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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 Fr 08.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo alle zusammen!
Hier ist ein Satz, welchen ich nicht verstehe. Leider wird beim Beweis nur eine Richtung gezeigt, bei der ich auch massive Verständnisprobleme habe...
Die anderen leider garnicht :-(.
Alles was "rot" ist, ist mir unklar, und es ist VIEL :-(.
Satz :
Für eine offene Teilmenge X von [mm] \mathbb R^n[/mm] sind äquivalent:
a) X ist zusammenhängend
b) X ist bogenzusmmenhängend
c) Zu je zwei Punkten [mm] x, y \in X [/mm] gibt es einen Weg in X
mit Anfangspunkt x und Endpunkt y.
Es wird a) [mm] \Rightarrow [/mm] c):
Sei [mm] x_0 \in X [/mm]. Sei [mm] A:= \{ x \in X \ | \ x [/mm] kann mit [mm] x_0 [/mm] durch einen Weg verbunden werden [mm] \} [/mm] .
Zu zeigen A = X:
1. z.z. A ist offen in X :
Sei [xx] x [mm] \in [/mm] A \ [mm] \Rightarrow [/mm] [/mm] es gibt eine Kugel B in [mm] \mathbb R^n [/mm] mit mIttelpunkt x. so dass B [mm] \subseteq X [/mm]
( Warum gibt es denn diese Kugel ? )
Sei [mm] \gamma [/mm] ein Weg in X von [mm] x_0 [/mm] nach [mm] x [/mm].
Für jedes [mm] y \in \mathbb R [/mm] gibt es einen Weg [mm] \beta [/mm] von x nach y in B
(Warum gibt es den? )
Dann ist [mm] \gamma \* \beta [/mm] ein Weg in X von [mm] x_0 [/mm] nach y. Also
Also [mm] B \subseteq A [/mm] .
Warum?
2. z.z. A ist abgeschlossen in X:
Sei [mm] x \in \overline{A} [/mm].
Es gibt eine Kugel B in [mm] \mathbb R^n [/mm] mit Mittelpunkt x, so dass [mm] B \subseteq X [/mm]. Weil [mm] x \in \overline{A} [/mm] gibt es [mm] y \in A \cap B [/mm].
( Dies verstehe ich einfach nicht :-( )
( Und das was nun folgt mit dem Wegen leider auch nicht.... )
[mm] \Rightarrow [/mm] Es gibt Weg [mm] \gamma [/mm] von [mm] x_0 [/mm] nach y in X, es gibt Weg [mm] \beta [/mm] von y nach x in [mm] B \subseteq X [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] [mm] \gamma \* \beta [/mm] ist ein Weg von [mm] x_0 [/mm] nach x in X
[mm] \Rightarrow x \in A [/mm].
Weil X zusammenhängend ist und A [mm] \ne \emptyset [/mm] ist A = X.
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> Hallo alle zusammen!
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> Hier ist ein Satz, welchen ich nicht verstehe. Leider wird
> beim Beweis nur eine Richtung gezeigt, bei der ich auch
> massive Verständnisprobleme habe...
> Die anderen leider garnicht :-(.
> Alles was "rot" ist, ist mir unklar, und es ist VIEL :-(.
>
>
> Satz :
>
> Für eine offene Teilmenge X von [mm]\mathbb R^n[/mm] sind
> äquivalent:
>
> a) X ist zusammenhängend
> b) X ist bogenzusmmenhängend
> c) Zu je zwei Punkten [mm]x, y \in X[/mm] gibt es einen Weg in X
> mit Anfangspunkt x und Endpunkt y.
>
> Es wird a) [mm]\Rightarrow[/mm] c):
>
> Sei [mm]x_0 \in X [/mm]. Sei [mm]A:= \{ x \in X \ | \ x[/mm] kann mit [mm]x_0[/mm]
> durch einen Weg verbunden werden [mm]\}[/mm] .
