Warum keine Nullst. ermittelt? < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:07 Do 03.09.2009 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | | $ [mm] f(x)=-\bruch{3}{4}x^{2}+\bruch{2}{3}x-\bruch{1}{6} [/mm] $ +1 |
Warum kriege ich keine Nullstellen ermittelt, obgleich die Fkt.
a) Nullstellen haben muss, da das absolute Glied positiv u.
b) der Plotter auch welche zeigt????
Ich habe gerechnet:
f(x) = 0
$ [mm] 0=-\bruch{3}{4}x^{2}+\bruch{2}{3}x+\bruch{5}{6} [/mm] $
jetzt [mm] -\bruch{3}{4} [/mm] ausklammern:
0= [mm] -\bruch{3}{4} (x^2 [/mm] - [mm] \bruch{8}{9}x [/mm] - [mm] \bruch{10}{9})
[/mm]
quadrat. Erg.:
$ [mm] \bruch{106}{81} [/mm] $ = - [mm] \bruch{3}{4} [/mm] (x - [mm] \bruch{4}{9})^2
[/mm]
jetzt [mm] :-\bruch{3}{4}
[/mm]
Aber man kann keine Wurzel aus einer neg. Zahl ziehen, damit keine Lösg. u. d.h. keine Nullst.
Ausgangs-Fkt. wurde aber extra um 1 Einh. nach oben (+1 am Ende) verschob., damit sie Nullst. bekommt.
Plotter zeigt diese auch an (s.Foto)!!!!
[img] und [url=1]
Ich kapiere es einfach nicht.
Es ist wie verflixt.
Kann es jmd. lösen?
Das wäre phantastisch!
DANKE
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo Giraffe,
> [mm]f(x)=-\bruch{3}{4}x^{2}+\bruch{2}{3}x-\bruch{1}{6}[/mm] +1
> Warum kriege ich keine Nullstellen ermittelt, obgleich die
> Fkt.
> a) Nullstellen haben muss, da das absolute Glied positiv
> u.
> b) der Plotter auch welche zeigt????
> Ich habe gerechnet:
> f(x) = 0
>
> [mm]0=-\bruch{3}{4}x^{2}+\bruch{2}{3}x+\bruch{5}{6}[/mm]
>
> jetzt [mm]-\bruch{3}{4}[/mm] ausklammern:
>
> 0= [mm]-\bruch{3}{4} (x^2[/mm] - [mm]\bruch{8}{9}x[/mm] - [mm]\bruch{10}{9})[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> quadrat. Erg.:
>
> [mm]\bruch{106}{81}[/mm] = - [mm]\bruch{3}{4}[/mm] (x - [mm]\bruch{4}{9})^2[/mm]
Das ist doch schon ganz ok, aber den Vorfaktor lassen wir mal beiseite, der ist für die NST nicht von Bedeutung und macht dir so die linke Seite der Gleichung kaputt, dort müsste dann [mm] $-\frac{3}{4}\cdot{}\frac{106}{81}$ [/mm] stehen ...
[mm] $-\frac{3}{4}\cdot{}\left(x^2-\frac{8}{9}x-\frac{10}{9}\right) [/mm] \ = \ 0 \ [mm] \gdw [/mm] \ [mm] x^2-\frac{8}{9}x-\frac{10}{9} [/mm] \ = \ 0$
[mm] $\gdw \left(x-\frac{4}{9}\right)^2-\left(\frac{4}{9}\right)^2-\frac{10}{9}=0$
[/mm]
[mm] $\gdw \left(x-\frac{4}{9}\right)^2-\frac{16}{81}-\frac{90}{81}=0$
[/mm]
[mm] $\gdw \left(x-\frac{4}{9}\right)^2=\frac{106}{81}$
[/mm]
...
>
> jetzt [mm]:-\bruch{3}{4}[/mm]
>
> Aber man kann keine Wurzel aus einer neg. Zahl ziehen,
> damit keine Lösg. u. d.h. keine Nullst.
> Ausgangs-Fkt. wurde aber extra um 1 Einh. nach oben (+1 am
> Ende) verschob., damit sie Nullst. bekommt.
> Plotter zeigt diese auch an (s.Foto)!!!!
> [img]und [url=1]
> Ich kapiere es einfach nicht.
> Es ist wie verflixt.
> Kann es jmd. lösen?
> Das wäre phantastisch!
> DANKE
>
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Do 03.09.2009 | | Autor: | Giraffe |
Erstmal DANKE!!
Ja, schön, aber ich bin bis zum Anschlag gefrustet.
Ich habe also NICHTS falsch gemacht; ich hätte nur von Anfang an gleich durch
- [mm] \bruch{3}{4} [/mm] teilen sollen?
Dann
0 = [mm] x^2 [/mm] - [mm] \bruch{8}{9} [/mm] - [mm] \bruch{10}{9}
[/mm]
Und genau das kapiere ich nicht oder will es genauer wissen.
Bisher konnte ich bei Gleichungen anfangen egal wo mit, entweder mit -7 , mit +4x oder /2 oder umgekehrt. Es war wirkl. egal, weil jede beliebige Reihenfolge (der Arb.anweisungen) zum gleichen Ziel führte.
