Wann ist das Becken voll? < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Gegeben ist ein Schwimmbecken, welches mit Wasser befüllt werden soll. Der Wasserhahn wird angedreht und in der ersten Minute erreicht der Strahl eine Stärke von 4 m³/min. (proportional). Danach ist die Strahlstärke kontinuierlich 4m³/min. Das Becken ist 170m³ groß. Wann muss man den Strahl abstellen, damit das Becken randvoll ist? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Zunächst habe ich versucht die Aufgabe mit der Steigung m=4 zu lösen. Habe mich an der Formel f(x)=m * x +c versucht, da wir diese zurzeit in der Schule behandeln. Bin da jedoch auf keine Lösung gekommen.
Habe nun zunächst ausgerechnet, wieviel Wasser in der ersten Minute zufließt, nämlich 2 m³. Also fließt auch noch soviel Wasser in das Becken, wenn ich den Hahn wieder abstelle. Das muss ich ja einrechnen, damit das Becken nicht überläuft. Also ziehe ich von 170m³ insgesamt 4m³ ab. Die übrigen 166m³ teile ich durch 4, bekomme nun 41,5 minuten heraus. Dort rechne ich noch eine Minute dazu und habe nun 42,5 min heraus, dies ist die Zeit, bei der ich den Hahn abdrehen muss.
Ich möchte gerne wissen, was ihr von diesem Rechenweg haltet. Ich bin mir nicht sicher, ob das nicht einfach ein bisschen zuviel rumgerätselt ist, habe auch keine Formel verwendet. irgendwelche anderen Vorschläge?
Würde mich über eine Antwort sehr freuen!
Lieben Gruß
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> Gegeben ist ein Schwimmbecken, welches mit Wasser befüllt
> werden soll. Der Wasserhahn wird angedreht und in der
> ersten Minute erreicht der Strahl eine Stärke von 4 m³/min.
> (proportional). Danach ist die Strahlstärke kontinuierlich
> 4m³/min. Das Becken ist 170m³ groß. Wann muss man den
> Strahl abstellen, damit das Becken randvoll ist?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Zunächst habe ich versucht die Aufgabe mit der Steigung m=4
> zu lösen. Habe mich an der Formel f(x)=m * x +c versucht,
> da wir diese zurzeit in der Schule behandeln. Bin da jedoch
> auf keine Lösung gekommen.
> Habe nun zunächst ausgerechnet, wieviel Wasser in der
> ersten Minute zufließt, nämlich 2 m³. Also fließt auch noch
> soviel Wasser in das Becken, wenn ich den Hahn wieder
> abstelle. Das muss ich ja einrechnen, damit das Becken
> nicht überläuft. Also ziehe ich von 170m³ insgesamt 4m³ ab.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Zwei Sätze vorher hast Du geschrieben, dass in der ersten Minute [mm] $2m^3$ [/mm] zugeflossen sind. Nun zählst Du aber [mm] $4m^3$ [/mm] ab: das kann nicht gut gehen...
> Die übrigen 166m³ teile ich durch 4, bekomme nun 41,5
> minuten heraus. Dort rechne ich noch eine Minute dazu und
> habe nun 42,5 min heraus, dies ist die Zeit, bei der ich
> den Hahn abdrehen muss.
> Ich möchte gerne wissen, was ihr von diesem Rechenweg
> haltet.
Der Rechenweg ist in Ordnung. Nur hast Du einen kleinen Rechenfehler "verbrochen". Das Ergebnis sollte meiner Meinung nach $43$ Minuten sein.
> Ich bin mir nicht sicher, ob das nicht einfach ein
> bisschen zuviel rumgerätselt ist, habe auch keine Formel
> verwendet. irgendwelche anderen Vorschläge?
Stelle Dir ein Zeit-Geschwindigkeitsdiagramm vor. Das bis zur Zeit t zugeflossene Volumen entspricht der Fläche unter dem Graphen der Zuflussgeschwindigkeit als Funktion der Zeit (Integral). Sei t die gesuchte Zeit, bei der das zugeflossene Volumen gerade 170 ist. Da es sich bei diesem Graphen um ein Trapez mit Grundseite t und Deckseite t-1 handelt, muss offenbar gelten (Fläch gleich Mittellinie mal Höhe):
[mm]\frac{(t-1)+t}{2}\cdot 4=170,\Rightarrow t=43[/mm]
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erstma vielen dank, dass du dir die mühe gemacht hast.
allerdings, bin ich mir sicher, dass ich am ende 4m³ abziehen muss. denn schließlich möchte ich soviel die menge abziehen, die beim aufdrehen (bis zur 1. minute) in das becken fließt (=2m³) , als auch die menge, die beim abdrehen noch in das becken fließen wird (wieder 2m³). also ingesamt 4m³.
