Was ist dieses dy/dx? < Integr.+Differenz. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:45 Fr 06.08.2010 | | Autor: | lzaman |
Hallo, und entschuldigt die Anfängerfrage.
Aber was ist dieses [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] statt [mm] \;f(x)?
[/mm]
Ich weiss ja, dass es gegen 0 geht um ein Steigungsdreieck einer Tangente zu sein.
Also kann man es auch als [mm] \bruch{\Delta{}y}{\Delta{}x} [/mm] schreiben. Und der [mm] \limes_{x\rightarrow{}0}\bruch{\Delta{}y}{\Delta{}x} [/mm] ist die 1. Ableitung einer Funktion.
Soweit so gut, nun aber sehe ich öfter die Ausdrücke [mm] \bruch{d}{dx} [/mm] oder [mm] \bruch{d^2t}{d^2x} [/mm]
Bei diesen Schreibeweisen fehlt mir einfach die Vorstellungskraft. Vielleicht könnt Ihr sie deuten und mir dazu mehr erzählen.
Danke
LG Lzaman
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Hallo,
> Hallo, und entschuldigt die Anfängerfrage.
>
> Aber was ist dieses [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] statt [mm]\;f(x)?[/mm]
Vorsicht: [mm]\bruch{dy}{dx} = y\red{'} = f\red{'}(x) \not= f(x)[/mm]
>
> Ich weiss ja, dass es gegen 0 geht um ein Steigungsdreieck
> einer Tangente zu sein.
>
> Also kann man es auch als [mm]\bruch{\Delta{}y}{\Delta{}x}[/mm]
> schreiben. Und der
> [mm]\limes_{x\rightarrow{}0}\bruch{\Delta{}y}{\Delta{}x}[/mm] ist
> die 1. Ableitung einer Funktion.
Korrekt. Es gilt $ [mm] \limes_{x\rightarrow{}0}\bruch{\Delta{}y}{\Delta{}x} [/mm] =: [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{df(x)}{dx} [/mm] $
>
> Soweit so gut, nun aber sehe ich öfter die Ausdrücke
> [mm]\bruch{d}{dx}[/mm] oder [mm]\bruch{d^2t}{d^2x}[/mm]
ersteres macht keinen Sinn. Du meinst womöglich $ [mm] \bruch{d}{dx} [/mm] f(x) = [mm] \bruch{df(x)}{dx} [/mm] $.
[mm] $\bruch{d^2t}{d^2x} [/mm] $ ist die zweite Ableitung der Funktion $ t $ nach der Variablen $ x $
>
> Bei diesen Schreibeweisen fehlt mir einfach die
> Vorstellungskraft. Vielleicht könnt Ihr sie deuten und mir
> dazu mehr erzählen.
Siehe: ![[]](/images/popup.gif) Wiki:Notation
>
> Danke
>
> LG Lzaman
>
>
Grüße
ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:44 Fr 06.08.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo ChopSuey!
> [mm]\bruch{d^2t}{d^2x}[/mm] ist die zweite Ableitung der Funktion [mm]t[/mm] nach der Variablen [mm]x[/mm]
Dann sollte aber hier stehen (diese Anmerkung gilt auch in Richtung lzaman):
[mm] $$\bruch{d^2t}{dx^2}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:40 Fr 06.08.2010 | | Autor: | lzaman |
Super, das erste hab ich verstanden mit [mm] \;y=f(x) [/mm] ist
[mm] \bruch{dy}{dx}=\bruch{d}{dx}f(x)=\bruch{df(x)}{dx}
[/mm]
Nun aber zum [mm] \bruch{d^2y}{dx^2}. [/mm] Wie kann man das umformen, damit ich es mir vorstellen kann.
Etwa wie im ersten Beispiel?
