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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 Fr 18.09.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Zwei Wanderer ALPHA und BETA bewegen sich im dargestellten Straßennetz mit 8 horizontalen und 8 vertikalen Straßen nach folgenden Spielregeln:ALPHA startet in A und BETA in B.Beide gehen gleich schnell.An jedem Kreuzungspunkt wählen sie zufällig eine der möglichen Richtungen aus.ALPHA darf nur rechts (R) und oben (O) gehen,BETA nur links (L) und unten (U) gehen.
a) ALPHA erreiche auf seinem Weg von A(0/0) nach B(7/7) zufällig den Punkt E(5/4).Wie viele Wegstrecken hat ALPHA auf seinem Weg nach E durchlaufen?Wie viele dieser Wegstrecken führten nach oben,wie viele nach rechts?
b) Auf wie vielen verschiedenen Wegen kann ALPHA von A nach E gelangen? |
Hallo zusammen^^
Ich habe Schwierigkeiten bei dieser Aufgabe und hoffe ihr könnt mir helfen.
a) Ich versteh irgenwie die Frage nicht.Was ist mit "Wegstrecken" gemeint?Etwa die Strecke von einem schwarzen Punkt zum anderen,also ein kleiner Strich oder wie?Und was ist mit "seinem Weg" gemeint,denn es gibt ja viele Wege die er gehen kann?
b) Also ich hab angefangen zu zählen,aber das kann man ganz bestimmt auch anders berechnen,ich weiß nur nicht wie.Vielleicht muss man einfach 5*4=20 rechnen,also 20 versch. Wege?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Vielen Dank
lg
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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> Zwei Wanderer ALPHA und BETA bewegen sich im dargestellten
> Straßennetz mit 8 horizontalen und 8 vertikalen Straßen
> nach folgenden Spielregeln:ALPHA startet in A und BETA in
> B.Beide gehen gleich schnell.An jedem Kreuzungspunkt
> wählen sie zufällig eine der möglichen Richtungen
> aus.ALPHA darf nur rechts (R) und oben (O) gehen,BETA nur
> links (L) und unten (U) gehen.
>
> a) ALPHA erreiche auf seinem Weg von A(0/0) nach B(7/7)
> zufällig den Punkt E(5/4).Wie viele Wegstrecken hat ALPHA
> auf seinem Weg nach E durchlaufen?Wie viele dieser
> Wegstrecken führten nach oben,wie viele nach rechts?
>
> b) Auf wie vielen verschiedenen Wegen kann ALPHA von A nach
> E gelangen?
> Hallo zusammen^^
>
> Ich habe Schwierigkeiten bei dieser Aufgabe und hoffe ihr
> könnt mir helfen.
>
> a) Ich versteh irgenwie die Frage nicht.Was ist mit
> "Wegstrecken" gemeint?Etwa die Strecke von einem schwarzen
> Punkt zum anderen,also ein kleiner Strich oder wie?
Das ist sicher so gemeint - aber da wäre Verbesserungs-
bedarf bei der Formulierung der Aufgabenstellung !
Melde dies doch der Lehrkraft !
> Und was ist mit "seinem Weg" gemeint,denn es gibt
> ja viele Wege die er gehen kann?
Eben. Ich möchte dir vorschlagen, eine "Codierung"
für die möglichen Wege einzuführen, welche z.B.
ALPHA einschlagen kann. Einer der möglichen
Wege von A nach E wäre dann etwa:
ROORROORR
> b) Also ich hab angefangen zu zählen,aber das kann man
> ganz bestimmt auch anders berechnen,ich weiß nur nicht
> wie.Vielleicht muss man einfach 5*4=20 rechnen,also 20
> versch. Wege?
ganz so simpel ist es nicht ... (aber fast)
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Die vorgeschlagene Codierung wird dir sicher auf die
Sprünge helfen, eine Formel für die Anzahl der Wege
aufzustellen.
Gruß
Al
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 Sa 19.09.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Vielen Dank,
> > a) Ich versteh irgenwie die Frage nicht.Was ist mit
> > "Wegstrecken" gemeint?Etwa die Strecke von einem schwarzen
> > Punkt zum anderen,also ein kleiner Strich oder wie?
>
> Das ist sicher so gemeint - aber da wäre Verbesserungs-
> bedarf bei der Formulierung der Aufgabenstellung !
> Melde dies doch der Lehrkraft !
