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| Aufgabe | | Wie oft muss man mindestens würfeln, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% eine Sechs gewürfelt wird |
Meine Überlegungen:
"eine Sechs würfeln" bedeutet: keine 1,2 bis 5 (incl)
also: p = 5/6
"mindestens 99 %" bedeutet: größer gleich 99 %
"eine" Sechs bedeutet: k = 1
Das Gegenereignis: Wie oft muss ich würfeln, um mit einer Wahrscheilichkeit von höchsten 1 % (= 0,01) einmal eine Sechs zu würfeln.
P(X=1)>=0,99
Lösung mit TI nspire CX
Gegenereignis: P(X=1)<=0,01 invBinomN(5/6;1)
GTR wirf 5 aus.
Eine Kontrolle mit n=5 p=5/6 und k=1 (binomPdf(5;5/6;1 ergibt 0,003215
Das Ergebnis scheint mir nicht richtig zu sein. Wo steckt ein (Gedanken-)Fehler)?
Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen
wolfgangmax
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:55 Mi 03.03.2021 | | Autor: | statler |
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> Wie oft muss man mindestens würfeln, damit mit einer
> Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% eine Sechs gewürfelt
> wird
>
Hi!
> <br>Meine Überlegungen:
> "eine Sechs würfeln" bedeutet: keine 1,2 bis 5 (incl)
> also: p = 5/6
> "mindestens 99 %" bedeutet: größer gleich 99 %
> "eine" Sechs bedeutet: k = 1
> Das Gegenereignis: Wie oft muss ich würfeln, um mit einer
> Wahrscheilichkeit von höchsten 1 % (= 0,01) einmal eine
> Sechs zu würfeln.
Hier steckt der Fehler! Das Gegenereignis ist 'keine Sechs'! Und für die Berechnung brauchst du genau genommen keine Binomialverteilung. Für n = 1 ist die Gegenw. 5/6, für n = 2 ist sie [mm] (5/6)^2 [/mm] usw.
Die Bestimmungsgleichung für n ist also
[mm] $(\frac{5}{6})^{n} \le [/mm] 0,01$
> P(X=1)>=0,99
> Lösung mit TI nspire CX
> Gegenereignis: P(X=1)<=0,01 invBinomN(5/6;1)
> GTR wirf 5 aus.
> Eine Kontrolle mit n=5 p=5/6 und k=1 (binomPdf(5;5/6;1
> ergibt 0,003215
> Das Ergebnis scheint mir nicht richtig zu sein. Wo steckt
> ein (Gedanken-)Fehler)?
> Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen
Gruß Dieter
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| Aufgabe | <br>
Wie oft muss man wenigstens würfeln, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% drei Zahlen unter 6 gewürfelt werden
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<br>Meine Überlegungen:
n (Anzahl der Würfe) gesucht; p = 5/6
Wahrscheinlichkeit von mindestens 99%: P >= 0,99
Treffer "3 Zahlen unter 6": 1,2,3 /2,3,4 / 3,4,5 /1,3,4 / 1,4,5/ 2,4,5 /1,2,4 /1,2,5 /1,3,5 /
gilt auch: 1,1,1 ,2,2,2 usw? die Aufgabe schließt dies nicht aus
Mir ist vollkommen schleierhaft, wie groß k sein soll! Daher finde ich auch keinen Ansatz.
Ich wäre froh über eine hilfreiche Antwort
Mit freundlichen Grüßen
Wolfgangmax
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Hiho,
du hast doch schon alles wesentliche aufgeschrieben:
Es ist $p = [mm] \frac{5}{6}$, [/mm] damit $q = [mm] \frac{1}{6}$ [/mm]
Die Wahrscheinlichkeit von k Zahlen unter 6 bei n Würfen ist dann gerade
[mm] $p_k [/mm] = [mm] \vektor{n \\ k} p^k q^{n-k}$
[/mm]
Die Wahrscheinlicheit für (mindestens) drei Zahlen unter 6 ist dann [mm] $\sum_{k = 3}^n p_k [/mm] = 1 - [mm] \sum_{k=0}^2 p_k$
[/mm]
D.h. es ist zu lösen: $1 - [mm] \sum_{k=0}^2 p_k \ge [/mm] 0.99 [mm] \iff [/mm] 0.01 [mm] \ge q^n [/mm] + [mm] npq^{n-1} [/mm] + [mm] \frac{n(n-1)}{2}p^2q^{n-2} \iff n\ge [/mm] 6$
Die Wahrscheinlichkeit für (exakt) drei Zahlen unter 6 ist [mm] $\vektor{n \\ 3} p^3 q^{n-3}$ [/mm] und überschreitet nie 99%
Gruß,
Gono
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