>
> Zu zeigen A = X:
>
> 1. z.z. A ist offen in X :
>
> Sei [mm] x \in A \Rightarrow[/mm] es gibt eine Kugel B in
> [mm]\mathbb R^n[/mm] mit mIttelpunkt x. so dass B [mm]\subseteq X[/mm]
>
> ( Warum gibt es denn diese Kugel ? )
Weil $X$ offen ist, gibt es zu jedem Punkt von $x$ eine solche Kugel. Der Begriff "offene Menge des [mm] $\IR^n$" [/mm] ist vermutlich in Deiner Vorlesung sogar ausdrücklich so eingeführt worden: als eine Menge, bei der es zu jedem ihrer Punkte $x$ eine (meinetwegen sogar offene) Kugel $B$ gibt, deren Mittelpunkt $x$ ist und die ganz in der fraglichen Menge enthalten ist). Man kann auch sagen: die Kugeln (mit Radius $>0$) bilden eine Umgebungsbasis des [mm] $\IR^n$. [/mm] D.h. Umgebungen von $x$ sind diejenigen Mengen, die eine (offne) Kugel mit Mittelpunkt $x$ enthalten. Des weiteren gilt: eine offene Menge ist eine Umgebung für alle ihre Punkte.
>
> Sei [mm]\gamma[/mm] ein Weg in X von [mm]x_0[/mm] nach [mm]x [/mm].
> Für jedes [mm]y \in \mathbb R[/mm]
> gibt es einen Weg [mm]\beta[/mm] von x nach y in B
>
> (Warum gibt es den? )
Du kannst in einer Kugel immer (auf einer Geraden) von ihrem Mittelpunkt, hier $x$, zu jedem ihrer Punkte, hier $y$, gelangen, denn die Punkte $z$ ihrer Verbindungsstrecke [mm] $\{z\; |\; z=x+t\cdot (y-x), t\in\[0;1\]\}$ [/mm] liegt ganz in $B$. (Beweis: es ist [mm] $|z-x|=|t(x-y)|\leq [/mm] |x-y|$, letzterer Betrag ist kleiner als der Radius der offenen Kugel $B$, weil [mm] $y\in [/mm] B$ liegt).
>
> Dann ist [mm]\gamma \* \beta[/mm] ein Weg in X von [mm]x_0[/mm] nach y. Also
>
> Also [mm]B \subseteq A[/mm] .
>
> Warum?
Man hat soben gezeigt, dass wenn es einen Weg von [mm] $x_0$ [/mm] bis $x$ in $X$ gibt, dann gibt es auch einen Weg von [mm] $x_0$ [/mm] über $x$ nach $y$ in $X$, wobei $y$ beliebig in $B$ war. Also gibt es für jedes [mm] $y\in [/mm] B$ einen Weg von [mm] $x_0$ [/mm] bis $y$ in $X$. Damit ist aber gezeigt, dass [mm] $y\in [/mm] A$ liegt (denn so war $A$ definiert: als die Menge aller Punkte, zu denen es einen Weg von [mm] $x_0$ [/mm] in $X$ gibt). Da [mm] $y\in [/mm] B$ beliebig war gilt somit [mm] $B\subseteq [/mm] A$.
Da wir insgesamt gezeigt haben, dass mit jedem [mm] $x\in [/mm] A$ auch eine (offene) Kugel $B$ mit Mittelpunkt $x$ in $A$ liegt, haben wir damit insgesamt gezeigt, dass $A$ eine offene Menge ist.
Mach Dir unbedingt eine veranschaulichende Handskizze zu dieser Überlegung: es ist anschaulich wirklich simpel. - Und von solchen anschaulichen Vorstellungen musst Du Dir in der Regel (insbesondere in der Topologie) auch bei den formalsten Beweisen helfen lassen.
> 2. z.z. A ist abgeschlossen in X:
>
> Sei [mm]x \in \overline{A} [/mm].
> Es gibt eine Kugel B in [mm]\mathbb R^n[/mm] mit Mittelpunkt x, so
> dass [mm]B \subseteq X [/mm].
Dass dies (trivialerweise) richtig ist, habe ich schon weiter oben erklärt. Weil $X$ eine offene Menge ist, gibt es für jedes [mm] $x\in [/mm] X$ eine offene (oder meinetwegen auch: eine abgeschlossene) Kugel $B$ mit Mittelpunkt $x$, die ganz in $X$ liegt.
>Weil [mm]x \in \overline{A}[/mm] gibt es [mm]y \in A \cap B [/mm].
