Warum funktioniert Abschätzen? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:57 Mi 18.05.2011 | | Autor: | xyllyxy |
| Aufgabe | Berechnen Sie für beliebiges a ∈ R, a ≥ 0:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{n} [/mm] · [mm] (\wurzel{n+a} -\wurzel{n})
[/mm]
Hinweis: Wenden Sie die dritte Binomische Formel an. |
Hallo Zusammen.
Ich habe die Aufgabe folgendermaßen gelöst.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{n} \* (\wurzel{n+a} -\wurzel{n}) [/mm] =
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{n} \* \bruch{(\wurzel{n+a} -\wurzel{n})\*(\wurzel{n+a} +\wurzel{n})}{(\wurzel{n+a} +\wurzel{n})} [/mm] =
[mm] limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel{n}\* a}{\wurzel{n+a} +\wurzel{n}}
[/mm]
<= [mm] limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel{n}\* a}{2*\wurzel{n}}
[/mm]
= [mm] \bruch{a}{2}
[/mm]
Meine Frage ist jetzt eher allgemeiner Natur. Wenn ich das so "Abschätze" also x<=y sage: Warum ist x zu dem gleichen Punkt konvergent, wie y? Ich versteh nicht, warum und wann man das einfach so sagen darf. In diesem Fall habe ich mir das noch so erklären können, dass a bel. aber fest ist - also eine Konstante. Dann ist das N, ab dem die Folge konvergent ist eben etwas größer.
Aber ich verstehe nicht, warum man so was im Allgemeinen machen kann und es gilt dann einfach so?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:08 Mi 18.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie für beliebiges a ∈ R, a ≥ 0:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{n}[/mm] · [mm](\wurzel{n+a} -\wurzel{n})[/mm]
>
> Hinweis: Wenden Sie die dritte Binomische Formel an.
> Hallo Zusammen.
>
> Ich habe die Aufgabe folgendermaßen gelöst.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{n} \* (\wurzel{n+a} -\wurzel{n})[/mm]
> =
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{n} \* \bruch{(\wurzel{n+a} -\wurzel{n})\*(\wurzel{n+a} +\wurzel{n})}{(\wurzel{n+a} +\wurzel{n})}[/mm]
> =
>
> [mm]limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel{n}\* a}{\wurzel{n+a} +\wurzel{n}}[/mm]
>
> <= [mm]limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel{n}\* a}{2*\wurzel{n}}[/mm]
>
>
> = [mm]\bruch{a}{2}[/mm]
>
> Meine Frage ist jetzt eher allgemeiner Natur. Wenn ich das
> so "Abschätze" also x<=y sage: Warum ist x zu dem gleichen
> Punkt konvergent, wie y?
Das wird im allgemeinen auch so nicht sein !! Wie kommst Du darauf ?
Nimm an, Du hast zwei Folgen [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] und Du weißt, dass [mm] (b_n) [/mm] konvergiert und dass gilt
(*) [mm] a_n \le b_n [/mm] für jedes n.
Dann muß [mm] (a_n) [/mm] nicht konvergieren !!. Beispiel: [mm] a_n=(-1)^n [/mm] , [mm] $b_n [/mm] = 1+1/n$
Sollte [mm] (a_n) [/mm] auch konvergieren, so folgt aus (*) "nur":
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n \le \limes_{n\rightarrow\infty}b_n
[/mm]
FRED
> Ich versteh nicht, warum und wann
> man das einfach so sagen darf. In diesem Fall habe ich mir
> das noch so erklären können, dass a bel. aber fest ist -
> also eine Konstante. Dann ist das N, ab dem die Folge
> konvergent ist eben etwas größer.
> Aber ich verstehe nicht, warum man so was im Allgemeinen
> machen kann und es gilt dann einfach so?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:56 Mi 18.05.2011 | | Autor: | xyllyxy |
> Das wird im allgemeinen auch so nicht sein !! Wie kommst Du
> darauf ?
