Warburg Impedanz - Herleitung < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:43 Mo 02.08.2010 | | Autor: | Xeno |
Hallo,
zur Analyse von Diffusionsprozessen beschäftige ich mich zur Zeit mit der Warburg Impedanz. Für meine Ausarbeitung benötige ich allerdings eine genaue Herleitung dieser. In diversen Papers und Büchern sind hier auch gute Ansätze zu finden, allerdings werden hier oftmals viele Umformungen ausgelassen und nur kurz angegeben.
Konkret hänge ich an folgender Stelle:
[mm] X=\bruch{1}{zF\wurzel{jwD}}
[/mm]
Nach Trennung nach Real- und Imaginärteil soll folgendes rauskommen:
[mm] X=\bruch{w^{-0.5}-jw^{-0.5}}{zF\wurzel{2D}}
[/mm]
Könnte mir da vielleicht jemand einen Tipp für die Zwischenschritte geben, nach konjugierte komplexer Erweiterung und anderen Umformungen schaffe ich es nicht auf das gewollte Ergebnis.
Vielen Dank
Gruß Michael
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:47 Mo 02.08.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo Michael,
willkommen hier bei der Vorhilfe.
Ein reines Jonglieren mit Zähler und Nenner bringt Dich hier nicht weiter, Du musst schon die Wurzel aus einer komplexen Zahl ziehen und dazu schreibt man diese komplexe Zahl, die bei Dir rein imaginär ist, in Betrag und Phase. Beim Ziehen einer n-ten Wurzel reduziert sich der Betrag dieser komplexen Zahl mit der Potenz von 1/n und der Winkel wird ge-n-telt. Die n-te Wurzel aus einer komplexen Zahl hat n Lösungen, die von Dir angegebene Endgleichung entspricht der zweiten Lösung.
Generell gilt
$$ [mm] \wurzel[n]{z} [/mm] = [mm] r^{\bruch{1}{n}} \cdot (\cos (\bruch{\varphi}{n} [/mm] + [mm] \bruch{k}{n} [/mm] 2 [mm] \pi) [/mm] + i [mm] \sin (\bruch{\varphi}{n} [/mm] + [mm] \bruch{k}{n} [/mm] 2 [mm] \pi)) [/mm] $$
Das k ist eine Laufvariable und nimmt bei Dir die Werte 0 und 1 an, so entstehen die beiden Lösungen.
Jetzt aber zu Deiner Gleichung, bei der eine imaginäre Größe unter der Wurzel im Nenner auftaucht. Der Rest sind reelle Faktoren, wir brauchen sie erst mal nicht weiter zu beachten für das Wurzelziehen. Was von Interesse ist, ist der Ausdruck
$$ [mm] \bruch{1}{\wurzel{j \omega}} \, [/mm] , $$ denn der lässt sich schreiben als
$$ [mm] \wurzel{\bruch{-j}{\omega}} [/mm] $$ und hier sehen wir als Wurzelargument eine negative imaginäre Größe, deren Betrag [mm] \bruch{1}{\omega}} [/mm] und deren Winkel, da negativ imaginär, 270 Grad ist.
Hieraus die Wurzel zu ziehen, liefert für den Betrag immer den Wert [mm] \wurzel{\bruch{1}{\omega}} [/mm] und das Halbieren des Winkels liefert einen Wert von 135 Grad. Diesen Winkel in den Cosinus und in den Sinus der obigen Formel eingesetzt, zeigt Dir, dass dies nicht Dein Ergebnis ist, aber jetzt addiere mal, für die zweite Lösung, 180 Grad zum halbierten Winkel dazu und Du landest bei 315 Grad. Voila, der Cosinus liefert Dir [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] und der Sinus [mm] - \bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]. Die Wurzel 2 findest Du im Nenner wieder und die Vorzeichen im Zähler stimmen nun auch.
Rechne es mal nach.
Viele Grüße,
Infinit
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