>
> ( Dies verstehe ich einfach nicht :-( )
Wenn [mm] $x\in\overline{A}$ [/mm] ist, dann muss jede Umgebung von $x$, insbesondere eine (offene) Kugel mit Mittelpunkt $x$, $A$ schneiden. Wenn nicht, würde $A$ ganz im Innern des abgeschlossenen Komplements [mm] $\IR^n\backslash [/mm] B$ von $B$ liegen: im Widerspruch zu [mm] $x\in \overline{A}$ [/mm] und [mm] $x\in [/mm] B$.
> ( Und das was nun folgt mit dem Wegen leider auch
> nicht.... )
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Es gibt Weg [mm]\gamma[/mm] von [mm]x_0[/mm] nach y in X, es gibt
> Weg [mm]\beta[/mm] von y nach x in [mm]B \subseteq X[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\gamma \* \beta[/mm] ist ein Weg von [mm]x_0[/mm] nach x in
> X
Gleiche Überlegung wie weiter oben: wenn es einen Weg von [mm] $x_0$ [/mm] nach [mm] $y\in A\cap [/mm] B$ in $X$ gibt, dann kann man von diesem Punkt $y$ auch zum Mittelpunkt $x$ der Kugel $B$ auf einem Weg (gerade Strecke [mm] $\{z\;|\; z=y+t\cdot (x-y),t\in [0;1]\}$) [/mm] gelangen. Also gibt es einen Weg in $X$, der [mm] $x_0$ [/mm] und $x$ via [mm] $y\in [/mm] B$ verbindet.
>
> [mm]\Rightarrow x \in A [/mm].
Gilt, weil $A$ so definiert war. Da [mm] $x\in\overline{A}$ [/mm] beliebig war, ist also [mm] $A=\overline{A}$, [/mm] d.h. $A$ ist abgeschlossen.
>
> Weil X zusammenhängend ist und A [mm]\ne \emptyset[/mm] ist $A = X$.
Ist dies klar?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Fr 08.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
GUten Abend!
> > Hallo alle zusammen!
> >
> > Hier ist ein Satz, welchen ich nicht verstehe. Leider wird
> > beim Beweis nur eine Richtung gezeigt, bei der ich auch
> > massive Verständnisprobleme habe...
> > Die anderen leider garnicht :-(.
> > Alles was "rot" ist, ist mir unklar, und es ist VIEL
> :-(.
> >
> >
> > Satz :
> >
> > Für eine offene Teilmenge X von [mm]\mathbb R^n[/mm] sind
> > äquivalent:
> >
> > a) X ist zusammenhängend
> > b) X ist bogenzusmmenhängend
> > c) Zu je zwei Punkten [mm]x, y \in X[/mm] gibt es einen Weg in
> X
> > mit Anfangspunkt x und Endpunkt y.
> >
> > Es wird a) [mm]\Rightarrow[/mm] c):
> >
> > Sei [mm]x_0 \in X [/mm]. Sei [mm]A:= \{ x \in X \ | \ x[/mm] kann mit [mm]x_0[/mm]
> > durch einen Weg verbunden werden [mm]\}[/mm] .
> >
> > Zu zeigen A = X:
> >
> > 1. z.z. A ist offen in X :
> >
> > Sei [mm]x \in A \Rightarrow[/mm] es gibt eine Kugel B in
> > [mm]\mathbb R^n[/mm] mit mIttelpunkt x. so dass B [mm]\subseteq X[/mm]
> >
>
> > ( Warum gibt es denn diese Kugel ? )
> Weil [mm]X[/mm] offen ist, gibt es zu jedem Punkt von [mm]x[/mm] eine solche
> Kugel. Der Begriff "offene Menge des [mm]\IR^n[/mm]" ist vermutlich
> in Deiner Vorlesung sogar ausdrücklich so eingeführt
> worden: als eine Menge, bei der es zu jedem ihrer Punkte [mm]x[/mm]
> eine (meinetwegen sogar offene) Kugel [mm]B[/mm] gibt, deren
> Mittelpunkt [mm]x[/mm] ist und die ganz in der fraglichen Menge
> enthalten ist). Man kann auch sagen: die Kugeln (mit Radius
> [mm]>0[/mm]) bilden eine Umgebungsbasis des [mm]\IR^n[/mm]. D.h. Umgebungen
> von [mm]x[/mm] sind diejenigen Mengen, die eine (offne) Kugel mit
> Mittelpunkt [mm]x[/mm] enthalten. Des weiteren gilt: eine offene
> Menge ist eine Umgebung für alle ihre Punkte.