>
> Nimm an, Du hast zwei Folgen [mm](a_n)[/mm] und [mm](b_n)[/mm] und Du weißt,
> dass [mm](b_n)[/mm] konvergiert und dass gilt
>
> (*) [mm]a_n \le b_n[/mm] für jedes n.
>
> Dann muß [mm](a_n)[/mm] nicht konvergieren !!. Beispiel: [mm]a_n=(-1)^n[/mm]
> , [mm]b_n = 1+1/n[/mm]
>
>
>
>
> Sollte [mm](a_n)[/mm] auch konvergieren, so folgt aus (*) "nur":
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n \le \limes_{n\rightarrow\infty}b_n[/mm]
>
Aus deinen Worten entnehme ich, dass ich mit der Abschätzung (noch) gar nicht gezeigt habe, dass es gegen [mm] \bruch{a}{2} [/mm] konvergiert?
Unter welchen Bedingungen kann ich denn durch Abschätzen überhaupt etwas über den Grenzwert aussagen? (Also abgesehen mal vom Sandwich-Theorem). Dies betrifft genau mein Verständnisproblem...
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Mal ein ganz einfaches Beispiel:
Du möchtest beweisen, dass:
x+2 > y
[mm] \Rightarrow x>\bruch{y}{2}
[/mm]
Schätzt du das jetzt ab, bsp:
x+4 > y
[mm] \Rightarrow x>\bruch{y}{4}
[/mm]
Du bekommst also dein größeres N.
Wenn der abgeschätzte Term gilt, dann gilt der andere (größere) doch erst recht.
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Hallo,
und noch mehr Senf dazu:
> Berechnen Sie für beliebiges a ∈ R, a ≥ 0:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{n}[/mm] · [mm](\wurzel{n+a} -\wurzel{n})[/mm]
>
> Hinweis: Wenden Sie die dritte Binomische Formel an.
> Hallo Zusammen.
>
> Ich habe die Aufgabe folgendermaßen gelöst.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{n} \* (\wurzel{n+a} -\wurzel{n})[/mm]
> =
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{n} \* \bruch{(\wurzel{n+a} -\wurzel{n})\*(\wurzel{n+a} +\wurzel{n})}{(\wurzel{n+a} +\wurzel{n})}[/mm]
Hier besteht kein Grund abzuschätzen.
Klammere im Nenner [mm]\sqrt{n}[/mm] aus:
[mm]\sqrt{n+a}+\sqrt{n}=\sqrt{n\cdot{}\left(1+\frac{a}{n}\right)}+\sqrt{n}=\sqrt{n}\cdot{}\sqrt{1+\frac{a}{n}}+\sqrt{n}=\sqrt{n}\cdot{}\left[\sqrt{1+\frac{a}{n}}+1}\right][/mm]
Dann kannst du das [mm]\sqrt{n}[/mm] gegen das im Zähler kürzen und [mm]n\to\infty[/mm] laufen lassen ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 Mi 18.05.2011 | | Autor: | xyllyxy |
> Hier besteht kein Grund abzuschätzen.
>
> Klammere im Nenner [mm]\sqrt{n}[/mm] aus:
>
> [mm]\sqrt{n+a}+\sqrt{n}=\sqrt{n\cdot{}\left(1+\frac{a}{n}\right)}+\sqrt{n}=\sqrt{n}\cdot{}\sqrt{1+\frac{a}{n}}+\sqrt{n}=\sqrt{n}\cdot{}\left[\sqrt{1+\frac{a}{n}}+1}\right][/mm]
>
> Dann kannst du das [mm]\sqrt{n}[/mm] gegen das im Zähler kürzen
> und [mm]n\to\infty[/mm] laufen lassen ...
