Weg einer irreduziblen Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:36 Sa 07.06.2014 | | Autor: | Emilie1991 |
| Aufgabe | | Sei A 0 (aij) [mm] \in (\IR) [/mm] und A [mm] \ge [/mm] 0. Wir definieren einen gerichteten Graphen. |
Guten Abend,
Zur Zeit beschäftige ich mich mit nichtnegativen Matrizen. Leider habe ich gar nicht verstanden wie man bei einer Matrix einen gerichteten Graphen angibt? Könnte mir dies vielleicht jemand an einem Beispiel erläutern?
Ich weiß, dass folgender Satz gilt:
Ist A nichtnegativ, so nennen wir A irreduzibel, falls es zu jedem Paar (i,j) mit i [mm] \not= [/mm] j einen gerichteten Weg von i nach j gibt.
Leider verstehe ich auch nicht wie das gemeint ist?
Ich wäre um Hilfe wirklich dankbar.
Mit freundlichen Grüßen Emilie
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:03 Sa 07.06.2014 | | Autor: | hippias |
Ich vermute es ist eine Nachbarschaftsmatrix o.s.ae gemeint. Z.B. sei $A= [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0}$ [/mm] und die Knotenmenge sei [mm] $\{1,2,3\}$. [/mm] Dann ist die zu $A$ gehoerige Kantenmenge [mm] $\{(1,2), (2,1), (3,2)\}$, [/mm] weil dies genau die Paare $(i,j)$ sind, fuer die [mm] $A_{i,j}= [/mm] 1$ ist. [mm] $A_{i,j}= [/mm] 1$ bedeutet also, dass eine Kante von $i$ nach $j$ existiert. Werte $>1$ koennten bedeuten, dass die Kanten durch entsprechend viele Kanten verbunden sind oder die Zahl dient zur Unterscheidung der Kanten (z.B. Farbe).
Zu der Irreduzibilitaet: Bei meinem obigen Superbeispiel gibt es einen Pfad von $3$ nach $1$ entlang der Kanten $(3,2)$ und $(2,1)$ (Laenge: $2$). Es gibt einen Pfad der Laenge $1$ von $1$ nach $2$, aber kein Pfad fuehrt nach $3$. Daher waere $A$ reduzibel.
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Ehrlich gesagt, habe ich das noch nicht wirklich verstanden :) Also ich habe hier eine 18x18 Matrix. Ich gebe einfach mal einen Ausschnitt davon an:
[mm] \pmat{ 0 & 4 & 3 \\ 1 & 0 & 4 \\ 3 & 1 & 0 }
[/mm]
Der Weg der angeben ist:
1 -> 2 -> 3
Wie komme ich darauf?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:15 Sa 07.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Ich verstehe dein Beispiel nicht. Es gibt viele Möglich-
keiten Irreduzibilität einer Matrix zu zeigen. Hippias
hat dir bereits das "einfachste" Kriterium gegeben. Viel-
leicht nochmal mit anderen Worten:
Man kann entscheiden, ob eine Matrix reduzibel oder ir-
reduzibel ist, indem man für [mm] A=(a_{ij})_{i,j=1,\ldots,n} [/mm] einen Graphen
mit [mm] $n\$ [/mm] Knoten konstruiert, indem eine gerichtete Kante
von Knoten [mm] $i\$ [/mm] zum Knoten [mm] $j\$ [/mm] existiert, wenn [mm] a_{ij}\not=0 [/mm] ist.
Kann man in diesem Graphen ausgehend von einem Knoten alle
anderen auf einem gerichteten Weg (Folge von gerichteten
Knoten) erreichen, ist [mm] $A\$ [/mm] irreduzibel, andernfalls reduzibel.
Gruß
DieAcht
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