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Forum "Wahrscheinlichkeitsrechnung" - Wartezeit, Verteilung
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Wartezeit, Verteilung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:52 Fr 01.04.2016
Autor: impliziteFunktion

Aufgabe
Zwei Freunde wollen sich an einem Ort zwischen 12 und 13 Uhr treffen. Dabei seien die Ankunftszeiten $X$ und $Y$ der Freunde gleichverteilt auf dem Intervall [12,13] und unabhängig voneinander. Es sei $W=|X-Y|$ die Zeit, die einer der beiden Freunde (der als erster kommt) auf den anderen warten muss.
Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion, die Dichte und den Erwartungswert von $W$.

Hallo,

ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe, da ich nicht so recht weiß, wie ich an diese Aufgabe rangehen kann.

$X$ und $Y$ sind gleichverteilt auf [12,13], daher haben sie die Dichte:

[mm] $f_X(y)=\begin{cases} 1, y\in[12,13]\\ 0,\text{sonst}\end{cases}$ [/mm]

Und die Verteilungsfunktion:

[mm] $F_X(t)=\int_{-\infty}^\infty f_X(y)\, dy=\begin{cases} 0, t\leq 12\\t-12,t\in[12,13]\\ 1,t\geq 13\end{cases}$ [/mm]

Nun möchte ich die entsprechenden Funktionen für $W$ aufstellen.
Dazu kann ich ja prinzipiell auf zwei verschiedene Weisen vorgehen.
Ich kann mir die Verteilungsfunktion überlegen und darauf auf die Dichte schließen, oder umgekehrt. Je nachdem was sich anbietet.

Ich denke sich die Dichte zu überlegen ist einfacher.
Jedoch weiß ich nicht wie man an so etwas strukturiert rangehen kann.

Wenn ich die Wartezeit in Minuten angebe und [mm] $f_W$ [/mm] die Dichtefunktion der Wartezeit sein soll, dann ist [mm] $f_W(y)\in[0,60]$ [/mm] und [mm] $y\in[0,1]$ [/mm] (anstelle von [12,13]), wobei $y$ den Zeitpunkt angibt, wann der erste der beiden Freunde ankommt.

Dann würde mein [mm] $f_W$ [/mm] nun einfach so aussehen:

[mm] $f_W:[0,1]\to[0,60]$ [/mm]

[mm] $f_W(y)=60-y$ [/mm]

Das kann es aber nicht gewesen sein.
Denn ich beachte hier nur einen Ankunftszeitpunkt und lasse den zweiten außen vor. Ich kann zwar o.B.d.A annehmen, dass [mm] $X\leq [/mm] Y$ gilt, ich also den "kenne" der als erster kommt, aber ich muss das doch trotzdem irgendwie in der Dichtefunktion berücksichtigen.

Über eine Anregung würde ich mich sehr freuen.
Vielen Dank im voraus.

        
Bezug
Wartezeit, Verteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:34 Fr 01.04.2016
Autor: luis52

  
> Und die Verteilungsfunktion:
>  
> [mm]F_X(t)=\int_{-\infty}^\infty f_X(y)\, dy=\begin{cases} 0, t\leq 12\\t-12,t\in[12,13]\\ 1,t\geq 13\end{cases}[/mm]
>  

[notok]

[mm] $F_X(t)=\int_{-\infty}^\red{t} f_X(y)\, [/mm] dy = [mm] \ldots$ [/mm]



>
>  
> Ich denke sich die Dichte zu überlegen ist einfacher.
>  Jedoch weiß ich nicht wie man an so etwas strukturiert
> rangehen kann.


Stimmt, aber die *gemeinsame* Dichte $g$ von $(X,Y)$.

Tipp: Zeichne fuer gegebenes $z$ die Menge [mm] $M_z=\{(x,y)\mid |x-y|\le z\}$ [/mm] und damit [mm] $F_W(z)=\int_{M_z}g(x,y)\,dx\,dy$. [/mm]



Bezug
                
Bezug
Wartezeit, Verteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:19 Sa 02.04.2016
Autor: impliziteFunktion

Hallo,

ich bin mir nicht sicher, wie die Menge [mm] $M_z$ [/mm] aussieht.
Wenn ich sie zeichnen möchte, dann kann ich den Betrag auflösen und erhalte so zwei Bedingungen.

[mm] $z\geq [/mm] |x-y|$

Wird zu [mm] $z\geq [/mm] x-y$ also [mm] $y\geq [/mm] x-y$ für [mm] $x\geq [/mm] y$.
Und für [mm] $x\leq [/mm] y$ erhält man:

[mm] $z\geq [/mm] -(x-y)$, also [mm] $z+x\geq [/mm] y$

[mm] $M_z$ [/mm] ist dann die Fläche zwischen diesen linearen Funktionen, weil man noch die Nebenbedingungen [mm] $x\geq [/mm] y$ und $y<x$ beachten muss.