Wenn du da so machst benutzt du aber nicht die 3. binomisch Formel oder? Okay man muss den Hinweis ja nicht nutzen, aber mir geht es bei dem Beispiel auch hauptsächlich um das Abschätzen: Ich verstehe einfach nicht, warum (bzw. wann) Abschätzen funktioniert. Ich wollte es an einem Beispiel diskutieren, bei dem man das machen kann, um den Grenzwert zu berechnen, damit ich verstehen lerne, es richtig anzuwenden bzw. zu wissen warum ich es soll/darf.
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Hallo nochmal,
> > Hier besteht kein Grund abzuschätzen.
> >
> > Klammere im Nenner [mm]\sqrt{n}[/mm] aus:
> >
> >
> [mm]\sqrt{n+a}+\sqrt{n}=\sqrt{n\cdot{}\left(1+\frac{a}{n}\right)}+\sqrt{n}=\sqrt{n}\cdot{}\sqrt{1+\frac{a}{n}}+\sqrt{n}=\sqrt{n}\cdot{}\left[\sqrt{1+\frac{a}{n}}+1}\right][/mm]
> >
> > Dann kannst du das [mm]\sqrt{n}[/mm] gegen das im Zähler kürzen
> > und [mm]n\to\infty[/mm] laufen lassen ...
>
> Wenn du da so machst benutzt du aber nicht die 3. binomisch
> Formel oder?
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Die ist doch schon längst benutzt, oben steht nur der Schritt für die Umformung im Nenner, der ja erst nach Anwendung der Erweiterung für die 3.binom. Formel entsteht ...
> Okay man muss den Hinweis ja nicht nutzen,
Doch, haben wir (bzw. du) doch benutzt!!
Nochmal auf einen Blick:
gesucht: [mm]\lim\limits_{n\to\infty}(\sqrt{n}\cdot{}(\sqrt{n+a}-\sqrt{n}))[/mm]
[mm]\sqrt{n}\cdot{}(\sqrt{n+a}-\sqrt{n})=\frac{\sqrt{n}\cdot{}(\sqrt{n+a}-\sqrt{n})\cdot{}\red{(\sqrt{n+a}+\sqrt{n})}}{\red{\sqrt{n+a}+\sqrt{n}}}[/mm]
Das ist die Anwendung des Tipps mit der 3.binom. Formel, damit vereinfacht sich der Zähler zu
[mm]=\frac{\sqrt{n}\cdot{}a}{\red{\sqrt{n+a}+\sqrt{n}}}[/mm]
Nun die Umformung im Nenner
[mm]=\frac{\sqrt{n}\cdot{}a}{\sqrt{n}\cdot{}\left[\sqrt{1+\frac{a}{n}}+1\right]}=\frac{a}{\sqrt{1+\frac{a}{n}}+1}\longrightarrow \frac{a}{\sqrt{1+0}+1}=\frac{a}{2}[/mm] für [mm] $n\to\infty$
[/mm]
> aber mir geht es bei dem Beispiel auch hauptsächlich um
> das Abschätzen:
Hier nicht vonnöten!
> Ich verstehe einfach nicht, warum (bzw.
> wann) Abschätzen funktioniert. Ich wollte es an einem
> Beispiel diskutieren, bei dem man das machen kann, um den
> Grenzwert zu berechnen, damit ich verstehen lerne, es
> richtig anzuwenden bzw. zu wissen warum ich es soll/darf.
Dann schau dir das Sandwichlemma an ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:06 Mi 18.05.2011 | | Autor: | xyllyxy |
Hallo,
ah okay - hatte das vollkommen Fehlinterpretiert - danke für die schön ausführliche Klarstellung! Dann kann einem bei den Grenzwertbestimmungen nur dann die Abschätzung helfen, wenn man es im Sinne des Sandwichtheorems anwendet? In dem Fall würde das meine Frage beantworten bzw. meine Verwirrung auflösen.
Tolles Forum - hier wird ja richtig schnell reagiert :)
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Hallo xyllyxy,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> Dann kann einem bei den Grenzwertbestimmungen nur dann die
> Abschätzung helfen, wenn man es im Sinne des Sandwichtheorems
> anwendet?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau!
Gruß vom
Roadrunner
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