LG Lzaman
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:49 Fr 06.08.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo iceman
$ [mm] \bruch{d^2y}{dx^2}=\bruch{d}{dx}(\bruch{dy}{dx}. [/mm] $
Wenn man das wie nen gewöhnlichen bruch mit Symbolen multipliziert ergibt sich dieser symbolische Ausdruck auch kurz :$ [mm] \bruch{d^2y}{dx^2}=y''$
[/mm]
Die Striche bedeuten ja auch erst mit der definition azu was.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 Di 10.08.2010 | | Autor: | lzaman |
Hallo Loddar, ich habe hier noch eine Baustelle:
Bruchmultiplikation ergibt:
[mm] \bruch{d}{dx}\left(\bruch{dy}{dx}\right)=\bruch{d^2y}{d^2x^2}. [/mm]
Wie kommt man denn auf [mm] \bruch{d^2y}{dx^2} [/mm] als Lösung ?
LG Lzaman
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Hallo,
> Hallo Loddar, ich habe hier noch eine Baustelle:
>
> Bruchmultiplikation ergibt:
>
> [mm]\bruch{d}{dx}\left(\bruch{dy}{dx}\right)=\bruch{d^2y}{d^2x^2}.[/mm]
>
> Wie kommt man denn auf [mm]\bruch{d^2y}{dx^2}[/mm] als Lösung ?
Das klappt nun eben leider nicht so schön mit Bruchrechnen.
Man könnte den Ausdruck theoretisch auch wie von dir vorgeschlagen bezeichnen, aber es ist üblich, für höhere Ableitungen die Potenz nur an die Ableitungsvariable zu schreiben. Mit y = f(x):
[mm] $f^{(n)}(x) [/mm] = [mm] \bruch{d^ny}{dx^n}$.
[/mm]
Bedenke immer: [mm] f^{(n)}(x) [/mm] = [mm] \bruch{d^ny}{dx^n} [/mm] sind nur Bezeichnungen für die n-te Ableitung. Sie haben prinzipiell keine mathematische Bedeutung der Form "Jetzt teilen wir dy durch dx". Dass die Rechenregeln, die dir zum Beispiel Al-Chwarizmi unten gezeigt hat, funktionieren, ist nur "Zufall" bzw. liegt daran, dass die Bezeichung sehr nahe an dem mathematischen Hintergrund gewählt wurde (dx für Abstand der x-Werte, dy für Abstand der y-Werte).
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Di 10.08.2010 | | Autor: | lzaman |
Hallo, ein sehr ausführlicher Artikel, den wir hier erstellt haben.
Ich möchte nur noch eine Frage stellen und damit das Thema abschliessen.
Ich bin doch besser dran, wenn ich diesen Ausdruck [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] als Schreibweise betrachte und mit den bekannten Regeln der Differentialrechnung rechne?
Ein Beispiel:
[mm] f(x)=x^2
[/mm]
dann ist [mm] f'(x)=\bruch{d}{dx}\left[x^2\right]=2x
[/mm]
Mehr ist da nichts dran oder?
LG Lzaman
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Hallo!
> Hallo, ein sehr ausführlicher Artikel, den wir hier
> erstellt haben.
>
> Ich möchte nur noch eine Frage stellen und damit das Thema
> abschliessen.
>
> Ich bin doch besser dran, wenn ich diesen Ausdruck
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] als Schreibweise betrachte und mit den
> bekannten Regeln der Differentialrechnung rechne?
Du musst dir immer im Klaren sein, dass es nur eine Schreibweise ist (genauer gesagt ist es die Bezeichnung der Abbildung der Ableitung. Die Ableitung ist also eine Abbildung zwischen Funktionen, sie ordnet einer Funktion deren Ableitung zu).
Allerdings kann es nicht schaden, sich zu merken, welche "Rechenregeln" trotzdem erlaubt sind. Ich bemerke aber: All diese Rechenregeln werden nicht durch Bruchrechnung bewiesen. D.h. nur weil man schreibt [mm] \frac{d}{dx}x [/mm] = [mm] \frac{dx}{dx}, [/mm] müsste die Ableitung der Funktion f(x) = x noch lange nicht f'(x) = 1 sein. Alle Rechenregeln müssen mit dem Differentialquotienten, Limesbildung usw. bewiesen werden.
