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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:02 Fr 29.05.2009 | | Autor: | tynia |
| Aufgabe | Skizziere den folgenden Weg
[mm] \gamma(t)= [/mm]
i+t(-1-i) für [mm] 0\le t\le [/mm] 1
-1-i(t-1) für [mm] 1\le [/mm] t<2
[mm] -1+e^{4i\pi(t-2)-i*\bruch{\pi}{2}} [/mm] für [mm] 2\le [/mm] t<3
[mm] \wurzel{2}e^{i\pi(t-3)-i*\bruch{3\pi}{4}} [/mm] für [mm] 3\le [/mm] t<4 |
Hallo. Kann mir jemand sagen, wie ich das am besten zeichne, oder besser gesagt, wie ich da überhaupt anfange?
Danke schonmal.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:23 Fr 29.05.2009 | | Autor: | abakus |
> Skizziere den folgenden Weg
>
> [mm]\gamma(t)=[/mm]
> i+t(-1-i) für [mm]0\le t\le[/mm] 1
> -1-i(t-1) für [mm]1\le[/mm] t<2
> [mm]-1+e^{4i\pi(t-2)-i*\bruch{\pi}{2}}[/mm] für [mm]2\le[/mm] t<3
> [mm]\wurzel{2}e^{i\pi(t-3)-i*\bruch{3\pi}{4}}[/mm] für [mm]3\le[/mm] t<4
> Hallo. Kann mir jemand sagen, wie ich das am besten
> zeichne, oder besser gesagt, wie ich da überhaupt anfange?
Hallo,
die ersten beiden Teilstücke sind einfache Strecken. Es reicht also aus, mit t=0, t=1 und t=2 Anfangs- und Endpunkt der jeweiligen Strecke zu berechnen und in die GZE einzutragen.
Beim 3. und 4. Teilstück solltest du erst mal aus der Exponentialform in eine andere (arithm. oder trigon.) Form umwandeln.
Gruß Abakus
>
> Danke schonmal.
>
> LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:24 Fr 29.05.2009 | | Autor: | tynia |
Ok. Das werde ich machen.Danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Sa 30.05.2009 | | Autor: | tynia |
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hallo.
Ich habe hier eine Lösung für die Aufgabe. Die ist aus der Vorlesung. Aber ich verstehe die nicht so ganz. Wie man auf die Verbindung von -1 und i kommt, habe ich verstanden, aber wie man auf die Verbindung von -1 und -i kommt, weiß ich nicht. Das müsste ja mit der 2.Bedingung zusammenhängen, also -1-i(t-1)= -1+i-it. Müsste ich nicht dann von -1 aus eine Einheit nach links gehen und dann eine Einheit auf der Im(z)-Achse nach oben und dann wieder -i nach unten? Ich verstehe das nicht so ganz. Kannst du mir das nicht irgendwie erklären?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo Tina,
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Hallo.
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> Ich habe hier eine Lösung für die Aufgabe. Die ist aus der
> Vorlesung. Aber ich verstehe die nicht so ganz. Wie man auf
> die Verbindung von -1 und i kommt, habe ich verstanden,
Achtung, die geht gem. der ersten Teildef. von i nach -1 !
> aber wie man auf die Verbindung von -1 und -i kommt, weiß
> ich nicht.
Das geht doch von -1 nach -1-i (da geht doch auch in der Zeichnung nix nach -i)
> Das müsste ja mit der 2.Bedingung
> zusammenhängen, also -1-i(t-1)= -1+i-it. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Und das für [mm] $1\le t\le [/mm] 2$
Für [mm] $\red{t=1}$ [/mm] ergibt sich der Anfangspunkt des zweiten Wegstückes, nämlich [mm] $-1+i-i\cdot{}\red{1}=-1+i-i=-1$
[/mm]
Für [mm] $\blue{t=2}$ [/mm] der Endpunkt $-1-i$, denn [mm] $-1+i-i\cdot{}\blue{2}=-1+i-2i=-1-i$
[/mm]
> Müsste ich nicht
> dann von -1 aus eine Einheit nach links gehen und dann eine
> Einheit auf der Im(z)-Achse nach oben und dann wieder -i
> nach unten? Ich verstehe das nicht so ganz. Kannst du mir
> das nicht irgendwie erklären?
>
>
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:15 Sa 30.05.2009 | | Autor: | tynia |
Danke 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Do 04.06.2009 | | Autor: | tynia |
Hallo nochmal. Die ersten beiden Teilbedingungen habe ich jetzt verstanden, aber wie komme ich jetzt auf die Kreise?
Für die 3.Bedingung: [mm] -1+e^{4i\pi(t-2)-i\cdot{}\bruch{\pi}{2}} [/mm] setzte ich t=2 und t=3, also
t=2 [mm] \Rightarrow -1+e^{4i\pi(0)-i\cdot{}\bruch{\pi}{2}}=-1+e^{-i\cdot{}\bruch{\pi}{2}}=-1-(cos(\bruch{\pi}{2})+isin(\bruch{\pi}{2})=-1-0-1=-2
[/mm]
Das bedeutet doch, dass der Anfangspunkt bei -2 liegt,oder?
Für t=3 [mm] \Rightarrow -1+e^{4i\pi -i\cdot{}\bruch{\pi}{2}}=-1+e^{i\bruch{7\pi}{2}}
[/mm]
Für mich sieht das so aus, als wenn ich einen Kreis um -1 zeichnen müsste, der die -2 schneidet. ich verstehe das nicht so ganz.