> > Und was ist mit "seinem Weg" gemeint,denn es gibt
> > ja viele Wege die er gehen kann?
>
> Eben. Ich möchte dir vorschlagen, eine "Codierung"
> für die möglichen Wege einzuführen, welche z.B.
> ALPHA einschlagen kann. Einer der möglichen
> Wege von A nach E wäre dann etwa:
>
> ROORROORR
Ok,dann gibt es 9 Wegstrecken,von denen 5 nach rechts und 4 nach oben führen oder?
> > b) Also ich hab angefangen zu zählen,aber das kann man
> > ganz bestimmt auch anders berechnen,ich weiß nur nicht
> > wie.Vielleicht muss man einfach 5*4=20 rechnen,also 20
> > versch. Wege?
>
> ganz so simpel ist es nicht ... (aber fast)
Ist es vielleicht [mm] \vektor{9 \\ 2}=36 [/mm] mögliche Wege?
> > [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Die vorgeschlagene Codierung wird dir sicher auf die
> Sprünge helfen, eine Formel für die Anzahl der Wege
> aufzustellen.
Formel?Das versteh ich nicht,wie soll ich denn eine Formel aufstellen?
lg
>
> Gruß
> Al
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> Vielen Dank,
>
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> > > a) Ich versteh irgenwie die Frage nicht.Was ist mit
> > > "Wegstrecken" gemeint?Etwa die Strecke von einem schwarzen
> > > Punkt zum anderen,also ein kleiner Strich oder wie?
> >
> > Das ist sicher so gemeint - aber da wäre Verbesserungs-
> > bedarf bei der Formulierung der Aufgabenstellung !
> > Melde dies doch der Lehrkraft !
>
> > > Und was ist mit "seinem Weg" gemeint,denn es gibt
> > > ja viele Wege die er gehen kann?
> >
> > Eben. Ich möchte dir vorschlagen, eine "Codierung"
> > für die möglichen Wege einzuführen, welche z.B.
> > ALPHA einschlagen kann. Einer der möglichen
> > Wege von A nach E wäre dann etwa:
> >
> > ROORROORR
>
> Ok,dann gibt es 9 Wegstrecken,von denen 5 nach rechts und 4
> nach oben führen oder?
>
> > > b) Also ich hab angefangen zu zählen,aber das kann man
> > > ganz bestimmt auch anders berechnen,ich weiß nur nicht
> > > wie.Vielleicht muss man einfach 5*4=20 rechnen,also 20
> > > versch. Wege?
> >
> > ganz so simpel ist es nicht ... (aber fast)
>
> Ist es vielleicht [mm]\vektor{9 \\ 2}=36[/mm] mögliche Wege?
>
> > > [Dateianhang nicht öffentlich]
> >
> > Die vorgeschlagene Codierung wird dir sicher auf die
> > Sprünge helfen, eine Formel für die Anzahl der Wege
> > aufzustellen.
ich hab zwar null durchblick bei stochastik doch bei obiger codierung musste ich an
"wieviele wörter lassen sich aus den buchstaben des wortes MISSISSIPPI bilden, wenn alle buchstaben verwendet werden müssen und auch unsinnige wörter mitgezählt werden?" denken. die lösung war dort [mm] \frac{11!}{4!*4!*2!*1!} [/mm] (im zähler 11 weil 11 buchstaben lang, im nenner: 4s, 4i, 2p, 1m).
und denke dass könnte hier auch gut zutreffen
>
> Formel?Das versteh ich nicht,wie soll ich denn eine Formel
> aufstellen?
>
> lg
> >
> > Gruß
> > Al
> >
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Sa 19.09.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> > > > [Dateianhang nicht öffentlich]
> > >
> > > Die vorgeschlagene Codierung wird dir sicher auf die
> > > Sprünge helfen, eine Formel für die Anzahl der
> Wege
> > > aufzustellen.
> ich hab zwar null durchblick bei stochastik doch bei
> obiger codierung musste ich an
> "wieviele wörter lassen sich aus den buchstaben des wortes
> MISSISSIPPI bilden, wenn alle buchstaben verwendet werden
> müssen und auch unsinnige wörter mitgezählt werden?"
> denken. die lösung war dort [mm]\frac{11!}{4!*4!*2!*1!}[/mm] (im
> zähler 11 weil 11 buchstaben lang, im nenner: 4s, 4i, 2p,
> 1m).