> Ein Beispiel:
>
> [mm]f(x)=x^2[/mm]
>
> dann ist [mm]f'(x)=\bruch{d}{dx}\left[x^2\right]=2x[/mm]
Genau. Wenn du nur eine Variable hast, reicht es auch völlig, f'(x) als Bezeichnung zu verwenden.
Grüße,
Stefan
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> Hallo Loddar, ich habe hier noch eine Baustelle:
>
> Bruchmultiplikation ergibt:
>
> [mm]\bruch{d}{dx}\left(\bruch{dy}{dx}\right)=\bruch{d^2y}{d^2x^2}.[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
>
> Wie kommt man denn auf [mm]\bruch{d^2y}{dx^2}[/mm] als Lösung ?
>
> LG Lzaman
Hallo Lzaman,
es ist unsinnig, $\ dx$ als Produkt $\ d*x$ aufzufassen !
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Hallo!
Vielleicht noch ein paar Anmerkungen, wozu diese Notation gut ist.
Einmal geht dein f'(x) davon aus, daß es nur eine Variable gibt, nach der abgeleitet werden kann. d/dx gibt dagegen eindeutig an, daß nach x abgeleitet werden soll, denn die Funktion kann ja von vielen Parametern abhängen.
Dann kann man damit solche Spielchen treiben:
[mm] \frac{ds}{dt}=v
[/mm]
ds=v*dt
[mm] $\int ds=\int [/mm] v*dt$
s=v*t
Oder das hier, wo gekürzt wird:
[mm] \frac{da}{db}*\frac{db}{dc}=\frac{da}{dc}
[/mm]
Die Beispiele sind alles andere als sauber, und Mathematiker bekommen da schnell Bauchschmerzen, während Physiker da doch eher schmerzunempfindlicher sind. Die beiden Fälle sollen hier nur zeigen, daß man mit dieser Schreibweise einige Dinge sehr elegant schreiben kann.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 Di 10.08.2010 | | Autor: | lzaman |
Hallo, ich habe mir noch 2 grundzätzliche Fragen gestellt.
1. Wenn ich also einen Ausdruck der Form $ [mm] \frac{da}{db}\cdot{}\frac{db}{dc}=\frac{da}{dc} [/mm] $ sehe, so kann diesen ich auch als f'(a) nach c abgeleitet schreiben oder?
2. Und nun habe ich noch ein wenig rechechiert, aber nur in für mich relevanten Büchern. Also nur in Büchern, die Mathematik für Ingenieure behandeln. Und bin leider zur der Erkenntnis gekommen, dass es nie ausführlich beschrieben wird, sondern dass es nur eine andere Schreibweise für f'(x) nach Leibniz ist. So will ich euch mein Verständnisproblem nochmal erläutern:
Wir nehmen mal an das [mm] f(x)=x^2 [/mm] ist.
So kann ich die 1. Ableitung [mm] \;f'(x) [/mm] auch als [mm] \bruch{dy}{dx}(x^2) [/mm] schreiben, richtig?
Nun mein Problemchen: Ist es nur eine andere Schreibweise, oder kann man damit irgendwie rechnen? Wenn ich nämlich damit rechnen würde so hätte ich am Ende [mm] \bruch{dy}{d}x [/mm] stehen. Und das kann ich widerum nicht deuten, weil die 1. Ableitung von [mm] x^2 [/mm] bekanntlich ja [mm] \;2x [/mm] ist.
LG Lzaman
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> Hallo, ich habe mir noch 2 grundsätzliche Fragen
> gestellt.
>
> 1. Wenn ich also einen Ausdruck der Form
> [mm]\frac{da}{db}\cdot{}\frac{db}{dc}=\frac{da}{dc}[/mm] sehe, so
> kann ich diesen auch als f'(a) nach c abgeleitet schreiben
> oder?
