Waldsche Identität < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:40 Sa 15.01.2011 | | Autor: | Teufel |
| Aufgabe | Sei [mm] X_n [/mm] eine Folge unabhängiger Zufallsvariablen mit dem selben Erwartungswert, N sei eine Zufallsvariable mit Werten aus [mm] \IN_0, E(N)<\infty.
[/mm]
Ferner sei [mm] 1_{\{N=n\}} [/mm] unabhängig von [mm] X_{n+1}, X_{n+2}, [/mm] ...
Zeige: [mm] E(\summe_{i=1}^{N}X_i)=E(N)*E(X_1). [/mm] |
Hi!
Hier komme ich nicht ganz weiter.
Ich hab einfach mal angefangen:
[mm] E(\summe_{i=1}^{N}X_i)
[/mm]
[mm] =\summe_{n=0}^{\infty}E(\summe_{i=1}^{N}X_i|N=n)*P(N=n)
[/mm]
[mm] =\summe_{n=0}^{\infty}E(\summe_{i=1}^{n}X_i|N=n)*P(N=n)
[/mm]
[mm] =\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{i=1}^{n}E(X_i|N=n)*P(N=n)
[/mm]
(letzte Zeile entfernt, war falsch)
und hier hört es dann auf. Ich weiß noch, dass ich P(N=n) als [mm] E(1_{\{N=n\}}) [/mm] schreiben kann, um auch mal diese Zufallsvariable ins Spiel zu bringen. Aber ich sehe trotzdem nicht, wie man da zielführend weitermachen kann. Hat jemand vielleicht einen Tipp parat?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:15 Sa 15.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]X_n[/mm] eine Folge unabhängiger Zufallsvariablen mit dem
> selben Erwartungswert, N sei eine Zufallsvariable mit
> Werten aus [mm]\IN_0, E(N)<\infty.[/mm]
> Ferner sei [mm]1_{\{N=n\}}[/mm]
> unabhängig von [mm]X_{n+1}, X_{n+2},[/mm] ...
>
> Zeige: [mm]E(\summe_{i=1}^{N}X_i)=E(N)*E(X_1).[/mm]
>
> Hi!
>
> Hier komme ich nicht ganz weiter.
>
> Ich hab einfach mal angefangen:
>
> [mm]E(\summe_{i=1}^{N}X_i)[/mm]
> [mm]=\summe_{n=0}^{\infty}E(\summe_{i=1}^{N}X_i|N=n)*P(N=n)[/mm]
> [mm]=\summe_{n=0}^{\infty}E(\summe_{i=1}^{n}X_i|N=n)*P(N=n)[/mm]
> [mm]=\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{i=1}^{n}E(X_i|N=n)*P(N=n)[/mm]
Soweit so gut. Beachte: da [mm] $X_i$ [/mm] unabhaengig von $N$ ist, ist [mm] $E(X_i \mid [/mm] N = n) = [mm] E(X_i)$.
[/mm]
Wenn du das einsetzt, [mm] $E(X_i) [/mm] = [mm] E(X_1)$ [/mm] ausklammerst, dann bleibt $E(N)$ ueber.
> [mm]=\summe_{n=0}^{\infty}(\summe_{i=1}^{\infty}E(X_i|N=n)*P(N=n)-\summe_{i=n+1}^{\infty}E(X_i|N=n)*P(N=n))[/mm]
Jetzt hast du aus einer endlichen Summe die Differenz zweier divergenter Reihen gemacht (es sei denn [mm] $E(X_1) [/mm] = 0$). Das darfst du nicht.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 Sa 15.01.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Das Problem ist, dass ja nicht gegeben ist, dass die [mm] X_i [/mm] und N unabhängig sind! Nur eben das [mm] 1_{\{N=n\}} [/mm] und die [mm] X_i [/mm] für [mm] i\ge [/mm] n+1. Das sind noch etwas schwächere Voraussetzungen als die, die du benutzen wolltest, nehme ich an.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:36 Sa 15.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Das Problem ist, dass ja nicht gegeben ist, dass die [mm]X_i[/mm]
> und N unabhängig sind! Nur eben das [mm]1_{\{N=n\}}[/mm] und die
> [mm]X_i[/mm] für [mm]i\ge[/mm] n+1. Das sind noch etwas schwächere
> Voraussetzungen als die, die du benutzen wolltest, nehme
> ich an.