> und denke dass könnte hier auch gut zutreffen
Dann wäre es hier [mm] \bruch{9!}{4!*5!}=126 [/mm] Wege.Aber warum ist das so?Warum kann man nicht [mm] \vektor{9 \\ 2} [/mm] rechnen?
> >
> > Formel?Das versteh ich nicht,wie soll ich denn eine Formel
> > aufstellen?
> >
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Hallo>
> > > > > [Dateianhang nicht öffentlich]
> > > >
> > > > Die vorgeschlagene Codierung wird dir sicher auf die
> > > > Sprünge helfen, eine Formel für die Anzahl der
> > Wege
> > > > aufzustellen.
> Dann wäre es hier [mm]\bruch{9!}{4!*5!}=126[/mm] Wege.Aber warum
> ist das so?Warum kann man nicht [mm]\vektor{9 \\ 2}[/mm] rechnen?
Die Antwort darauf steckt im Grunde schon in der Beantwortung von Teil a):
Bedenke, dass der Kerl auf seinem Weg von A zu E immer 5 Wegstücke nach rechts und 4 nach oben laufen (nicht mehr nicht weniger), somit erhält man, wenn man es wie Al-Chwarizmi vorgeschlagen hat, codiert, alle (sinnlosen) Wörter die sich aus RRRRROOOO bilden lassen und das sind nun mal einfach [mm] \vektor{9 \\ 5} [/mm] oder [mm] \vektor{9 \\ 4}=126 [/mm] mögliche Wege.
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 So 20.09.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | c) Welche Kreuzungspunkte kommen als mögliche Treffpunkte von ALPHA und BETA in Frage?
d) Geben Sie für jeden der Treffpunkte aus Aufgabenteil c) an,wie viele erlaubte Wege X von A zum Treffpunkt führen und wie viele erlaubte Wege Y von B zur Treffpunkt führen. |
Ich hab jetzt mal die c) und d) versucht.
Bei der c) hab ich folgende Punkte: (0/7),(1/6),(2/5),(3/4),(4/3),(5/2),(6/1),(7/0). Stimmen die so?
d) Hier hab ich die Wege abgezählt.Ich hab raus: (0/7):X=1,Y=1 ; (1/6):X=7,Y=7; (2/5):X=14,Y=14....usw.Weiter hab ich noch nicht gezählt,kann man das nicht irgendwie berechnen ohne zählen zu müssen?
lg
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Hallo,
> c) Welche Kreuzungspunkte kommen als mögliche Treffpunkte
> von ALPHA und BETA in Frage?
>
> d) Geben Sie für jeden der Treffpunkte aus Aufgabenteil c)
> an,wie viele erlaubte Wege X von A zum Treffpunkt führen
> und wie viele erlaubte Wege Y von B zur Treffpunkt
> führen.
> Ich hab jetzt mal die c) und d) versucht.
>
> Bei der c) hab ich folgende Punkte:
> (0/7),(1/6),(2/5),(3/4),(4/3),(5/2),(6/1),(7/0). Stimmen
> die so?
Die stimmen.
>
> d) Hier hab ich die Wege abgezählt.Ich hab raus:
> (0/7):X=1,Y=1 ; (1/6):X=7,Y=7;
> (2/5):X=14,Y=14....usw.Weiter hab ich noch nicht
> gezählt,kann man das nicht irgendwie berechnen ohne
> zählen zu müssen?
Versuchs doch analog zur b) zu machen dann musst nacheinander einfach die Binomialkoeffizienten [mm] \vektor{7 \\ y}= \bruch{7!}{(7-y)!y!} [/mm] für y= 0 bis 7 ausrechnen und kommst so beim Punkt (2/5) auf 21 Wege.
Übrigens ist die Anzahl X immer gleich der Anzahl Y, das kann man sich zum Beispiel klarmachen in dem du die Treffpunkte dir einzeichnest und das Bild um 180° drehst, dann sieht das genauso aus wie vorher.
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 So 20.09.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> > d) Hier hab ich die Wege abgezählt.Ich hab raus:
> > (0/7):X=1,Y=1 ; (1/6):X=7,Y=7;
> > (2/5):X=14,Y=14....usw.Weiter hab ich noch nicht
> > gezählt,kann man das nicht irgendwie berechnen ohne
> > zählen zu müssen?