> >
> > Sei [mm]\gamma[/mm] ein Weg in X von [mm]x_0[/mm] nach [mm]x [/mm].
> > Für jedes [mm]y \in \mathbb R[/mm]
>
> > gibt es einen Weg [mm]\beta[/mm] von x nach y in B
> >
> > (Warum gibt es den? )
> Du kannst in einer Kugel immer (auf einer Geraden) von
> ihrem Mittelpunkt, hier [mm]x[/mm], zu jedem ihrer Punkte, hier [mm]y[/mm],
> gelangen, denn die Punkte [mm]z[/mm] ihrer Verbindungsstrecke [mm]\{z\; |\; z=x+t\cdot (y-x), t\in\[0;1\]\}[/mm]
> liegt ganz in [mm]B[/mm]. (Beweis: es ist [mm]|z-x|=|t(x-y)|\leq |x-y|[/mm],
> letzterer Betrag ist kleiner als der Radius der offenen
> Kugel [mm]B[/mm], weil [mm]y\in B[/mm] liegt).
>
> >
> > Dann ist [mm]\gamma \* \beta[/mm] ein Weg in X von [mm]x_0[/mm] nach y. Also
> >
> > Also [mm]B \subseteq A[/mm] .
> >
> > Warum?
> Man hat soben gezeigt, dass wenn es einen Weg von [mm]x_0[/mm] bis
> [mm]x[/mm] in [mm]X[/mm] gibt, dann gibt es auch einen Weg von [mm]x_0[/mm] über [mm]x[/mm]
> nach [mm]y[/mm] in [mm]X[/mm], wobei [mm]y[/mm] beliebig in [mm]B[/mm] war. Also gibt es für
> jedes [mm]y\in B[/mm] einen Weg von [mm]x_0[/mm] bis [mm]y[/mm] in [mm]X[/mm]. Damit ist aber
> gezeigt, dass [mm]y\in A[/mm] liegt (denn so war [mm]A[/mm] definiert: als
> die Menge aller Punkte, zu denen es einen Weg von [mm]x_0[/mm] in [mm]X[/mm]
> gibt). Da [mm]y\in B[/mm] beliebig war gilt somit [mm]B\subseteq A[/mm].
> Da
> wir insgesamt gezeigt haben, dass mit jedem [mm]x\in A[/mm] auch
> eine (offene) Kugel [mm]B[/mm] mit Mittelpunkt [mm]x[/mm] in [mm]A[/mm] liegt, haben
> wir damit insgesamt gezeigt, dass [mm]A[/mm] eine offene Menge ist.
>
> Mach Dir unbedingt eine veranschaulichende Handskizze zu
> dieser Überlegung: es ist anschaulich wirklich simpel. -
> Und von solchen anschaulichen Vorstellungen musst Du Dir in
> der Regel (insbesondere in der Topologie) auch bei den
> formalsten Beweisen helfen lassen.
>
> > 2. z.z. A ist abgeschlossen in X:
> >
> > Sei [mm]x \in \overline{A} [/mm].
> > Es gibt eine Kugel B in [mm]\mathbb R^n[/mm] mit Mittelpunkt x, so
> > dass [mm]B \subseteq X [/mm].
>
> Dass dies (trivialerweise) richtig ist, habe ich schon
> weiter oben erklärt. Weil [mm]X[/mm] eine offene Menge ist, gibt es
> für jedes [mm]x\in X[/mm] eine offene (oder meinetwegen auch: eine
> abgeschlossene) Kugel [mm]B[/mm] mit Mittelpunkt [mm]x[/mm], die ganz in [mm]X[/mm]
> liegt.
>
> >Weil [mm]x \in \overline{A}[/mm] gibt es [mm]y \in A \cap B [/mm].
