Wann aufhören (Matrix)? < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich muss jetzt eine wirklich doofe Frage stellen.. aber da ich mir jetzt so viele komplexe Sachen zu Matrizen angeschaut habe, habe ich Probleme mit völlig banalen Sachen.
Nämlich: Wann ist eine Matrix fertig aufgelöst, bzw wann höre ich auf mit dem Rechnen?
Im Moment würde ich sagen: Wenn ich eine Einheitsmatrix erzeugt habe.
Aber dann gibt es ja noch Spezialfälle. Was ist, wenn ich eine Nullzeile habe, höre ich dann auf? Was ist, wenn ich ein unlösbares Gleichungssystem bekomme, in der 0000|6 beispielsweise steht?
Wann kann ich auch aufhören, ohne dass ich eine Einheitsmatrix erzeugt habe? Gibt es auch solche Fälle?
Ich danke euch für die Antworten!
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Hallo Engelein,
ich nehme an, du beziehst dich auf das Lösen von GLeichungssystemen mit Hilfe von Matrizen:
Ich beziehe mich jetzt auf Matrizen bzgl. Gleichungssystemen der Form:
[mm] a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...a_{1n}x_{n}=b_{1}
[/mm]
[mm] a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...a_{1n}x_{n}=b_{2}
[/mm]
...
[mm] a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+...a_{1n}x_{n}=b_{n}
[/mm]
Damit kannst du die Matrix [mm] A=\pmat{ a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} & b_{2} \\ ... & ... &... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} & b_{n}} [/mm] erstellen.
Du kann genau dann aufhören mit Umformen, wenn du diese Matrix in Dreiecksgestallt gebracht hast, d.h.
A [mm] \to A'=\pmat{ a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} & b_{1} \\ 0 & a_{22} & ... & a_{2n} & b_{2} \\ ... & ... &... & ... \\ 0 & 0 & ... & a_{nn} & b_{n}}.
[/mm]
Dann kannst du die Unbekannten [mm] x_n [/mm] bis [mm] x_1 [/mm] von unten nach oben ablesen.
Ich hoffe du hast das gemeint, konnte das deiner Frage nicht recht entnehmen...
lg Kai
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Wenn dem allgemein so ist, dann ist es ja tatsächlich banal.
Aber ich erinnere mich dunkel (finde aber gerade keine Beispiele) dass ich auch lösen konnte, ohne die obere Dreiecksmatrix zu erzeugen.
Mir sagte jemand, dass ich stets über und unter der 1 der Einheitsmatrix eine 0 erzeugen muss. Das würde dem ja widersprechen.
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Also wenn du eine Matrix der Art [mm] C=\pmat{ a_11 & 0 & ... & 0 \\ 0 & a_21 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & ... &... & a_nn} [/mm] erzeugen konntest, dann kannst du ja jede Unbekannt direkt ablesen, ohne die Vorherigen zu bestimmen. Aber das ist zum Lösen nicht erforderlich.
Mir ist kein effizienterer Lösungsalgorithmus bekannt.
lg Kai
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Okay, das ist mir jetzt klar :o) Gut, dass es so einfach ist.
Aber ich hab mir sagen lassen, dass es auch ne Möglichkeit sei einfach über und unter jeder 1 eine Null zu produzieren. Ich verstehe aber nicht ganz, wie das gehen soll. Bei dem Schema, das du genannt hast, habe ich zB unter der 1 in der 3. Zeile keine 0.
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> Bei dem Schema, das du genannt hast, habe ich zB
> unter der 1 in der 3. Zeile keine 0.
Hallo,
vielleicht zitierst Du hier das von Dir gemeinte Schema nochmals.
Ich jedenfalls weiß nicht, auf welche Matrix Du Dich beziehst.
Gruß v. Angela
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Angelas Bitte habe ich gelesen und finde auch, es würde helfen, wenn Du in einen Post das mit einschließt, worauf Du Dich beziehst.
Welchen Wert es ansonsten haben soll, über und unter einer 1 eine 0 zu haben, ist mir weder bekannt noch ersichtlich. Ich halte das für eine schwachsinnige Aussage. In der Einheitsmatrix ist das außer in der ersten und letzten Zeile (wo es nicht erfüllbar ist) sowieso gegeben, in allen anderen genügt die obere Dreiecks- bzw. Zeilenstufenform.
Grüße,
reverend
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> Welchen Wert es ansonsten haben soll, über und unter einer
> 1 eine 0 zu haben, ist mir weder bekannt noch ersichtlich.
Hallo,
ich glaube (!), sie meint vielleicht (!) die reduzierte ZSF, welche 1. eindeutig ist und aus welcher man 2. sehr leicht den Kern ablesen kann.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:53 Do 08.01.2009 | | Autor: | reverend |
...aber dann habe ich doch nicht nur über und unter den Einsen Nullen?
Naja, mal sehen, ob sich die Frage präzisiert und dadurch löst.
Grüße,
rev
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> Okay, das ist mir jetzt klar :o) Gut, dass es so einfach
> ist.
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> Aber ich hab mir sagen lassen, dass es auch ne Möglichkeit
> sei einfach über und unter jeder 1 eine Null zu
> produzieren. Ich verstehe aber nicht ganz, wie das gehen
> soll. Bei dem Schema, das du genannt hast, habe ich zB
> unter der 1 in der 3. Zeile keine 0.
Hallo,
obgleich mir die eigentliche Frage schleierhaft ist, greife ich doch mal in den Pool meiner Antworten, vielleicht ziehe ich ja die richtige:
wenn Du diese ZSF hast [mm] \pmat{1&2&3&4\\ 0&0&1&5\\0&0&0&0}, [/mm]
kannst Du das 3fache der 2.Zeile von der ersten subtrahieren und erhältst
[mm] \pmat{1&2&0&-11\\ 0&0&1&5\\0&0&0&0} [/mm] .
Das ist dann die reduzierte Zeilenstufenform.
Gruß v. Angela
P.S.:
Um direkt auf die Überschrift "Wann aufhören?" zu antworten: auch im Falle der Matrizen gilt die allgemeine Weisheit
"Immer dann, wenn's am schönsten ist."
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