> Versuchs doch analog zur b) zu machen dann musst
> nacheinander einfach die Binomialkoeffizienten [mm]\vektor{7 \\ y}= \bruch{7!}{(7-y)!y!}[/mm]
> für y= 0 bis 7 ausrechnen und kommst so beim Punkt (2/5)
> auf 21 Wege.
Ich hab die Wege nun berechnet,ich versteh aber nicht so ganz warum man hier [mm] \vektor{7 \\ y} [/mm] rechnet.Woher kommt die 7?Kann man das in Worten sagen?Das müsste ja heißen,dass ich 7 Wege hab aus denen ich eine besitmmte Anzahl auswähle oder wie?
> Übrigens ist die Anzahl X immer gleich der Anzahl Y, das
> kann man sich zum Beispiel klarmachen in dem du die
> Treffpunkte dir einzeichnest und das Bild um 180° drehst,
> dann sieht das genauso aus wie vorher.
>
> Viele Grüße
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Hallo,
> Ich hab die Wege nun berechnet,ich versteh aber nicht so
> ganz warum man hier [mm]\vektor{7 \\ y}[/mm] rechnet.Woher kommt die
> 7?Kann man das in Worten sagen?Das müsste ja heißen,dass
> ich 7 Wege hab aus denen ich eine besitmmte Anzahl
> auswähle oder wie?
Bei all den Treffpunkten sind für X und Y auf jeden Fall 7 Wegstrecken zurückzulegen, von denen geht man dann im Falle X y nach rechts und und n-y nach oben. Wenn man das dann wieder so codiert wie anfangs zu Aufgabe b) bereits vorgeschlagen wurde, erhält man die Anzahl der Wege einfach in dem man berechnet, wie viele (sinnlose) Wörter man aus der Anzahl der jeweiligen Buchstaben O und R bilden kann.
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 So 20.09.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | e) X sein ein erlaubter Weg von A zu irgendeinem Treffpunkt,Y sei ein erlaubter Weg von B zu irgendeinem Treffpunkt (X,Y müssen sich alsonicht treffen).Wie viele Wegpaare (X;Y) lassen sich insgesamt zusammenstellen?
f) Wie viele der Wegpaare (X;Y) aus e) bestehen aus Wegen X und Y,die sich treffen? |
Ok,Danke ich habs verstanden.
So nun kommt die e) und f)
e) Ich hab mir gedacht,dass ich die Anzahl der Wege,die ich in d) berechnet habe addieren muss.Also für ALPHA wäre das:1+7+14+21+35+35+21+14+7+1=156.
Jetzt kann ja jeder dieser 156 Wege mit den 156 Wegen von BETA kombiniert werde.Also muss ich 156*155=24180 rechnen.Und dann noch das ganze durch 2 teilen,damit nic doppelt vorkommt: 24180:2=12090.
Das heißt es lassen sich 12090 Wegpaare zusammenstellen (ganz schön viel).Stimmt das so?
f) Hier hab ich keine richtige Idee wie ich rangehen soll.Wäre lieb,wenn mir da jemand einen Tipp geben könnte.
Vielen Dank
lg
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Hallo,
> e) X sein ein erlaubter Weg von A zu irgendeinem
> Treffpunkt,Y sei ein erlaubter Weg von B zu irgendeinem
> Treffpunkt (X,Y müssen sich alsonicht treffen).Wie viele
> Wegpaare (X;Y) lassen sich insgesamt zusammenstellen?
>
> f) Wie viele der Wegpaare (X;Y) aus e) bestehen aus Wegen X
> und Y,die sich treffen?
> Ok,Danke ich habs verstanden.
> So nun kommt die e) und f)
>
> e) Ich hab mir gedacht,dass ich die Anzahl der Wege,die ich
> in d) berechnet habe addieren muss.Also für ALPHA wäre
> das:1+7+14+21+35+35+21+14+7+1=156.
Woher du die 14 hast, weiß ich nicht. Ich komme auf 1+7+21+35+35+21+7+1=128 Wege
> Jetzt kann ja jeder dieser 156 Wege mit den 156 Wegen von
> BETA kombiniert werde.Also muss ich 156*155=24180
Warum *(Anzahl Wege-1). Ich komm auf 128*128=16384 weil ALPHA und BETA ja einen andern Ausgangspunkt haben, und somit sind das natürlich auch völlig verschiedene Wegpaare und es muss nichts mehr durch 2 geteilt werden.
>
> f) Hier hab ich keine richtige Idee wie ich rangehen
> soll.Wäre lieb,wenn mir da jemand einen Tipp geben
> könnte.
