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Forum "Wahrscheinlichkeitsrechnung" - Wahrscheinlichkeitsverteilung
Wahrscheinlichkeitsverteilung < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Wahrscheinlichkeitsverteilung: n berechnen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:32 Mi 03.03.2021
Autor: wolfgangmax

Aufgabe
Wie oft muss man mindestens würfeln, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% eine Sechs gewürfelt wird




Meine Überlegungen:
"eine Sechs würfeln" bedeutet: keine 1,2 bis 5 (incl)
also: p = 5/6
"mindestens 99 %" bedeutet: größer gleich 99 %
"eine" Sechs bedeutet: k = 1
Das Gegenereignis: Wie oft muss ich würfeln, um mit einer Wahrscheilichkeit von höchsten 1 % (= 0,01) einmal eine Sechs zu würfeln.
P(X=1)>=0,99
Lösung mit TI nspire CX
Gegenereignis: P(X=1)<=0,01 invBinomN(5/6;1)
GTR wirf 5 aus.
Eine Kontrolle mit n=5 p=5/6 und k=1 (binomPdf(5;5/6;1 ergibt 0,003215
Das Ergebnis scheint mir nicht richtig zu sein. Wo steckt ein (Gedanken-)Fehler)?
Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen
wolfgangmax
               

        
Bezug
Wahrscheinlichkeitsverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:55 Mi 03.03.2021
Autor: statler


> <br>
>  Wie oft muss man mindestens würfeln, damit mit einer
> Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% eine Sechs gewürfelt
> wird
>  

Hi!

> <br>Meine Überlegungen:
>  "eine Sechs würfeln" bedeutet: keine 1,2 bis 5 (incl)
>  also: p = 5/6
>  "mindestens 99 %" bedeutet: größer gleich 99 %
>  "eine" Sechs bedeutet: k = 1

>  Das Gegenereignis: Wie oft muss ich würfeln, um mit einer
> Wahrscheilichkeit von höchsten 1 % (= 0,01) einmal eine
> Sechs zu würfeln.

Hier steckt der Fehler! Das Gegenereignis ist 'keine Sechs'! Und für die Berechnung brauchst du genau genommen keine Binomialverteilung. Für n = 1 ist die Gegenw. 5/6, für n = 2 ist sie [mm] (5/6)^2 [/mm] usw.
Die Bestimmungsgleichung für n ist also
[mm] $(\frac{5}{6})^{n} \le [/mm] 0,01$

>  P(X=1)>=0,99
>  Lösung mit TI nspire CX
>  Gegenereignis: P(X=1)<=0,01 invBinomN(5/6;1)
>  GTR wirf 5 aus.
>  Eine Kontrolle mit n=5 p=5/6 und k=1 (binomPdf(5;5/6;1
> ergibt 0,003215
>  Das Ergebnis scheint mir nicht richtig zu sein. Wo steckt
> ein (Gedanken-)Fehler)?
>  Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen

Gruß Dieter

Bezug
        
Bezug
Wahrscheinlichkeitsverteilung: n berechnen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:10 Do 04.03.2021
Autor: wolfgangmax

Aufgabe
<br>
Wie oft muss man wenigstens würfeln, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% drei Zahlen unter 6 gewürfelt werden
 



<br>Meine Überlegungen:
n (Anzahl der Würfe) gesucht; p = 5/6
Wahrscheinlichkeit von mindestens 99%: P >= 0,99
Treffer "3 Zahlen unter 6": 1,2,3 /2,3,4 / 3,4,5 /1,3,4 / 1,4,5/ 2,4,5 /1,2,4 /1,2,5 /1,3,5 /
gilt auch: 1,1,1 ,2,2,2 usw? die Aufgabe schließt dies nicht aus
Mir ist vollkommen schleierhaft, wie groß k sein soll! Daher finde ich auch keinen Ansatz.
Ich wäre froh über eine hilfreiche Antwort
Mit freundlichen Grüßen
Wolfgangmax
 

Bezug
                
Bezug
Wahrscheinlichkeitsverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:07 Do 04.03.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

du hast doch schon alles wesentliche aufgeschrieben:

Es ist $p = [mm] \frac{5}{6}$, [/mm] damit $q = [mm] \frac{1}{6}$ [/mm]

Die Wahrscheinlichkeit von k Zahlen unter 6 bei n Würfen ist dann gerade

[mm] $p_k [/mm] = [mm] \vektor{n \\ k} p^k q^{n-k}$ [/mm]

Die Wahrscheinlicheit für (mindestens) drei Zahlen unter 6 ist dann [mm] $\sum_{k = 3}^n p_k [/mm] = 1 - [mm] \sum_{k=0}^2 p_k$ [/mm]

D.h. es ist zu lösen: $1 - [mm] \sum_{k=0}^2 p_k \ge [/mm] 0.99 [mm] \iff [/mm] 0.01 [mm] \ge q^n [/mm] + [mm] npq^{n-1} [/mm] + [mm] \frac{n(n-1)}{2}p^2q^{n-2} \iff n\ge [/mm] 6$

Die Wahrscheinlichkeit für (exakt) drei Zahlen unter 6 ist  [mm] $\vektor{n \\ 3} p^3 q^{n-3}$ [/mm] und überschreitet nie 99%

Gruß,
Gono

Bezug
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