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> erstma vielen dank, dass du dir die mühe gemacht hast.
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> allerdings, bin ich mir sicher, dass ich am ende 4m³
> abziehen muss. denn schließlich möchte ich soviel die menge
> abziehen, die beim aufdrehen (bis zur 1. minute) in das
> becken fließt (=2m³) , als auch die menge, die beim
> abdrehen noch in das becken fließen wird (wieder 2m³). also
> ingesamt 4m³.
Aha, schlau gedacht. Also unter dieser Annahme (und es ist eine Annahme) hast Du natürlich recht. In einer Prüfung ist es immer eine gute Idee, eine solche Annahme explizit hinzuschriben: "ich nehme an, dass...". In dem Falle hat man immer Recht - auch wenn der Aufgabensteller sich etwas anderes vorgestellt haben sollte. Mein Vorschlag über die Trapezfläche zu rechnen benötigt, unter dieser Annahme, eine entsprechende Modifikation:
[mm]\frac{(t-2)+t}{2}\cdot 4=170,\Rightarrow t=43.5[/mm]
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habe in meinem nächsten beitrag einen fehler gemacht, es wird nicht durch 4 geteilt, sondern durch 2. kann ads dort nicht ändern, da der artikel bereits reserviert ist.
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Stelle Dir ein Zeit-Geschwindigkeitsdiagramm vor. Das bis zur Zeit t zugeflossene Volumen entspricht der Fläche unter dem Graphen der Zuflussgeschwindigkeit als Funktion der Zeit (Integral). Sei t die gesuchte Zeit, bei der das zugeflossene Volumen gerade 170 ist. Da es sich bei diesem Graphen um ein Trapez mit Grundseite t und Deckseite t-1 handelt, muss offenbar gelten (Fläch gleich Mittellinie mal Höhe):
habe die Formel A=m * h auch in meinem Tafelwerk gefunden. Jedoch verstehe ich das, was du daraus gemacht hast nicht.
$ [mm] \frac{(t-2)+t}{4}\cdot 4=170,\Rightarrow [/mm] t=43,5 $
könntest du mir das näher erläutern?
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> Stelle Dir ein Zeit-Geschwindigkeitsdiagramm vor. Das bis
> zur Zeit t zugeflossene Volumen entspricht der Fläche unter
> dem Graphen der Zuflussgeschwindigkeit als Funktion der
> Zeit (Integral). Sei t die gesuchte Zeit, bei der das
> zugeflossene Volumen gerade 170 ist. Da es sich bei diesem
> Graphen um ein Trapez mit Grundseite t und Deckseite t-1
> handelt, muss offenbar gelten (Fläch gleich Mittellinie mal
> Höhe):
>
> habe die Formel A=m * h auch in meinem Tafelwerk gefunden.
> Jedoch verstehe ich das, was du daraus gemacht hast nicht.
>
> [mm]\frac{(t-2)+t}{4}\cdot 4=170,\Rightarrow t=43,5[/mm]
>
> könntest du mir das näher erläutern?
Du hast mir einen Fehler untergejubelt! - Sehr freundlich, aber dies ist wirklich überhaupt nicht nötig: ich mache schon genügend viele eigene Fehler. - Was ich geschrieben hatte war dies:
[mm]\frac{(t-2)+t}{2}\cdot 4=170,\Rightarrow t=43,5[/mm]
Die Länge der Mittellinie $m$ ist einfach der Mittelwert von Grund- und Decklinie. Die Grundlinie des Trapezes hatte ich mit $t$ angenommen (dies ist, merke ich gerade, möglicherweise noch immer nicht die vom Aufgabensteller gewünschte Zeit, zu der man den Zufluss abdrehen muss, sondern die Gesamtzeit, während der Wasser zufliesst) und die Decklinie als $t-2$ (dies ist die Zeit, während der Wasser mit der vollen Geschwindkeit von [mm] $4m^3$ [/mm] pro Minute zufliesst). Also ist [mm] $m=\frac{(t-2)+t}{2}$: [/mm] ergibt den ersten Faktor. Die Höhe des Trapezes ist dann die Zuflussgeschwindigkeit die man hat, wenn der Wasserhahn voll aufgedreht ist: ergibt den zweiten Faktor.