Treffen werden sich die Wege nur dann wenn die Wege von X und Y den gleichen Treffpunkt haben. Somit kommt man auf 1*1+7*7+21*21 +35*35+35*35 +21*21+7*7+1*1 =3432 , der 16384 Wegpaare, die sich an einem Punkt treffen
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 So 20.09.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | g) Wie wahrscheinlich ist es,dass ALPHA und BETA sich auf ihrer Wanderung treffen= |
> >
> > e) Ich hab mir gedacht,dass ich die Anzahl der Wege,die ich
> > in d) berechnet habe addieren muss.Also für ALPHA wäre
> > das:1+7+14+21+35+35+21+14+7+1=156.
> Woher du die 14 hast, weiß ich nicht. Ich komme auf
> 1+7+21+35+35+21+7+1=128 Wege
Woher ich die 14 hatte weiß ich grad auch nicht,das war falsch.Nun ja ich komme jetzt auch auf 128 =)
Nun noch Teilaufgabe g):
Also es gibt 3432 Wege bei denen sich ALPHA und BETA treffen können.Jetzt müsste ich noch wissen,wie viele Wege AlPHA und BETA jeweils insgesamt ablegen können um die Wahrscheinlichkeit zu berchnen.Ist as vielleicht 8!=40320.Die W. ist dann [mm] \bruch{3432}{40320}\approx0.08,also [/mm] 8%.
Oder muss ich hier einfach [mm] p=\bruch{3432}{16384}\approx0.2,also [/mm] 20%?
lg
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Hallo,
> g) Wie wahrscheinlich ist es,dass ALPHA und BETA sich auf
> ihrer Wanderung treffen=
>
> Nun noch Teilaufgabe g):
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> Also es gibt 3432 Wege bei denen sich ALPHA und BETA
> treffen können.Jetzt müsste ich noch wissen,wie viele
> Wege AlPHA und BETA jeweils insgesamt ablegen können um
> die Wahrscheinlichkeit zu berchnen.Ist as vielleicht
> 8!=40320.Die W. ist dann
> [mm]\bruch{3432}{40320}\approx0.08,also[/mm] 8%.
>
> Oder muss ich hier einfach
> [mm]p=\bruch{3432}{16384}\approx0.2,also[/mm] 20%?
>
Das 2. ist besser, denn ALPHA und BETA kommen nach 7 Wegstrecken auf alle Fälle zu einem der möglichen Treffpunkte. Es gibt zu den Treffpunkten insgesamt 16384 Wegpaare, von denen 3432 ALPHA und BETA zu einem gemeinsamen Treffpunkt führen.
Wie ALPHA und BETA nachdem Treffpunkt letztlich weiter zum Ziel laufen ist für die Aufgabe völlig irrelevant.
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 So 20.09.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Wie wahrscheinlich ist es,dass ALPHA und BETA sich treffen,wenn das Wegnetz aus N horizontalen und N vertikalen WEgen besteht?
Lösen Sie diese Problemstellung für N=2,3,4,5,6,7, |
Ok,vielen vielen Dank für deine Hilfe.
Eine Frage hab ich noch unzwar zu h)
Muss ich das jetzt alles von neu berechnen wie ich es eben bei N=8 gemacht habe (das wäre ziemlich viel) oder gibt es hier nun einen kürzeren Weg?
lg
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> Wie wahrscheinlich ist es,dass ALPHA und BETA sich
> treffen,wenn das Wegnetz aus N horizontalen und N
> vertikalen WEgen besteht?
> Lösen Sie diese Problemstellung für N=2,3,4,5,6,7,
> Ok,vielen vielen Dank für deine Hilfe.
> Eine Frage hab ich noch unzwar zu h)
>
> Muss ich das jetzt alles von neu berechnen wie ich es eben
> bei N=8 gemacht habe (das wäre ziemlich viel) oder gibt es
> hier nun einen kürzeren Weg?
Also ich würd mal eine ganz allgemeine Formel für die Wahrscheinlichkeit, wie wir sie eben berechnet aufstellen:
P(X) = [mm] \bruch{\summe_{i=0}^{N-1} \vektor{N-1 \\ i}^2}{(\summe_{i=0}^{N-1} \vektor{N-1 \\ i})^2}
[/mm]
Mit einem guten Taschenrechner geht sowas dann relativ schnell.
Viele Grüße
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