> >
> > ( Dies verstehe ich einfach nicht :-( )
> Wenn [mm]x\in\overline{A}[/mm] ist, dann muss jede Umgebung von [mm]x[/mm],
> insbesondere eine (offene) Kugel mit Mittelpunkt [mm]x[/mm], [mm]A[/mm]
> schneiden. Wenn nicht, würde [mm]A[/mm] ganz im Innern des
> abgeschlossenen Komplements [mm]\IR^n\backslash B[/mm] von [mm]B[/mm] liegen:
> im Widerspruch zu [mm]x\in \overline{A}[/mm] und [mm]x\in B[/mm].
>
> > ( Und das was nun folgt mit dem Wegen leider auch
> > nicht.... )
> >
> > [mm]\Rightarrow[/mm] Es gibt Weg [mm]\gamma[/mm] von [mm]x_0[/mm] nach y in X, es
> gibt
> > Weg [mm]\beta[/mm] von y nach x in [mm]B \subseteq X[/mm]
> >
> > [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\gamma \* \beta[/mm] ist ein Weg von [mm]x_0[/mm] nach x in
> > X
> Gleiche Überlegung wie weiter oben: wenn es einen Weg von
> [mm]x_0[/mm] nach [mm]y\in A\cap B[/mm] in [mm]X[/mm] gibt, dann kann man von diesem
> Punkt [mm]y[/mm] auch zum Mittelpunkt [mm]x[/mm] der Kugel [mm]B[/mm] auf einem Weg
> (gerade Strecke [mm]\{z\;|\; z=y+t\cdot (x-y),t\in [0;1]\}[/mm])
> gelangen. Also gibt es einen Weg in [mm]X[/mm], der [mm]x_0[/mm] und [mm]x[/mm] via
> [mm]y\in B[/mm] verbindet.
> >
> > [mm]\Rightarrow x \in A [/mm].
> Gilt, weil [mm]A[/mm] so definiert war.
> Da [mm]x\in\overline{A}[/mm] beliebig war, ist also [mm]A=\overline{A}[/mm],
> d.h. [mm]A[/mm] ist abgeschlossen.
>
> >
> > Weil X zusammenhängend ist und A [mm]\ne \emptyset[/mm] ist [mm]A = X[/mm].
>
> Ist dies klar?
>
Diese Schlussfolgerung denke ich verstanden zu haben...
Denn weil X zusammenhängend ist, ist die einzige Menge,die offen und abgeschlossen ist X und die leere Menge. Und da A offen und abgeschlossen war und nicht leer war, muss A = X sein. Oder?
Viele Grüße
Irmchen
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> GUten Abend!
>
> > > Hallo alle zusammen!
> > >
> > > Hier ist ein Satz, welchen ich nicht verstehe. Leider wird
> > > beim Beweis nur eine Richtung gezeigt, bei der ich auch
> > > massive Verständnisprobleme habe...
> > > Die anderen leider garnicht :-(.
> > > Alles was "rot" ist, ist mir unklar, und es ist VIEL
> > :-(.
> > >
> > >
> > > Satz :
> > >
> > > Für eine offene Teilmenge X von [mm]\mathbb R^n[/mm] sind
> > > äquivalent:
> > >
> > > a) X ist zusammenhängend
> > > b) X ist bogenzusmmenhängend
> > > c) Zu je zwei Punkten [mm]x, y \in X[/mm] gibt es einen Weg
> in
> > X
> > > mit Anfangspunkt x und Endpunkt y.
> > >
> > > Es wird a) [mm]\Rightarrow[/mm] c):
> > >
> > > Sei [mm]x_0 \in X [/mm]. Sei [mm]A:= \{ x \in X \ | \ x[/mm] kann mit [mm]x_0[/mm]
> > > durch einen Weg verbunden werden [mm]\}[/mm] .