Oh, ich sehe das Problem. Tut mir leid, da war ich etwas zu voreilig.
EDIT: das war genau falsch herum; es sollte [mm] $1_{\{n \le N\}}$ [/mm] lauten und nicht [mm] $1_{\{N \le n \}}$.
[/mm]
Also: es ist [mm] $\sum_{n=1}^N X_n [/mm] = [mm] \sum_{n=1}^\infty X_n \cdot 1_{\{N \ge n\}} [/mm] = [mm] \sum_{n=1}^\infty X_n \sum_{i=n}^\infty 1_{\{N=i\}} [/mm] = [mm] \sum_{1 \le n \le i} X_n 1_{\{N = i \}} [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^\infty \sum_{n=1}^i X_n 1_{\{ N = i \}}$.
[/mm]
Vielleicht kommst du damit weiter?
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:06 Sa 15.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Das Problem ist, dass ja nicht gegeben ist, dass die [mm]X_i[/mm]
> > und N unabhängig sind! Nur eben das [mm]1_{\{N=n\}}[/mm] und die
> > [mm]X_i[/mm] für [mm]i\ge[/mm] n+1. Das sind noch etwas schwächere
> > Voraussetzungen als die, die du benutzen wolltest, nehme
> > ich an.
>
> Oh, ich sehe das Problem. Tut mir leid, da war ich etwas zu
> voreilig.
>
> EDIT: das war genau falsch herum; es sollte [mm]1_{\{n \le N\}}[/mm]
> lauten und nicht [mm]1_{\{N \le n \}}[/mm].
>
> Also: es ist [mm]\sum_{n=1}^N X_n = \sum_{n=1}^\infty X_n \cdot 1_{\{N \ge n\}} = \sum_{n=1}^\infty X_n \sum_{i=n}^\infty 1_{\{N=i\}} = \sum_{1 \le n \le i} X_n 1_{\{N = i \}} = \sum_{i=1}^\infty \sum_{n=1}^i X_n 1_{\{ N = i \}}[/mm].
>
> Vielleicht kommst du damit weiter?
Ich komme mit der Darstellung auf [mm] $E(\sum_{i=1}^N X_i) [/mm] = [mm] \sum_{n=1}^\infty E(X_n 1_{N=n}) [/mm] + [mm] E(X_1) [/mm] E(N - 1)$. Wenn man jetzt noch zeigt, dass die erste Summe gleich [mm] $E(X_1)$ [/mm] ist, dann ist man fertig.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Sa 15.01.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Danke nochmal.
Also, die Gleichungskette kann ich nachvollziehen, obwohl ich da von allein wohl nie drauf gekommen wäre. Dann wende ich den Erwartungswert drauf an:
[mm] E(\sum_{n=1}^N X_n)=E(\sum_{i=1}^\infty \sum_{n=1}^i X_n 1_{\{ N = i \}})=\sum_{i=1}^\infty \sum_{n=1}^i E(X_n 1_{\{ N = i \}}).
[/mm]
Nun konnte ich noch zeigen, dass [mm] E(X_n 1_{\{ N = i \}})=E(X_n|N=i)*P(N=i). [/mm] Damit kann man dann auch zeigen, dass der 1. Summand in deiner Darstellung [mm] E(X_i)=E(X_1) [/mm] ist. Aber wie kommst du jetzt auf deine Darstellung?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Sa 15.01.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Danke für die Antwort erst mal.
Ja, den Satz kenne ich. So wollte ich auch zuerst rangehen, aber irgendwie wollte das auch nicht so recht klappen. Also ich habe dann
[mm] E(\summe_{i=1}^{N}X_i)=E(E(\summe_{i=1}^{N}X_i|N)). [/mm] Dann müsste ich erst einmal [mm] E(\summe_{i=1}^{N}X_i|N=n) [/mm] ausrechnen.