Ist das korrekt?

Bezug
                        
Bezug
Wartezeit, Verteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:01 Sa 02.04.2016
Autor: luis52


> Hallo,
>  
> ich bin mir nicht sicher, wie die Menge [mm]M_z[/mm] aussieht.
>  Wenn ich sie zeichnen möchte, dann kann ich den Betrag
> auflösen und erhalte so zwei Bedingungen.
>  
> [mm]z\geq |x-y|[/mm]
>  
> Wird zu [mm]z\geq x-y[/mm] also [mm]y\geq x-y[/mm] für [mm]x\geq y[/mm].
>  Und für
> [mm]x\leq y[/mm] erhält man:
>  
> [mm]z\geq -(x-y)[/mm], also [mm]z+x\geq y[/mm]
>  
> [mm]M_z[/mm] ist dann die Fläche zwischen diesen linearen
> Funktionen, weil man noch die Nebenbedingungen [mm]x\geq y[/mm] und
> [mm]y
>  
> Ist das korrekt?

Ja.


Bezug
        
Bezug
Wartezeit, Verteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:46 Sa 02.04.2016
Autor: HJKweseleit

[Dateianhang nicht öffentlich]

x=Ankunft von A nach 12 Uhr
y=Ankunft von B nach 12 Uhr

Alle Punkte im Bild sind gleichwahrscheinlich und haben damit gleiches Gewicht.

Die rote "Linie" beinhaltet diejenigen Punkte innerhalb eines kleinen Zeitintervalls, bei dem x immer gleich lange auf y warten muss. Auf der Diagonalen x=y kommen beide gleichzeitig (W=0), im Punkt (0|1) muss A eine Stunde auf B warten.

Wegen der Symmetrie für A und B, aber verschiedenen Vorzeichen für x-y, kann man sich auf das Dreieck links oben beschränken.

1. Berechnung der Fläche des oberen Dreiecks.

Natürlich muss 0,5 herauskommen, aber zur Kontrolle integrieren wir über alle roten Streifen von der Diagonalen bis zum Eckpunkt. Damit haben wir schon fast die Mittel für die Lösung.

Streifenbreite: [mm] \bruch{dy}{\wurzel{2}} [/mm]   (45° Neigung)
Streifenlänge: [mm] (1-y)*\wurzel{2} [/mm]

Flächeninhalt somit: (1-y)*dy

Flächeninhalt oberes Dreieck: [mm] \integral_{0}^{1}{(1-y) dy}=y-0,5y^2|_0^1 [/mm] = 0,5 wie verlangt.

2. Wartezeit:

Nun multiplizieren wir die Wartezeit mit ihrem Anteil, nämlich der jeweiligen Fläche, auf die sie entfällt.

Wartezeit: y           Flächenanteil wie oben, somit

[mm] \integral_{0}^{1}{y*(1-y) dy}=\integral_{0}^{1}{(y-y^2) dy}=\bruch{1}{2}y^2-\bruch{1}{3}y^3|_0^1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}-\bruch{1}{3}=\bruch{1}{6}. [/mm]

Dies müssen wir durch die "benutzte" Fläche dividieren:

[mm] \bruch{1}{6}/\bruch{1}{2}=\bruch{1}{3}= [/mm] durchschnittliche Wartezeit.

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Wartezeit, Verteilung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:05 Sa 02.04.2016
Autor: luis52

Mit Verlaub, ich finde es etwas schwer zu folgen. HJKweseleit, du berechnest anscheinend nur den Erwartungswert, nicht jedoch, wie verlangt, auch die Verteilungsfunktion, oder?

Bezug
                        
Bezug
Wartezeit, Verteilung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:24 So 03.04.2016
Autor: HJKweseleit

Ja richtig - aber es sollte jetzt nicht mehr schwer fallen, durch entsprechende Überlegungen für das erste Integral die Verteilungsfunktion zu bestimmen.

Bleib bei dem oberen Dreieck.
Wenn du z.B. von der Mittellinie (Diagonale) bis zur roten 45°-Linie bei y=1/2 gehst, hast du 3/4 der Dreiecks-Fläche belegt. Die Verteilungsfunktion hat somit den Wert F(0,5)=0,75.
(Und natürlich F(0)=0, F(1)=1)


Bezug
        
Bezug
Wartezeit, Verteilung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Di 05.04.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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