Nein, das passt nicht. Zumindest müsstest du zuerst die
Funktion f klar definieren. Dabei musst du eine Variable
benützen. Ist zum Beispiel [mm] f(c)=(c^2-3)^2=a [/mm] (mit [mm] b=c^2-3
[/mm]
und [mm] a=b^2),
[/mm]
dann wäre [mm] $\frac{da}{db}\ [/mm] =\ [mm] 2\,b$ [/mm] und [mm] $\frac{db}{dc}\ [/mm] =\ [mm] 2\,c$ [/mm]
und somit
$\ f'(c)\ =\ [mm] \frac{da}{dc}\ [/mm] =\ [mm] \frac{da}{db}\ [/mm] *\ [mm] \frac{db}{dc}\ [/mm] =\ [mm] 4\,b\,c$
[/mm]
bzw.
$\ f'(c)\ =\ [mm] 4\,b\,c$
[/mm]
" f'(a) nach c abgeleitet " wäre [mm] $\frac{d}{dc}\,f'(a)\ [/mm] =\ [mm] \frac{d}{dc}\,(4\,b\,a)\ [/mm] =\ [mm] 4\,b$ [/mm]
> 2. Und nun habe ich noch ein wenig rechechiert, aber nur in
> für mich relevanten Büchern. Also nur in Büchern, die
> Mathematik für Ingenieure behandeln. Und bin leider zur
> der Erkenntnis gekommen, dass es nie ausführlich
> beschrieben wird, sondern dass es nur eine andere
> Schreibweise für f'(x) nach Leibniz ist. So will ich euch
> mein Verständnisproblem nochmal erläutern:
>
> Wir nehmen mal an das [mm]f(x)=x^2[/mm] ist.
>
> So kann ich die 1. Ableitung [mm]\;f'(x)[/mm] auch als
> [mm]\bruch{dy}{dx}(x^2)[/mm] schreiben, richtig?
Nein. Richtig wäre [mm] \bruch{d\,x^2}{dx}
[/mm]
> Nun mein Problemchen: Ist es nur eine andere Schreibweise,
> oder kann man damit irgendwie rechnen?
Es ist eine andere Schreibweise, die aber ihre Stärken darin
hat, dass man tatsächlich (wenigstens in gewissen Fällen) mit
ihr ganz gut rechnen kann.
Das wichtigste Beispiel ist eben die Kettenregel, die hier ja vor-
gekommen ist:
[mm] $\frac{da}{dc}\ [/mm] =\ [mm] \frac{da}{db}\cdot{}\frac{db}{dc}$
[/mm]
(für den Fall, dass a(c) durch die Verkettung zweier Funktionen
mit der vermittelnden Variablen b zustande gekommen ist)
oder die Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion, die man
in ihrer simpelsten Form so notieren kann:
[mm] $\frac{dx}{dy}\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{\frac{dy}{dx}}$
[/mm]
Noch einfacher natürlich:
[mm] $\frac{dx}{dx}\ [/mm] =\ 1$
Diese Formeln kommen mit der Differentialschreibweise wie
einfache Regeln des gewöhnlichen Bruchrechnens daher ,
weshalb man sie sich besonders leicht merken kann.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 Di 10.08.2010 | | Autor: | gfm |
> Hallo, ich habe mir noch 2 grundzätzliche Fragen
> gestellt.
>
> 1. Wenn ich also einen Ausdruck der Form
> [mm]\frac{da}{db}\cdot{}\frac{db}{dc}=\frac{da}{dc}[/mm] sehe, so
> kann diesen ich auch als f'(a) nach c abgeleitet schreiben
> oder?
>
> 2. Und nun habe ich noch ein wenig rechechiert, aber nur in
> für mich relevanten Büchern. Also nur in Büchern, die
> Mathematik für Ingenieure behandeln. Und bin leider zur
> der Erkenntnis gekommen, dass es nie ausführlich
> beschrieben wird, sondern dass es nur eine andere
> Schreibweise für f'(x) nach Leibniz ist. So will ich euch
> mein Verständnisproblem nochmal erläutern:
>
> Wir nehmen mal an das [mm]f(x)=x^2[/mm] ist.