[mm] E(\summe_{i=1}^{N}X_i|N=n)
[/mm]
[mm] =E(\summe_{i=1}^{n}X_i|N=n)
[/mm]
[mm] =\summe_{i=1}^{n}E(X_i|N=n)
[/mm]
Aber hier komme ich dann nicht weiter. Nur im einfachen Fall, wenn N und die [mm] X_i [/mm] unabhängig wären.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:49 Sa 15.01.2011 | | Autor: | luis52 |
> Aber hier komme ich dann nicht weiter. Nur im einfachen
> Fall, wenn N und die [mm]X_i[/mm] unabhängig wären.
Stimmt ...
Ist das eine Aufgabe? Wenn ja, dann vermute ich eine Nachlaessigkeit des Aufgabenstellers. Es gibt einfach zu viele Abhaengigkeitsstrukturen, als dass hier eine allgemeine Aussage moeglich waere. Aber ich kann mich irren.
vg Luis
PS: Meine Kritik ist vermutlich Quatsch. Es stecken doch mehr sinnvolle Annahmen in der Aufgabenstellung. Hab sie einfach ueberlesen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:53 Sa 15.01.2011 | | Autor: | Teufel |
Ja, so ist die Aufgabe. So steht sie auch in einem Buch, als "allgemeine Formulierung der Waldschen Identität". Es ist wirklich nur gegeben, dass alle [mm] X_i [/mm] den gleichen Erwartungswert haben und [mm] 1_{\{N=n\}} [/mm] und [mm] X_{n+1}, X_{n+2}, [/mm] ... unabhängig sind.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 Sa 15.01.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin,
ich weiss nicht, ob das was bringt, aber kann man nicht [mm] $N=\sum_{n=0}^\infty [/mm] n [mm] 1_{\{N=n\}} [/mm] $ schreiben?
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:16 So 16.01.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ok, ich glaube ich hab es. Fast zumindest.
Ich muss noch zeigen, dass [mm] X_n [/mm] und [mm] 1_{\{N \ge n\}} [/mm] unabhängig sind für alle n. Es muss ja irgendwie direkt aus [mm] "1_{\{N=n\}} [/mm] ist unabhängig von [mm] X_{n+1}, X_{n+2}, [/mm] ..." folgen, aber wie kann ich das vernünftig begründen?
Edit: Hat sich erledigt! Danke nochmals an alle!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:53 Di 18.01.2011 | | Autor: | Teufel |
Für Interessierte:
Man zeigt zuerst folgendes:
[mm] E(X_i*1_{\{N=n\}})=E(X_i|N=n)*P(N=n) [/mm] (einfach per Definition des Erwartungswertes, Einzeiler)
[mm] $E(X_i*1_{\{N\ge i\}})=E(X_1)*P(n \ge [/mm] i)$ (hier braucht man die Unabhängigkeit von [mm] 1_{\{N=n\}} [/mm] und [mm] X_{n+1}, X_{n+2}, [/mm] ..., schrieb dazu [mm] E(X_i*1_{\{N\ge i\}})=E(X_i*(1-1_{\{N
Dann folgt:
[mm] E(\summe_{i=1}^{N}X_i)
[/mm]
=$ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\summe_{i=1}^{n}E(X_i|N=n)\cdot{}P(N=n) [/mm] $(wie im 1. Post)
=$ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\summe_{i=1}^{n}E(X_i*1_{\{N=n\}}) [/mm] $
=$ [mm] \summe_{0\le i \le n}E(X_i*1_{\{N=n\}}) [/mm] $ (der Tipp, die Summe so zu schreiben hat mich erleuchtet!)
=$ [mm] \summe_{i=0}^{\infty}\summe_{n=i}^{\infty}E(X_i*1_{\{N=n\}}) [/mm] $
=$ [mm] \summe_{i=0}^{\infty}E(X_i*1_{\{N \ge n\}}) [/mm] $ (innere Summe in E(...) ziehen)
=$ [mm] \summe_{i=0}^{\infty}E(X_1)\cdot{}P(n \ge [/mm] i)$
=$ [mm] E(X_1)*\summe_{i=0}^{\infty}P(n \ge [/mm] i)$
[mm] =$E(X_1)*E(N)$
[/mm]
|
|
|
|
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Satz 7.22, Seite 82