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| Aufgabe | Es sei X eine diskrete Zufallsvariable mit den Werten k=0,1,... und P(X [mm] \ge [/mm] k+1 | X [mm] \ge [/mm] k)=P(X [mm] \ge [/mm] 1) für alle k [mm] \in \IN [/mm] . Es sei bekannt, dass [mm] P(X=0)=p_{0}=\bruch{1}{3} [/mm] ist. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung [mm] p_{k} [/mm] von X.
Hinweis:
Bestimmen Sie zuerst die Wahrscheinlichkeiten P(X [mm] \ge [/mm] k): Sie erhalten aus der Gleichung oben eine Beziehung der Form [mm] p_{k+1}=p_{1}*p_{k}. [/mm] Das bedeutet aber, dass die [mm] p_{k} [/mm] eine geometrische Folge bilden. |
Bisher bin ich so weit gekommen:
Die Gleichung von oben ist wenn man das auflöst:
P(X [mm] \ge [/mm] k+1)=P(X [mm] \ge [/mm] 1)*P(X [mm] \ge [/mm] k)
Da [mm] p_{k+1}=p_{1}*p_{k} [/mm] und [mm] p_{k+2}=p_{1}*p_{k+1}=p_{1}*p_{1}*p_{k} [/mm] usw. ist, dann muss gelten:
[mm] \summe_{i=0}^{\infty}p_{0}*(p_{1})^{i}=1
[/mm]
Also [mm] \bruch{1/3}{1-p_{1}}=1
[/mm]
Also [mm] p_{1}=\bruch{2}{3}
[/mm]
Also müsste [mm] p_{2}=p_{1}*p_{1}=\bruch{4}{9} [/mm] sein, aber:
[mm] p_{k}=\bruch{1}{3}*( \bruch{2}{3})^{k} [/mm] und somit [mm] \bruch{4}{27}
[/mm]
Wo liegt denn mein Fehler???
Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Fr 18.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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