So u. jetzt soll das plötzlich anders sein?
Ich hatte das gleiche (genau das gleiche Probl.?) neulich schon mal. Da ging es um die Frage, wo sich die beiden Graphen [mm] f(x)=x^2 [/mm] und g(x)=x schneiden.
Dann: [mm] x^2 [/mm] = x
jetzt geteilt durch x, dann:
x = 1
Ja, das ist ein richtiger echter Schnittpkt. der beiden. Falsch ist es nicht, aber der 2.te Schnittpkt. fällt dabei einfach unterm Tisch.
Gibt es vllt. eine Regel, immer gleich den besten Ansatz zu wählen, ohne in die Sackgasse zu laufen?
(Ich rechne hier stundenlang u. immer wieder von vorn u. kapiere es nicht, weil ich nicht den Fehler finde).
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Hallo nochmal,
> Erstmal DANKE!!
> Ja, schön, aber ich bin bis zum Anschlag gefrustet.
Calma! 
> Ich habe also NICHTS falsch gemacht;
ein bisschen schon, du hast innerhalb der Klammer quadratisch ergänzt, aber den hinteren Summanden einfach so rübergezogen, als stünde er nicht in der Klammer ...
Genauer:
[mm] $-\frac{3}{4}\cdot{}\left[x^2-\bruch{8}{9}-\bruch{10}{9}\right]=0$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] ...$
[mm] $\gdw -\frac{3}{4}\cdot{}\left[\left(x-\bruch{4}{9}\right)^2-\bruch{106}{81}\right]=0$
[/mm]
Und hier darfst du natürlich nicht einfach so die [mm] $-\frac{106}{81}$ [/mm] rüberbringen, es gilt immer noch das Distributivgesetz, du müsstest zunächst distributiv ausmultiplizieren:
[mm] $\gdw -\frac{3}{4}\cdot{}\left(x-\frac{4}{9}\right)^2+\frac{3}{4}\cdot{}\frac{106}{81}=0$
[/mm]
Siehst du nun den Fehler genau?
> ich hätte nur von
> Anfang an gleich durch
> - [mm]\bruch{3}{4}[/mm] teilen sollen?
Das ist der weniger fehleranfällige Weg, ja!
> Dann
> 0 = [mm]x^2[/mm] - [mm]\bruch{8}{9}[/mm] - [mm]\bruch{10}{9}[/mm]
>
> Und genau das kapiere ich nicht oder will es genauer
> wissen.
>
> Bisher konnte ich bei Gleichungen anfangen egal wo mit,
> entweder mit -7 , mit +4x oder /2 oder umgekehrt. Es war
> wirkl. egal, weil jede beliebige Reihenfolge (der
> Arb.anweisungen) zum gleichen Ziel führte.
So ganz genau verstehe ich die Frage nicht, aber wenn du [mm] $-\frac{3}{4}$ [/mm] ausklammerst, hast du ja ein Produkt: [mm] $-\frac{3}{4}\cdot{}\text{bla}$
[/mm]
Und ein Produkt ist genau dann =0, wenn (mind.) einer der Faktoren =0 ist
Nun ist [mm] $-\frac{3}{4}$ [/mm] offensichtlich nicht 0, also muss [mm] $\text{bla}$ [/mm] (der Klammerausdruck) =0 sein ...
> So u. jetzt soll das plötzlich anders sein?
Klärt die ausführliche Fehlersuche oben deine Frage?
> Ich hatte das gleiche (genau das gleiche Probl.?) neulich
> schon mal. Da ging es um die Frage, wo sich die beiden
> Graphen [mm]f(x)=x^2[/mm] und g(x)=x schneiden.
> Dann: [mm]x^2[/mm] = x
> jetzt geteilt durch x, dann:
> x = 1
> Ja, das ist ein richtiger echter Schnittpkt. der beiden.
> Falsch ist es nicht, aber der 2.te Schnittpkt. fällt dabei
> einfach unterm Tisch.
Ja, denn das Teilen durch x setzt ja [mm] $x\neq [/mm] 0$ voraus. Durch 0 teilen ist ein grobes Foul.
Diesen Fall müsstest du dann gesondert betrachten.
Für $x=0$ ist [mm] $0^2=0$ [/mm] richtig, also ist $x=0$ auch Lösung von [mm] $x^2=x$
[/mm]
Alternativ kannst du $-x$ rechnen und bekommst [mm] $x^2-x=0$
[/mm]
Ausklammern: [mm] $\gdw x\cdot{}(x-1)=0$
[/mm]
Nun wieder den obigen Satz vom Nullprodukt ...
Das liefert dir die Schnittstellen $x=0,1$
>
> Gibt es vllt. eine Regel, immer gleich den besten Ansatz zu
> wählen, ohne in die Sackgasse zu laufen?
Na, ne goldene Allheilregel gibt's nicht.
Passe nur immer auf, dass du nicht durch 0 teilst, wenn du bei Umformungen teilen musst.
