Wann ist im Körper 1 = 0? < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:58 Fr 03.12.2010 | | Autor: | pitmat |
Liebe Forenmitglieder,
die Definition eines Körpers in den reellen Zahlen besagt ja, dass 0 ungleich 1 ist.
Ich habe versucht, das zu googeln, aber leider kein Beispiel gefunden; in welchem Fall gilt denn das 0 = 1?
Es wäre prima, wenn jemand ein Beispiel parat hätte!
Viele Grüße,
pitmat
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:17 Fr 03.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin pitmat,
> die Definition eines Körpers in den reellen Zahlen besagt
> ja, dass 0 ungleich 1 ist.
>
> Ich habe versucht, das zu googeln, aber leider kein
> Beispiel gefunden; in welchem Fall gilt denn das 0 = 1?
>
> Es wäre prima, wenn jemand ein Beispiel parat hätte!
in einem Ring $R$ mit 1 gilt: $0 = 1 [mm] \Leftrightarrow [/mm] |R| = 1$. (Und dann ist es der Nullring.)
Nun ist die Definition eines Koerpers, dass er ein Ring mit 1 ist, bei dem $R [mm] \setminus \{ 0 \}$ [/mm] mit der Multiplikation eine Gruppe ist.
Damit das ganze eine Gruppe ist, muss insb. ein Element in $R [mm] \setminus \{ 0 \}$ [/mm] existieren, womit $|R| [mm] \ge [/mm] 2$ gilt.
Damit kann jedoch nicht $0 = 1$ sein.
Also: es gibt keinen Koerper, in dem $0 = 1$ gilt.
LG Felix
PS: Es gibt Leute, die mit einem ![[]](/images/popup.gif) "ein-elementigen Koerper" arbeiten; allerdings, wie in dem Artikel genannt, wird da nicht "ganz normal" der Nullring behandelt, sondern sehr abstrakt gearbeitet. Aber das hat mit deiner Fragestellung eher weniger zu tun; du kannst das getrost ignorieren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:32 Fr 03.12.2010 | | Autor: | pitmat |
Danke, das hat mir schon sehr geholfen! :)
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