Wallissche Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:30 Di 13.05.2008 | | Autor: | penguin |
| Aufgabe | Sei [mm] I_n [/mm] := [mm] \integral_{\pi/2}^{0}{cos^n t dx}, [/mm] fuer n [mm] \ge [/mm] 0 und sei [mm] (w_n)_{n \ge 1} [/mm] die Wallissche Folge.
Zeige fuer alle n [mm] \ge [/mm] 2:
[mm] I^{2}_{2n + 1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2n + 1}*w_n [/mm] |
also mir ist klar, wie die Wallissche Folge aussieht und zwar wie folgt:
[mm] \bruch{2*2}{1*3}*\bruch{4*4}{3*5}*...*\bruch{2n*2n}{(2n-1)*(2n-1)}
[/mm]
und d.h heisst, dass ich auf der rechten Seite folgendes stehen habe:
[mm] \bruch{1}{2n +1}\bruch{2*2}{1*3}*\bruch{4*4}{3*5}*...*\bruch{2n*2n}{(2n-1)*(2n-1)}
[/mm]
Mein eigentliches Problem bestehe dadrin, dass ich nicht weiss, wie die linke Seite aussieht, dieses hoch 2 und auch der Index verwirren mich doch ziemlich, wie genau kann ich mir das denn vorstellenen
lg penguin
|
|
| |
|
Hi,
> Sei [mm]I_n[/mm] := [mm]\integral_{\pi/2}^{0}{cos^n t dx},[/mm] fuer n [mm]\ge[/mm] 0
> und sei [mm](w_n)_{n \ge 1}[/mm] die Wallissche Folge.
> Zeige fuer alle n [mm]\ge[/mm] 2:
>
> [mm]I^{2}_{2n + 1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2n + 1}*w_n[/mm]
> also mir ist klar,
> wie die Wallissche Folge aussieht und zwar wie folgt:
>
> [mm]\bruch{2*2}{1*3}*\bruch{4*4}{3*5}*...*\bruch{2n*2n}{(2n-1)*(2n-1)}[/mm]
>
> und d.h heisst, dass ich auf der rechten Seite folgendes
> stehen habe:
>
> [mm]\bruch{1}{2n +1}\bruch{2*2}{1*3}*\bruch{4*4}{3*5}*...*\bruch{2n*2n}{(2n-1)*(2n-1)}[/mm]
>
> Mein eigentliches Problem bestehe dadrin, dass ich nicht
> weiss, wie die linke Seite aussieht, dieses hoch 2 und auch
> der Index verwirren mich doch ziemlich, wie genau kann ich
> mir das denn vorstellenen
Ich verstehe deine frage nicht so ganz: was an der linken seite ist denn unklar? Der Index 2n+1 bedeutet, dass die aussage fuer ungerade indizes gilt. Das quadrat ist klar.
Diese aufgabe sieht verdaechtig nach vollstaendiger induktion aus. Schau dir zunaechst den fall n=1 an und versuche dann den induktionsschritt.
gruss
matthias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:38 Mi 14.05.2008 | | Autor: | penguin |
also wenn ich induktion benutzen möchte, sieht dann mein Induktionsanfang fuer die linke Seite so aus:
fuer n=2
( [mm] \integral_{\pi / 2}^{0}{cos^{2n+1}t dt})^2 [/mm] und dann halt n=2 einsetzten und intetgrieren etc.
und meine rechte Seite wäre doch dann
fuer n=2
1/{2n+1} * [mm] \produkt_{i=1}^{n} \bruch{2i * 2i}{(2i-1)(2i+1)}
[/mm]
ich muss halt dann noch fuer n=2 einsetzten und ausrechnen etc.
ist das denn so richtig....
lg penguin
|
|
|
| |
|
So wie die aufgabe aussieht, stammt sie vom übungsblatt a von prof. marinescu ana II oder?
dann schau dir doch mal an, wie wir [mm] I_{2n+1} [/mm] in der VL definiert haben.
Das ist ja dann leicht faktorweise zu quadrieren.
Bei dem ersten Faktor kannst du ja [mm] \frac{1}{2n+1} [/mm] einfach rausziehen. Den Rest schreibst du auf einen Bruchstrich. Wenn du jetzt z.B. die [mm] (2n-1)^2 [/mm] als (2n-1)(2n-1) auffasst, und von (2n+1) ausgehend immer 2 Faktoren im Nenner zusammenfasst, erhälst du die Wallissche Folge.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:39 Fr 16.05.2008 | | Autor: | JulianTa |
Achtung deine Wallissche Folge ist falsch!
Sie ist nicht
[mm] \bruch{2*2}{1*3}*\bruch{4*4}{3*5}*...*\bruch{2n*2n}{(2n-1)*(2n-1)}
[/mm]
sondern
[mm] \bruch{2*2}{1*3}*\bruch{4*4}{3*5}*...*\bruch{2n*2n}{(2n-1)*(2n+1)}
[/mm]
Beachte das + im letzten Nenner!
|
|
|
|
