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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:38 Di 11.10.2011 | | Autor: | Mathics |
| Aufgabe | A und B vereinbaren, eine Münze so lange zu werfen, bis Wappen erscheint, maximal jedoch fünf mal. A zahlt an B für jeden notwendigen Wurf 1€. Ist nach dem 5. Wurf noch kein Wappen gefallen, muss A an B den Betrag von 7€ bezahlen.
a) Zeichnen Sie ein Baumdiagramm und bestimmen Sie die Verteilung der Zufallsgröße X: Betrag (in €), den A an B zahlen muss und deren Erwartungswert.
b) Untersuchen Sie, wie groß der Einsatz von B sein muss, damit die Spielregel fair ist. |
Hallo,
a) das Baumdiagramm müsste so aussehen: http://imageshack.us/f/690/37127401.png/
Und die Wahrscheinlichkeit für Kopf oder Zahl lautet immer 1/2.
Aber wie berechnen ich jetzt wie viel er zahlen muss?
Ich hab mir das so überlegt:
Dass A an B 12€ zahlen muss beträgt 0,03125. (weil: [mm] 0,5^5 [/mm] bzw. alle Z Pfade addiert)
Nach dem Schema auch den Rest:
1€ = 0,5
2€ = 0,25
3€ = 0,125
4€ = 0,0625
5€ = 0,03125
E(x) ist dann 2,15625.
b) Damit es fair sollte der Einsatz von B also 2€ sein,
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:04 Di 11.10.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
sieht alles richtig aus.
> b) Damit es fair sollte der Einsatz von B also 2€ sein,
gibt's einen Grund, daß es nicht der exakte EW sein soll? Wenn B an A für jedes Spiel 2€ zahlt, macht B im Durchschnitt pro Spiel fast 16 cent Gewinn. Das summiert sich auch, wenn es genügend Spiele sind.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:05 Mi 12.10.2011 | | Autor: | Mathics |
> gibt's einen Grund, daß es nicht der exakte EW sein soll?
> Wenn B an A für jedes Spiel 2€ zahlt, macht B im
> Durchschnitt pro Spiel fast 16 cent Gewinn. Das summiert
> sich auch, wenn es genügend Spiele sind.
Ja, es sollte der genaue E(X)-Wert sein. Hast Recht!
Aber mir ist grad aufgefallen, dass meine Zahlen doch nicht stimmen können.
Denn:
Folgende Wahrscheinlichkeiten habe ja zuvor rausbekommen:
Ich hab mir das so überlegt:
Dass A an B 12€ zahlen muss beträgt 0,03125. (weil: bzw. alle Z Pfade addiert)
Nach dem Schema auch den Rest:
1€ = 0,5 (Zahl) aber es kann auch Wappen vorkommen und deswegen ist die Wahrscheinlichkeit dich 0,5+0,5 = 1. 1€ muss er ja sowieso Zahlen.
2€ = 0,25 (ZZ) + 0,25 (ZW) = 0,5
3€ = 0,125 (ZZZ) + 0,125 (ZZW) = 0,25
4€ = 0,0625 (ZZZZ) + 0,0625 (ZZZW) = 0,125
5€ = 0,03125 (ZZZZZ) + 0,03125 (ZZZZW) = 0,0625
12€=0,03125 (ZZZZZ als einziger Weg)
E(x) ist dann = 3,94
Oder?
Danke.
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:32 Mi 12.10.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
welche möglichen Ergebnisse für ein Spiel gibt es?
W
ZW
ZZW
ZZZW
ZZZZW
ZZZZZ
Dabei zahlt er respektive 1, 2, 3, 4, 5 und 12€.
[mm] $E(X)=\sum_{k} [/mm] k* P(X=k)$
k=1:
wann zahlt er 1? Wenn er gleich W wirft, also ist der erste Summand
1€* P({W})=0.5€
k=2:
wann zahlt er 2€? Wenn ZW geworfen wird, schließlich braucht er dann genau 2 Würfe
2€*P({ZW})=0.5€
k=3:
...
> 1€ = 0,5 (Zahl) aber es kann auch Wappen vorkommen und deswegen ist die Wahrscheinlichkeit dich 0,5+0,5 = 1. 1€ muss er ja sowieso Zahlen.
Das muß er, aber dann mußt Du auch berücksichtigen, daß er beim 2. Wurf dann nur noch *1* € zusätzlich zahlt, zu dem 1€, den er für den ersten schon bezahlt hat. Im Moment zählst Du den 1€ für den ersten Wurf 6 fach.
Daß Deine neue Variante nicht stimmen kann, siehst Du schon daran, daß sich Deine Wkeiten nicht zu 1 aufaddieren (können, schließlich ist die erste Wkeit schon 1€)
Zwangsläufig gilt [mm] $\sum_{k} [/mm] P(X=k) = 1$
ciao
Stefan
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