkte angenähert einer Normalverteilung folgen."
Das glaube ich nicht. Man kann irgendeinen beliebigen
Test mit z.B. 100 Fragen zusammenstellen, ihn mit
1000 Personen durchführen und dann eine statistische
Auswertung machen. Es wird sich ganz "von selbst"
angenähert eine Normalverteilung ergeben. Eine
bewusste "Konstruktion", um eine Normalverteilung
zu erhalten, ist also überhaupt nicht notwendig.
Dies ist das Thema des so genannten "Zentralen Grenz-
wertsatzes":
Zentraler Grenzwertsatz (vereinfachte Formulierung)
Eine Summe von sehr vielen unabhängigen Zufallsvariablen
ist unter der Voraussetzung, dass jede der unabhängigen
Zufallsvariablen nur einen geringen Einfluss auf die Summe
hat, angenähert normalverteilt.
A.M. Ljapunoff (1857 - 1918)
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