> > >
> > > Zu zeigen A = X:
> > >
> > > 1. z.z. A ist offen in X :
> > >
> > > Sei [mm]x \in A \Rightarrow[/mm] es gibt eine Kugel B in
> > > [mm]\mathbb R^n[/mm] mit mIttelpunkt x. so dass B [mm]\subseteq X[/mm]
>
> > >
> >
> > > ( Warum gibt es denn diese Kugel ? )
> > Weil [mm]X[/mm] offen ist, gibt es zu jedem Punkt von [mm]x[/mm] eine
> solche
> > Kugel. Der Begriff "offene Menge des [mm]\IR^n[/mm]" ist vermutlich
> > in Deiner Vorlesung sogar ausdrücklich so eingeführt
> > worden: als eine Menge, bei der es zu jedem ihrer Punkte [mm]x[/mm]
> > eine (meinetwegen sogar offene) Kugel [mm]B[/mm] gibt, deren
> > Mittelpunkt [mm]x[/mm] ist und die ganz in der fraglichen Menge
> > enthalten ist). Man kann auch sagen: die Kugeln (mit Radius
> > [mm]>0[/mm]) bilden eine Umgebungsbasis des [mm]\IR^n[/mm]. D.h. Umgebungen
> > von [mm]x[/mm] sind diejenigen Mengen, die eine (offne) Kugel mit
> > Mittelpunkt [mm]x[/mm] enthalten. Des weiteren gilt: eine offene
> > Menge ist eine Umgebung für alle ihre Punkte.
> > >
> > > Sei [mm]\gamma[/mm] ein Weg in X von [mm]x_0[/mm] nach [mm]x [/mm].
> > > Für
> jedes [mm]y \in \mathbb R[/mm]
> >
> > > gibt es einen Weg [mm]\beta[/mm] von x nach y in B
> > >
> > > (Warum gibt es den? )
> > Du kannst in einer Kugel immer (auf einer Geraden) von
> > ihrem Mittelpunkt, hier [mm]x[/mm], zu jedem ihrer Punkte, hier [mm]y[/mm],
> > gelangen, denn die Punkte [mm]z[/mm] ihrer Verbindungsstrecke [mm]\{z\; |\; z=x+t\cdot (y-x), t\in\[0;1\]\}[/mm]
> > liegt ganz in [mm]B[/mm]. (Beweis: es ist [mm]|z-x|=|t(x-y)|\leq |x-y|[/mm],
> > letzterer Betrag ist kleiner als der Radius der offenen
> > Kugel [mm]B[/mm], weil [mm]y\in B[/mm] liegt).
> >
> > >
> > > Dann ist [mm]\gamma \* \beta[/mm] ein Weg in X von [mm]x_0[/mm] nach y. Also
> > >
> > > Also [mm]B \subseteq A[/mm] .
> > >
> > > Warum?
> > Man hat soben gezeigt, dass wenn es einen Weg von [mm]x_0[/mm]
> bis
> > [mm]x[/mm] in [mm]X[/mm] gibt, dann gibt es auch einen Weg von [mm]x_0[/mm] über [mm]x[/mm]
> > nach [mm]y[/mm] in [mm]X[/mm], wobei [mm]y[/mm] beliebig in [mm]B[/mm] war. Also gibt es für
> > jedes [mm]y\in B[/mm] einen Weg von [mm]x_0[/mm] bis [mm]y[/mm] in [mm]X[/mm]. Damit ist aber
> > gezeigt, dass [mm]y\in A[/mm] liegt (denn so war [mm]A[/mm] definiert: als
> > die Menge aller Punkte, zu denen es einen Weg von [mm]x_0[/mm] in [mm]X[/mm]
> > gibt). Da [mm]y\in B[/mm] beliebig war gilt somit [mm]B\subseteq A[/mm].
> >
> Da
> > wir insgesamt gezeigt haben, dass mit jedem [mm]x\in A[/mm] auch
> > eine (offene) Kugel [mm]B[/mm] mit Mittelpunkt [mm]x[/mm] in [mm]A[/mm] liegt, haben
> > wir damit insgesamt gezeigt, dass [mm]A[/mm] eine offene Menge ist.
> >
> > Mach Dir unbedingt eine veranschaulichende Handskizze zu
> > dieser Überlegung: es ist anschaulich wirklich simpel. -
> > Und von solchen anschaulichen Vorstellungen musst Du Dir in
> > der Regel (insbesondere in der Topologie) auch bei den
> > formalsten Beweisen helfen lassen.
> >
> > > 2. z.z. A ist abgeschlossen in X:
> > >
> > > Sei [mm]x \in \overline{A} [/mm].
