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Wegintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:11 Mi 06.09.2006
Autor: Kuebi

Aufgabe
Gegeben ist das Kraftfeld [mm] \vec{F}(\vec{r})=\bruch{\vec{r}}{\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} [/mm]
Zu bestimmen ist die Arbeit W um einen Körper von [mm] \vec{r}_{a} [/mm] nach [mm] \vec{r}_{b} [/mm] zu bringen.
Wie hängt diese vom Integrationsweg ab?

Hallo ihr!

Eigentlich stammt diese Frage aus der Experimentalphysik, da aber das Problem meiner Meinung nach mathematischer Art ist, poste ich es hier.

Nun, zuallererst hab ich das Integral parameterisiert!

[mm] W=\integral_{\vec{r}_{a}}^{\vec{r}_{b}}{\vec{F}(\vec{r})dr}=\integral_{x_{a}}^{x_{b}}{\bruch{x}{\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}dx}+\integral_{y_{a}}^{y_{b}}{\bruch{y}{\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}dy}+\integral_{z_{a}}^{z_{b}}{\bruch{z}{\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}dz} [/mm]

Nach Ausführen der Integration erhalte ich

[mm] W=\wurzel{x_{b}^{2}+y^{2}+z^{2}}-\wurzel{x_{a}^{2}+y^{2}+z^{2}}+\wurzel{x^{2}+y_{b}^{2}+z^{2}}-\wurzel{x^{2}+y_{b}^{2}+z^{2}}+\wurzel{x^{2}+y^{2}+z_{b}^{2}}-\wurzel{x^{2}+y^{2}+z_{a}^{2}} [/mm]

Es sollte rauskommen (so ist die Lösung):

[mm] W=\wurzel{x_{b}^{2}+y_{b}^{2}+z_{b}^{2}}-\wurzel{x_{a}^{2}+y_{a}^{2}+z_{a}^{2}}=\vec{r}_{b}-\vec{r}_{a} [/mm]

Folglich hängt das Integral nicht vom gewählten Weg ab!

Ich komme aber mit meiner Rechnung nicht zum Ergebnis! Ich habe das Integral von Hand gerechnet und in großen Formelwerken nachgeschlagen, finde also auf Anhieb keinen Fehler! Deshalb die Bitte an euch, mir hier zu helfen!

Lg, Kübi
[user]

        
Bezug
Wegintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:35 Mi 06.09.2006
Autor: Leopold_Gast

Ich bin kein Physiker und habe dann immer etwas Schwierigkeiten, mich mit der Art, wie Physiker Formeln schreiben, zurechtzufinden. Ich vermute einmal, daß [mm]\vec{r}[/mm] einfach eine Abkürzung für [mm](x,y,z)[/mm] ist und es letztlich um das Kurvenintegral

[mm]\int_{a}^b~\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \, \mathrm{d}x + \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \, \mathrm{d}y + \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \, \mathrm{d}z[/mm]

geht, wobei [mm]a = \left( x_a , y_a , z_a \right) \, , \ b = \left( x_b , y_b , z_b \right)[/mm] zwei Punkte des dreidimensionalen Raumes sind. Schon die Schreibweise suggeriert, daß das Integral nicht vom Weg abhängt. Und das liegt einfach daran, daß die Funktion

[mm]G(x,y,z) = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}[/mm]

eine Stammfunktion von

[mm]F(x,y,z) = \left( \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \, , \, \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \, , \, \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \right)[/mm]

ist. Und immer wenn eine Stammfunktion existiert, ist das Integral wegunabhängig:

[mm]\int_{a}^b~\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \, \mathrm{d}x + \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \, \mathrm{d}y + \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \, \mathrm{d}z \ = \ G(b) - G(a)[/mm]

Die von dir hingeschriebene Rechnung verstehe ich nicht. Wie kann es sein, daß im Endergebnis noch die Variablen [mm]x,y,z[/mm] vorkommen? Der Wert eines bestimmten Integrals kann doch niemals die Integrationsvariablen enthalten. Ich vermute einmal, daß dein ganzer Gedankengang da Murks ist.

Bezug
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