Nun bin ich, aufgrund Deiner Rückfrage, aber gerade unsicher geworden: welche genaue Zeit will denn nun der Aufgabensteller von uns hören? - Verbringen wir die letzte Minute, in der die Zuflussgeschwindigkeit von [mm] $4m^3$ [/mm] linear auf [mm] $0m^3$ [/mm] herunter geht, mit Zudrehen des Wasserhahns, so dass man erst zur Zeit $t=43.5$ Minuten sagen kann: der Wasserhahn ist nun voll zugedreht und es fliesst gleichzeitig kein Wasser mehr zu?
Oder drehen wir den Wasserhahn zur Zeit [mm] $t-1\mathrm{min}=42.5\mathrm{min}$ [/mm] auf einen Schlag zu - und hat das Gesamtsystem einfach eine derartige Trägheit, dass der Wasserzufluss noch eine Minute lang (linear abnehmend) weitergeht? - Frag mich was Einfacheres!
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genau, die frage ist, wann der wasserhahn zugedreht werden muss, damit trotz der trägheit des wassers von 1 min, die es braucht um nicht mehr durch den schlauch zu laufen, das becken nicht überläuft.
deine formel sagt mir nun also die gesamtlaufzeit. sieht natürlich etwas besser aus, als meine einfachen gleichungen . danke dir sehr
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> genau, die frage ist, wann der wasserhahn zugedreht werden
> muss, damit trotz der trägheit des wassers von 1 min, die
> es braucht um nicht mehr durch den schlauch zu laufen, das
> becken nicht überläuft.
> deine formel sagt mir nun also die gesamtlaufzeit.
Gut, wenn $t$ diese gesuchte Zeit sein soll, dann ist die Grundseite des Trapezes $t+1$ und die Deckseite $t-1$, also
[mm]\frac{(t-1)+(t+1)}{2}\cdot 4=170,\Rightarrow t=42.5[/mm]
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das verstehe ich nicht! man muss bei der deckseite eins abziehe, das ist mir klar, aber warum bei der grundseite eins hinzufügen?
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> das verstehe ich nicht! man muss bei der deckseite eins
> abziehe, das ist mir klar, aber warum bei der grundseite
> eins hinzufügen?
Da wir, wie ich Dich zu verstehen glaube, annehmen dürfen, dass es, nach dem Zudrehen des Wasserhahns, noch eine Minute dauert, bis kein Wasser mehr einfliesst, ist doch die Gesamtzeit, während der Wasser zufliesst (die Grundseite des Trapezes im Zeit-Zuflussgeschwindigkeits-Diagramm) $t+1$.
Bis zur Zeit $t$ fliesst, bei dieser Interpretation des Abstellvorganges, Wasser mit [mm] $4m^3$ [/mm] pro Minute zu. Aber am Anfang war ja noch eine Phase von einer Minute, bis diese maximale Zuflussgeschwindigkeit erreicht wurde: also hat die Deckseite des Trapezes die Länge $t-1$. - Nicht?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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warum die grundseite t+1 ist , versteh ich. schließlich braucht das wasser ja noch 1 min mehr zum abfließen. aber die deckseite t-1? sorry ich steh total auf dem schlauch!
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könnte man nicht auch das t-1 und t+1 weglassen, nur t schreiben? käme das gleiche raus...allerdings nur, wenn man den bruch nicht kürzt..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:02 Di 05.08.2008 | | Autor: | Somebody |
> könnte man nicht auch das t-1 und t+1 weglassen, nur t
> schreiben? käme das gleiche raus...allerdings nur, wenn man
> den bruch nicht kürzt..
Natürlich könnte man dies: aber ich wollte die Gleichung in einer Form hinschreiben, die den Weg ihrer Herleitung unmittelbar evident macht (gut: das war jedenfalls meine Hoffnung  )
Solche Umformungen kommen bei mir erst in Frage, wenn die Phase der "Mathematisierung der Aufgabe" abgeschlossen ist. Wenn man diese beiden Phasen (des Mathematisierens und des Lösens des mathematisierten Problems) vermischt, besteht erhöhte Gefahr, dass man eine (oder beide) dieser Phasen verkorkst.
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> warum die grundseite t+1 ist , versteh ich. schließlich
> braucht das wasser ja noch 1 min mehr zum abfließen. aber
> die deckseite t-1? sorry ich steh total auf dem schlauch!
Hast Du denn die (zugegebenermassen ganz lausige) Skizze in meiner letzten AntwortEingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
nicht gesehen? Die Deckseite (der Teil des Graphen, bei dem die Zuflussgeschwindigkeit als Funktion der Zeit ihren maximalen Wert $4\mathrm{m}}^3/\mathm{min}$ hat) beginnt erst zur Zeit $1$ und dauert bis zur gesuchten Zeit $t$ also hat die Deckseite doch die Länge $t-1$.
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okay das habe ich verstanden. vielen dank für deine mühe ;)
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