>
> So kann ich die 1. Ableitung [mm]\;f'(x)[/mm] auch als
> [mm]\bruch{dy}{dx}(x^2)[/mm] schreiben, richtig?
>
> Nun mein Problemchen: Ist es nur eine andere Schreibweise,
> oder kann man damit irgendwie rechnen? Wenn ich nämlich
> damit rechnen würde so hätte ich am Ende [mm]\bruch{dy}{d}x[/mm]
> stehen. Und das kann ich widerum nicht deuten, weil die 1.
> Ableitung von [mm]x^2[/mm] bekanntlich ja [mm]\;2x[/mm] ist.
>
> LG Lzaman
Wenn wir uns auf reellwertige Funktionen mit eben solchem Argument beschränken, kann man sagen:
[mm] \frac{df}{dx} [/mm] bezeichnet das Zuordnen von Argument zum Grenzwert des Differenzenquotienten bezüglich dieses Arguments:
[mm] \frac{df}{dx}:A_{f'}\to\IR; x\mapsto\limes_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
[/mm]
[mm] A_{f'} [/mm] ist dabei die Teilmenge von [mm] \IR, [/mm] für die der Grenzwert (eindeutig von links und von rechts) existiert.
[mm] \frac{df}{dx}(x) [/mm] oder auch [mm] \frac{df(x)}{dx} [/mm] bezeichnet, den Wert von [mm] \frac{df}{dx} [/mm] an dieser Stelle, oder auch kürzer f'(x). Neben dem schon erwähnten Vorteil der Präzisierung der Variablenbenennung, hat die erste Schreibweise auch durch aus einen operativen/konstruktiven Charakter:
[mm] \frac{df(x)}{dx}=\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}=\frac{f(x)+a*dx-f(x)}{dx}=\frac{a*dx}{dx}=:f'(x) [/mm] (nur unter der Voraussetung dass so ein Wert a existiert). In der Standardanalysis hat das nur einen heuristischen Wert, da nur die exakte Grenzwertbetrachtung ein Ergebnis rechtfertigt (weil es ja so auch definiert wurde). In der Nonstandardanalysis wird "dx" als infinitesimale Zahl (sauber) konstruiert, die näher bei null liegt, als jede von null verschiedene Zahl ( unendlich große gibt es auch). Und die obige Rechnung wird im Prinzip dort auch so gemacht.
Zumindest kann man mit dem h unter Weglassung des limes schnell heuristisch motivieren, was wohl das Ergebnis sein müßte:
[mm] \frac{d(x)^2}{dx}\approx((x+h)^2-x)/h=(x^2+2*h*x+h^2-x^2)/h=2*x+h\approx2*x
[/mm]
So haben es Leibnitz und Newton gemacht, lange bevor es Cauchyfolgen, Epsilontik und anderes gab.
LG
gfm
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:39 Mi 11.08.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielleicht noch ein paar Anmerkungen, wozu diese Notation
> gut ist.
>
> Einmal geht dein f'(x) davon aus, daß es nur eine Variable
> gibt, nach der abgeleitet werden kann. d/dx gibt dagegen
> eindeutig an, daß nach x abgeleitet werden soll, denn die
> Funktion kann ja von vielen Parametern abhängen.
>
> Dann kann man damit solche Spielchen treiben:
>
> [mm]\frac{ds}{dt}=v[/mm]
>
> ds=v*dt
> [mm]\int ds=\int v*dt[/mm]
> s=v*t
>
> Oder das hier, wo gekürzt wird:
> [mm]\frac{da}{db}*\frac{db}{dc}=\frac{da}{dc}[/mm]
>
> Die Beispiele sind alles andere als sauber, und
> Mathematiker bekommen da schnell Bauchschmerzen, während
> Physiker da doch eher schmerzunempfindlicher sind...