Ich weiß auch nicht, wie ich den Weg beschreiben kann.
Ich fange bei i an und gehe dann nach -1. Von da aus gehe ich nach -i usw? Und wie würde ich das weiter beschreiben?
Brauche echt Hilfe. Danke schonmal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:20 Do 04.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Eigentlich solltest du wissen dass [mm] \gamma(t)=e^{it} [/mm] fuer t von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] einen Einheitskreis um 0 beschreibt.
entsprechend, beschreibt [mm] \gamma =z_0+e^{it} [/mm] einen einheitskreis um [mm] z_0
[/mm]
und [mm] \gamma=z_0+r*e^{it} [/mm] einen kreis mit Radius r um [mm] z_0
[/mm]
Der Anfangspunkt von [mm] \gamma(t)=e^{it} [/mm] liegt auf der reellen Achse, der Kreis wird in positiver Richtung durchlaufen.
wenn du jetzt [mm] \gamma(t)=e^{it+i\phi} [/mm] hast faengt der Kreis beim winkel phi zur x Richtung an.
$ [mm] \Rightarrow -1+e^{4i\pi(0)-i\cdot{}\bruch{\pi}{2}}=-1+e^{-i\cdot{}\bruch{\pi}{2}}=-1-(cos(\bruch{\pi}{2})+isin(\bruch{\pi}{2})=-1-0-1=-2 [/mm] $
hier hast du nen Fehler, weil da ja [mm] i*sin\pi/2 [/mm] steht, also hast du -1+0-i
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:26 Do 04.06.2009 | | Autor: | tynia |
Ich glaube jetzt ist der Groschen gefallen Vielen Dank
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Sa 30.05.2009 | | Autor: | tynia |
Hallo.
Ich muss zu diesem Weg
> [mm]\gamma(t)=[/mm]
> i+t(-1-i) für [mm]0\le t<[/mm] 1
> -1-i(t-1) für [mm]1\le[/mm] t<2
> [mm]-1+e^{4i\pi(t-2)-i*\bruch{\pi}{2}}[/mm] für [mm]2\le[/mm] t<3
> [mm]\wurzel{2}e^{i\pi(t-3)-i*\bruch{3\pi}{4}}[/mm] für [mm]3\le[/mm] t<4
die Weglänge bestimmen. Die Formel dafür lautet ja:
[mm] L(\gamma)=\wurzel{Re^{2}(\gamma'(t)+Im^{2}(\gamma'(t)}
[/mm]
Jetzt lese ich in meinen Unterlagen, dass ich auch einfach das Integral von [mm] \integral_{0}^{4}{|\gamma'(t)|dt} [/mm] bestimmen kann. Also ich muss die einzelnen Bedingungen nicht in Imaginär- und Realteil aufspalten. Ist das richtig ? Kann ich mir also aussuchen,wie ich das ausrechne, also mit der einen Formel oder mit der anderen, oder ist das nur in diesem speziellen Fall so?
Ich rechne dann:
[mm] L(\gamma)= \integral_{0}^{1}{|-1-i|dt}+\integral_{1}^{2}{|-i|dt}+\integral_{2}^{3}{|4\pi i e^{4\pi i(t-2)-\bruch{i\pi}{2}}|dt}+\integral_{3}^{4}{|\wurzel{2}\pi i e^{\pi i(t-3)-\bruch{3i\pi}{4}}|dt}
[/mm]
Danke schonmal im Voraus.
LG
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Hallo tynia,
> Hallo.
>
> Ich muss zu diesem Weg
> > [mm]\gamma(t)=[/mm]
> > i+t(-1-i) für [mm]0\le t<[/mm] 1
> > -1-i(t-1) für [mm]1\le[/mm] t<2
> > [mm]-1+e^{4i\pi(t-2)-i*\bruch{\pi}{2}}[/mm] für [mm]2\le[/mm] t<3
> > [mm]\wurzel{2}e^{i\pi(t-3)-i*\bruch{3\pi}{4}}[/mm] für [mm]3\le[/mm] t<4
>
> die Weglänge bestimmen. Die Formel dafür lautet ja:
>
> [mm]L(\gamma)=\wurzel{Re^{2}(\gamma'(t)+Im^{2}(\gamma'(t)}[/mm]
>
> Jetzt lese ich in meinen Unterlagen, dass ich auch einfach
> das Integral von [mm]\integral_{0}^{4}{|\gamma'(t)|dt}[/mm]
> bestimmen kann. Also ich muss die einzelnen Bedingungen
> nicht in Imaginär- und Realteil aufspalten. Ist das richtig
> ? Kann ich mir also aussuchen,wie ich das ausrechne, also
> mit der einen Formel oder mit der anderen, oder ist das nur
> in diesem speziellen Fall so?
>
> Ich rechne dann:
>
> [mm]L(\gamma)= \integral_{0}^{1}{|-1-i|dt}+\integral_{1}^{2}{|-i|dt}+\integral_{2}^{3}{|4\pi i e^{4\pi i(t-2)-\bruch{i\pi}{2}}|dt}+\integral_{3}^{4}{|\wurzel{2}\pi i e^{\pi i(t-3)-\bruch{3i\pi}{4}}|dt}[/mm]
Ja.
Genau genommen ist
[mm]\vmat{\gamma'\left(t}\right)}=\wurzel{Re^{2}\left(\gamma'(t)\right)+Im^{2}\left(\gamma'(t)\right)}[/mm]
>
> Danke schonmal im Voraus.
>
> LG
>
Gruß
MathePower
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