Ansonsten hast du halt hier bei der Rechnung nicht beachtet, dass du die ganzen Umformungen in einer Klammer (der großen eckigen ) gemacht hast und an das Distributivgesetz gebunden warst ...
> (Ich rechne hier stundenlang u. immer wieder von vorn u.
> kapiere es nicht, weil ich nicht den Fehler finde).
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:23 Do 03.09.2009 | | Autor: | abakus |
> [mm]f(x)=-\bruch{3}{4}x^{2}+\bruch{2}{3}x-\bruch{1}{6}[/mm] +1
> Warum kriege ich keine Nullstellen ermittelt, obgleich die
> Fkt.
> a) Nullstellen haben muss, da das absolute Glied positiv
> u.
> b) der Plotter auch welche zeigt????
> Ich habe gerechnet:
> f(x) = 0
>
> [mm]0=-\bruch{3}{4}x^{2}+\bruch{2}{3}x+\bruch{5}{6}[/mm]
>
> jetzt [mm]-\bruch{3}{4}[/mm] ausklammern:
>
> 0= [mm]-\bruch{3}{4} (x^2[/mm] - [mm]\bruch{8}{9}x[/mm] - [mm]\bruch{10}{9})[/mm]
>
> quadrat. Erg.:
Die muss in der Klammer erfolgen, man erhält
0= [mm]-\bruch{3}{4} (x^2[/mm] - [mm]\bruch{8}{9}x[/mm][mm] +\bruch{16}{81}-\bruch{16}{81}-\bruch{10}{9})
[/mm]
0= [mm] -\bruch{3}{4}((x-\bruch{4}{9})^2-(\bruch{16}{81} +\bruch{10}{9}))
[/mm]
0= [mm] -\bruch{3}{4}((x-\bruch{4}{9})^2-\bruch{106}{81})
[/mm]
Das ist nur dann Null, wenn [mm] (x-\bruch{4}{9})^2-\bruch{106}{81}=0 [/mm] gilt.
Gruß Abakus
>
> [mm]\bruch{106}{81}[/mm] = - [mm]\bruch{3}{4}[/mm] (x - [mm]\bruch{4}{9})^2[/mm]
>
> jetzt [mm]:-\bruch{3}{4}[/mm]
>
> Aber man kann keine Wurzel aus einer neg. Zahl ziehen,
> damit keine Lösg. u. d.h. keine Nullst.
> Ausgangs-Fkt. wurde aber extra um 1 Einh. nach oben (+1 am
> Ende) verschob., damit sie Nullst. bekommt.
> Plotter zeigt diese auch an (s.Foto)!!!!
> [img]und [url=1]
> Ich kapiere es einfach nicht.
> Es ist wie verflixt.
> Kann es jmd. lösen?
> Das wäre phantastisch!
> DANKE
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:51 Do 03.09.2009 | | Autor: | MatheOldie |
Hallo Giraffe,
ich kann dich "trösten":
> Ich habe also NICHTS falsch gemacht
Das trifft nicht zu. Neben einem Faktor-Fehler gibt es noch einen bedeutsamen Vorzeichenfehler:
Schachuzipus hat vorgerechnet:
> 0= [mm]-\bruch{3}{4}((x-\bruch{4}{9})^2-(\bruch{16}{81} +\bruch{10}{9}))[/mm]
>
> 0= [mm]-\bruch{3}{4}((x-\bruch{4}{9})^2-\bruch{106}{81})[/mm]
Daraus ergibt sich
0= [mm]-\bruch{3}{4}(x-\bruch{4}{9})^2 + \bruch{3}{4}*\bruch{106}{81}[/mm]
und damit weiter
[mm]-\bruch{3}{4}*\bruch{106}{81}= -\bruch{3}{4}(x-\bruch{4}{9})^2[/mm]
Beim Weiterrechnen *(-4/3) ergibt sich dann die Lösung ...
Ein anderer Punkt:
> Ich hatte das gleiche (genau das gleiche Probl.?) neulich schon mal. Da > ging es um die Frage, wo sich die beiden Graphen und g(x)=x schneiden.
> Dann: = x jetzt geteilt durch x,
> dann: x = 1
> Ja, das ist ein richtiger echter Schnittpkt. der beiden. Falsch ist es nicht, aber der 2.te Schnittpkt. fällt dabei einfach unterm Tisch.
Die zweite Lösung fällt unter den Tisch, weil du durch x dividiert hast, das darfst du aber nur, wenn x [mm]\neq[/mm]0! Deshalb "verlierst" du diese Lösung. Das geschieht nicht, wenn du so rechnest:
[mm]x^2 = x[/mm] | -x
[mm]x^2 -x = 0[/mm]
[mm]x*(x-1) = 0[/mm]
Und jetzt erhälst du beide Lösungen.
Rezepte in deinem gewünschten Sinne gibt es nicht, aber Erfahrungen. Aus einigen deiner Beiträge ergibt sich für mich, dass du manchmal mit dem mathematischen Kopf durch die Wand gehen möchtest, anstatt die Tür zu nehmen :), dabei nimmt die Fehler- und Frustgefahr natürlich zu.
Gruß, MatheOldie
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