Was ist ein Häufungspunkt? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
mir begegnet bei einer Aufgabe mit Musterlösung das Wort Häufungspunkt. Habe schon mehrere Definitionen dazu gelesen, jedoch ist mir keine einleuchtend. Kann mir das evtl. einer von hier so erklären, dass ich es verstehe? :/
Danke.
|
|
| |
|
Hallo,
> Hallo,
>
> mir begegnet bei einer Aufgabe mit Musterlösung das Wort
> Häufungspunkt. Habe schon mehrere Definitionen dazu
> gelesen, jedoch ist mir keine einleuchtend. Kann mir das
> evtl. einer von hier so erklären, dass ich es verstehe?
> :/
>
Hast du es denn mal in einem Skript oder Lehrbuch nachgeschlagen?
Ein Häufungspunkt einer Folge liegt vor, wenn in einer beliebig kleinen Umgebung um diesen Punkt unendlich viele Folgenglieder liegen. So besitzt bspw. die Folge
[mm] a_n=(-1)^n*\bruch{n-1}{n+1}
[/mm]
die beiden Häufungspunkte -1 und 1. Mache dir klar, weshalb!
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Evtl. weil der Wert der Folge immer zwischen -1 und 1 liegt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:42 So 13.07.2014 | | Autor: | hippias |
Diophant erklaert:
Ein Häufungspunkt einer Folge liegt vor, wenn in einer beliebig kleinen Umgebung um diesen Punkt unendlich viele Folgenglieder liegen.
Du begruendest nun so:
> Evtl. weil der Wert der Folge immer zwischen -1 und 1
> liegt?
Das ist schon erstaunlich...
|
|
|
| |
|
Danke für dein produktiven Beitrag.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:11 So 13.07.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo alfonso2020,
hier muss mal was geklärt werden: uns (den Antwortenden) muss es möglich sein darauf hinzuweisen, dass ein Beitrag nicht gründlich genug gelesen wurde. Genau das hat hippias völlig zu Recht getan und es gibt keinen Grund, hier pampig zu reagieren.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:48 So 13.07.2014 | | Autor: | M.Rex |
> Evtl. weil der Wert der Folge immer zwischen -1 und 1
> liegt?
Das ist aber nicht das Entscheidende.
Wichtig ist, zu erkennen, dass die Folge quasi zwischen den beiden Punkten "hin und hersprignt".
Du kannst also bei beiden Häufungspunkten je eine [mm] $\varepsilon$-Umgebungen [/mm] legen, und triffst in beiden Umgebungen unenlich viele Folgenglieder
Marius
|
|
|
| |
|
Die Folge hat die Häufungspunkte 1 und -1 weil die Folge für positive Werte gegen 1 konvergiert und für negative Werte gegen -1. Oder?
Wie sieht es bei Funktionen aus?
Wenn ich folgende Funktion habe :
f(x) = x+1 für [mm] -2\lex\le0 [/mm] und [mm] \bruch{1}{2}x+2 [/mm] für 0 < x < 2
Ich weiß das 0 der Häufungspunkt ist. Aber wie erkenne ich den? :/
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:09 So 13.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Die Folge hat die Häufungspunkte 1 und -1 weil die Folge
> für positive Werte gegen 1 konvergiert und für negative
> Werte gegen -1. Oder?
Nein, weil [mm] a_{2n} \to [/mm] 1 und [mm] a_{2n+1} \to [/mm] -1
>
> Wie sieht es bei Funktionen aus?
Was ????
>
> Wenn ich folgende Funktion habe :
>
> f(x) = x+1 für [mm]-2\lex\le0[/mm]
Du meinst wohl für [mm]-2\le x\le 0[/mm]
> und [mm]\bruch{1}{2}x+2[/mm] für 0 < x <
> 2
>
> Ich weiß das 0 der Häufungspunkt ist.
Tatsächlich ? Ich nicht ? Häufungspunkt von was ? Sind wir jetzt bei Häufungspunkten von Mengen ??
0 ist Häufungspunkt von [-2,2)
FRED
> Aber wie erkenne
> ich den? :/
|
|
|
| |
|
> Wie sieht es bei Funktionen aus?
>
> Wenn ich folgende Funktion habe :
>
> f(x) = x+1 für [mm]-2\lex\le0[/mm] und [mm]\bruch{1}{2}x+2[/mm] für 0 < x <
> 2
>
> Ich weiß das 0 der Häufungspunkt ist. Aber wie erkenne
> ich den? :/
Hallo,
es wäre echt ganz gut, wenn Du mal sagen würdest, für welche Fragestellung Du Dich gerade interessierst, in welchem Zusammenhang Dein Problem aufgetaucht ist.
Mein Abraxas hat mir im Zusammenspiel mit meiner Kristallkugel etwas geholfen:
Betrachtet wird eine Funktion [mm] f:[-2,2[\to \IR [/mm] mit
[mm]f(x):=\begin{cases} x+1, & \textrm{für } -2\le x\le 0 \\ \bruch{1}{2}x+2, & \textrm{für }0
Der Graph der Funktion f ist aus zwei Teilstücken zusammengesetzt:
über dem Intervall [-2,0] haben wir ein Teilstück der Geraden [mm] f_1(x)=x+1,
[/mm]
über dem Intervall ]0,2[ ein Teilstück der Geraden [mm] f_2(x)=\bruch{1}{2}x+2.
[/mm]
Ich könnte mir nun denken, daß Ihr Euch für die Stetigkeit der Funktion interessiert.
Über den Intervallen [-2,0[ und ]0,2[ ist die Funktion ohne Frage stetig.
Fraglich und daher zu untersuchen ist die Stetigkeit an der "Nahtstelle" [mm] x_0=0, [/mm] an welcher die beiden Bereiche aneinanderstoßen.
Ich denke, daß Ihr nun die Stetigkeit an der Stelle [mm] x_0=0 [/mm] untersucht habt.
[mm] x_0=0 [/mm] ist ein Häufungspunkt von ]0,2[,
also kann man den rechtsseitigen GW an dieser Stelle anschauen, [mm] \lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0}(\bruch{1}{2}x+2)=2,
[/mm]
sehen, daß dieser GW nicht der Funktionswert an der Stelle [mm] x_0=0 [/mm] ist, denn [mm] 2\not=1=f(0).
[/mm]
Also ist die Funktion an der Stelle [mm] x_0=0 [/mm] nicht stetig.
[mm] x_0=0 [/mm] ist einer von sehr vielen Häufungspunkten des Definitionsbereiches D=[-2,2[. Jeder Punkt von D ist ein Häufungspunkt, zusätzlich auch noch x=2.
Das wirst Du bestätigen können, wenn Du Dir die Definition von "Häufungspunkt einer Menge " anschaust.
Daß hier ausgerechnet der Häufungspunkt [mm] x_0=0 [/mm] untersucht wurde, ist deshalb, weil die Funktion hier eine interessante Stelle hat - die "Nahtstelle".
LG Angela
|
|
|
| |
|
> Evtl. weil der Wert der Folge immer zwischen -1 und 1
> liegt?
Hallo,
ganz sicher nicht.
Mit Deiner Begründung hätte auch die Folge [mm] (a_n) [/mm] mit [mm] a_n:=0.123 [/mm] die beiden Häufungspunkte -1 und 1, was nun wirklich gegen jede Intuition ist - und auch nicht der Def. von "Häufungspunkt" entspricht.
LG Angela
|
|
|
|
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
diesen Link