(wir) Mathematiker bekommen nicht wegen der Notation Bauchschmerzen - sondern wir bekommen Bauchschmerzen, wenn nach und nach "nur etwas in dieser symbolischen Schreibweise gerechnet und "bewiesen" wird", man es aber unterläßt, die notwendigen Regeln sauber zu beweisen.
Denn wenn man das alles mal sauber bewiesen hat und diese "symbolische Notation" auch richtig zu deuten weiß, so hat sicher kein Mathematiker was dagegen, diese "symbolische Notation" zu benutzen, um sich gewisse Formeln oder Rechenregeln mal schnell herzuleiten (z.B. die Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion, Kettenregel etc. - wie auch bereits angesprochen wurde) - oder dieses "naive Rechnen" auch zu benutzen, um zu neuen Erkenntnissen (Formeln) zu gelangen (manchmal ist dann das ganze dann ja auch wirklich nur eine noch nicht umgeschriebene Version eines "sauberen" mathematischen Beweises; wobei sicher so manch einer sich fragt, was denn hier nun wirklich "sauber" heißen mag...). Denn den Nutzen dieser Notation bestreitet sicher (kaum ein) kein Mathematiker, aber eine "Rumrechnerei ohne nachzudenken" heißt sicher kein Mathematiker gut.
Also: Um sich z.B. die Kettenregel mal auf die Schnelle herzuleiten, ist das legitim. Als "einwandfreier mathematischer Beweis" geht so eine Rechnung alleine (also ohne ergänzende Worte) meist wohl kaum durch (die Numeriker sind da aber auch ein wenig unempfindlicher) - schließlich hat sich die Integral- und Differentialrechnung ja nicht alleine nur durch Bruchrechnung zu einem solch weitreichenden Gebiet entwickelt. Und manchmal bekommt man, wenn man "symbolisch einfach nur wie mit Brüchen" bei der Differentialrechnung rechnet, sicher auch zu unerklärlichen Ergebnissen. In meiner Schulzeit hatte ich da einige verwierende Ergebnisse errechnet - leider ist das ganze Material nicht mehr aufzufinden noch in meinem Kopf. Aber diese Erfahrung muss(!!) eh eigentlich jeder auch mal für sich machen / gemacht haben.
Beste Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:08 Mi 11.08.2010 | | Autor: | gfm |
> auch wirklich nur eine noch nicht umgeschriebene Version
> eines "sauberen" mathematischen Beweises; wobei sicher so
> manch einer sich fragt, was denn hier nun wirklich "sauber"
> heißen mag...). Denn den Nutzen dieser Notation bestreitet
Ich habe darauf hingewiesen, dass im Kontext der Standardanalysis, das ganze NUR einen heuristischen, das zu beweisende motivierenden Wert hat und das nur der nur exakte Grenzwertbeweis das Ergebnis validiert.
Und mit "sauber" meine ich wohldefiniert und widerspruchsfrei im Kontext der hyperreellen Zahlen.
LG
gfm
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:20 Do 12.08.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo gfm,
>
> > auch wirklich nur eine noch nicht umgeschriebene Version
> > eines "sauberen" mathematischen Beweises; wobei sicher so
> > manch einer sich fragt, was denn hier nun wirklich "sauber"
> > heißen mag...). Denn den Nutzen dieser Notation bestreitet
>
>
> Ich habe darauf hingewiesen, dass im Kontext der
> Standardanalysis, das ganze NUR einen heuristischen, das zu
> beweisende motivierenden Wert hat und das nur der nur
> exakte Grenzwertbeweis das Ergebnis validiert.
da stimme ich Dir voll zu. Ich finde den Hinweis von Dir auch komplett zu!
> Und mit "sauber" meine ich wohldefiniert und
> widerspruchsfrei im Kontext der hyperreellen Zahlen.
Mit hyperreellen Zahlen habe ich mich bis dato (außer einem minimalen Ausflug) noch nicht beschäftigt, aber irgendwie reizt es mich, dass demnächst mal zu tun...
Beste Grüße,
Marcel
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