> > > Es gibt eine Kugel B in [mm]\mathbb R^n[/mm] mit Mittelpunkt x, so
> > > dass [mm]B \subseteq X [/mm].
> >
> > Dass dies (trivialerweise) richtig ist, habe ich schon
> > weiter oben erklärt. Weil [mm]X[/mm] eine offene Menge ist, gibt
> > es für jedes [mm]x\in X[/mm] eine offene (oder meinetwegen auch:
> > eine
> > abgeschlossene) Kugel [mm]B[/mm] mit Mittelpunkt [mm]x[/mm], die ganz in
> > [mm]X[/mm]liegt.
> > Weil [mm]x \in \overline{A}[/mm] gibt es [mm]y \in A \cap B [/mm].
> > >
> > > ( Dies verstehe ich einfach nicht :-( )
> > Wenn [mm]x\in\overline{A}[/mm] ist, dann muss jede Umgebung von
> [mm]x[/mm],
> > insbesondere eine (offene) Kugel mit Mittelpunkt [mm]x[/mm], [mm]A[/mm]
> > schneiden. Wenn nicht, würde [mm]A[/mm] ganz im Innern des
> > abgeschlossenen Komplements [mm]\IR^n\backslash B[/mm] von [mm]B[/mm] liegen:
> > im Widerspruch zu [mm]x\in \overline{A}[/mm] und [mm]x\in B[/mm].
> >
> > > ( Und das was nun folgt mit dem Wegen leider auch
> > > nicht.... )
> > >
> > > [mm]\Rightarrow[/mm] Es gibt Weg [mm]\gamma[/mm] von [mm]x_0[/mm] nach y in X, es
> > gibt
> > > Weg [mm]\beta[/mm] von y nach x in [mm]B \subseteq X[/mm]
> > >
> > > [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\gamma \* \beta[/mm] ist ein Weg von [mm]x_0[/mm] nach x in
> > > X
> > Gleiche Überlegung wie weiter oben: wenn es einen Weg von
> > [mm]x_0[/mm] nach [mm]y\in A\cap B[/mm] in [mm]X[/mm] gibt, dann kann man von diesem
> > Punkt [mm]y[/mm] auch zum Mittelpunkt [mm]x[/mm] der Kugel [mm]B[/mm] auf einem Weg
> > (gerade Strecke [mm]\{z\;|\; z=y+t\cdot (x-y),t\in [0;1]\}[/mm])
> > gelangen. Also gibt es einen Weg in [mm]X[/mm], der [mm]x_0[/mm] und [mm]x[/mm] via
> > [mm]y\in B[/mm] verbindet.
> > >
> > > [mm]\Rightarrow x \in A [/mm].
> > Gilt, weil [mm]A[/mm] so definiert
> war.
> > Da [mm]x\in\overline{A}[/mm] beliebig war, ist also [mm]A=\overline{A}[/mm],
> > d.h. [mm]A[/mm] ist abgeschlossen.
> >
> > >
> > > Weil X zusammenhängend ist und A [mm]\ne \emptyset[/mm] ist [mm]A = X[/mm].
>
> >
> > Ist dies klar?
> >
>
> Diese Schlussfolgerung denke ich verstanden zu haben...
> Denn weil X zusammenhängend ist, ist die einzige Menge,die
> offen und abgeschlossen ist X und die leere Menge. Und da A
> offen und abgeschlossen war und nicht leer war, muss A = X
> sein. Oder?
Hm, ja, ist schon gut. Ich war nur erstaunt, dass Dich Dinge verwirrt haben, die nach meinem Gefühl offensichtlicher waren als dieser letzte Schluss (wie etwa die Existenz einer offenen Kugel $B$, die ein Element $x$ einer offenen Menge $X$ enhält und die ganz in dieser Menge $X$ enthalten ist: denn dies gilt gewissermassen definitionsgemäss).
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:11 Sa 09.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Ja, das war etwas blöd von mir... Hab übersehen, dass X offen ist. Und natürlich ist mir bewusst, dass es dann eine offene Kugel in X gibt...
Das was mir eher Probleme machte, ich die Sache mit den Wegen. Aber
ich denke das jetzt soweit verstanden zu haben.
Vielen Dank nochmal!
Viele Grüße
Irmchen
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